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2016年当代中学生报泄露天机卷数学理科

时间:2016-05-19


2016 年当代中学生报泄露天机卷(数学理科)
编审:本报数学研究中心 一、选择题 1. 复数 z 为纯虚数,若 ? 3 ? i ? ? z ? a ? i ( i 为虚数单位) ,则实数 a 的值为( A. ).

1 3

B. 3

C. ?

1 3

D. ?

3

2 2 2 2. 已知 M ? y ? R | y ? x , N ? x ? R | x ? y ? 2 ,则 M ? N ? (

?

?

?

?

).

A. ?(?1,1),(1,1)?

B. ?0, 2 ?

?

?

C. ?0,1? ).

D. ?1?

3. 已知命题 p : ?x ? 0,x3 ? 0 ,那么 ?p 是( A. ?x ? 0,x3 ≤ 0 C. ?x ? 0,x3 ≤ 0
3 ≤0 B. ?x0 ≤ 0,x0

3 ≤0 D. ?x0 ? 0,x0

4. 若非零向量 a, b 满足 a ? A.

? ?

?

? ? ? ? ? ? 2 2 ? 且 (a ? b) ? (3a ? 2b) , 则 a 与 b 的夹角为 ( b, 3
C.

) .

?

B.

?
2

3? 4

D.

?
4

5. 如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(
1 2 2 正视图 2 俯视图 侧视图 2

).

A. 20 ? 2? C. 24 ? 2?

B. 20 ? 3? D. 24 ? 3?

6. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 于( A.1 ). B.2 C.4
2

S3 S 2 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差 d 等 3 2

D.6
2

7. 直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M , N 两点, 若 MN ? 2 3 , 则k

的取值范围是( A. [ ?

). B. (??, ? ]

3 , 0] 4

3 4

?[0, ??)
??

C. [ ?

3 3 , ] 3 3

D. [ ?

2 , 0] 3

8.已知函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? 短为原来的

? ?

? ? x ? R ? ,将 y ? f ? x ? 的图象上所有的点的横坐标缩 4?

1 倍,纵坐标不变;再把所得的图象向右平移 ? 个单位长度,所得的图象关于 2
). C.

原点对称,则 ? 的一个值是( A.

3? 16

B.

5? 16

3? 4

D.

3? 8

9. 中、美、俄等 21 国领导人合影留念,他们站成两排,前排 11 人,后排 10 人,中 国领导人站在第一排正中间位置, 美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧, 如果对其 他领导人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有( A. A18 18 种 B. A 20 20 种 ).
18 D. A2 2 A18 种

2 3 C. A3 A18A10 10 种

10.函数 f ( x) ? xe cos x ( x ?[?? , ? ]) 的图象大致是(

).

11. 如图,为了测量 A、C 两点间的距离,选取同一平面上 B、D 两点,测出四边形

ABCD 各边的长度(单位: km ) :A B ?B 5 ,C
则 AC 的长为( ) .

? C 8 ,D

D 3 ,? A

5?

,且 ? B 与 ?D 互补,

A.7 km

B.8 km

C.9 km

D.6 km

12. 我国古代数学名著 《九章算术》 中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似. 执 行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 等于( ).

A.2

B.4

C.6 ).

D.8

13. 下列说法正确的是(

2 2 A. “若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”

B. ?an ? 为等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ a4 ? a5 ”的既不充分也不必要条件 C. ?x0 ? ? ??,0? ,使 3 0 ? 4 0 成立
x x

D. “a n t

?? 3

”必要不充分条件是“ ? ?

?
3

” ).

14. 设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,则( A.

1 1 ? 有最大值 4 a b

B. ab 有最小值

1 4
2 2
).

C. a ? b 有最大值 2

2 2 D. a ? b 有最小值

15. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. ? ?

3 3

B. 2? ?

3 3

C. 2? ? 3

D. ? ? 3

16. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,给出以下结论: ① 直线 A1 B 与 B1C 所成的角为 60 ? ; ②若 M 是线段 AC1 上的动点,则直线 CM 与平面 BC1 D 所成角的正弦值的取值范围是
[ 3 ,1] ; 3 2 . 6

③ 若 P,Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ ? 1 ,则四面体 B1 D1 PQ 的体积恒为 其中,正确结论的个数是( ).

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

17. 设 k 是一个正整数,在 ( 1+ )k 的展开式中,第四项的系数为

x k

1 2 ,记函数 y ? x 与 16

y ? kx 的图象所围成的阴影部分面积为 S ,任取 x ? [0, 4] , y ?[0,16] ,则点 ( x, y ) 恰好
落在阴影区域 S 内的概率是( A. ). C.

2 3

B.

1 3

2 5
k

D.

1 6

a1 ? 1, a2 k ? a2 k ?1 ? ? ?1? , a2 k ?1 ? a2 k ? 2k ? k ? N *? , 18. 已知数列 ?an ? 中, 则 ?an ? 的
前 60 项的和 S60 ? (
31 A. 2 ? 154

). B. 2 ? 124
31

C. 2

32

? 94

D. 2

32

? 124

19. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A、B 是抛物线上的两个动点,
2

且满足 ?AFB=

?
3

.设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N ,则

MN 的最大值是( ). AB

A.

2 3

B.

3 2

C. 1

D.

1 6

20.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ex ,当 b ? 1 时,函数 f ( x) 在 ? ??, ?2? , ?1, +? ? 上均为增 函数,则
a?b 的取值范围是( a?2

?

?

).

2? ? A. ? ?2, ? 3? ?

? 1 ? B. ? ? , 2 ? ? 3 ?

2? ? C. ? ?? , ? 3? ?

? 2 ? D. ? ? , 2 ? ? 3 ?

二、填空题 21. 执行下面的程序框图,若输出的结果为

1 ,则输入的实数 x 的值是________. 2

2 22. 某校在一次测试中约有 600 人参加考试, 数学考试的成绩 X ~ N 100, a ( a ? 0 ,

?

?

试卷满分 150 分) , 统计结果显示数学考试成绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 则此次测试中数学考试成绩不低于 120 的学生约有___________人.

3 , 5

23. 已 知 函 数 f ? x ? 定 义 域 为 ? 0, ?? ? , 其 图 象 是 连 续 不 断 的 , 且 导 数 存 在 , 若

?1? f ? x ? ? xf ? ? x ? ,则不等式 x 2 f ? ? ? f ? x ? ? 0 的解集为________. ? x?
24.并排的 5 个房间,安排给 5 个工作人员临时休息,假设每个人可以进入任一房间, 且进入每个房间是等可能的,则每个房间恰好进入一人的概率是 .

25.已知 y 与 x 之间具有很强的线性相关关系,现观测得到 ( x, y ) 的四组观测值并制作 了相应的对照表,由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为 ? y ? bx ? 60 ,其中 b 的值没 有写上.当 x 等于 ?5 时,预测 y 的值为 .

x
y

18
24

13

10

?1

34

38

64

26. 设 f ( x) 是定义域在 R 上的偶函数,对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当

x ?? ?2, 0? 时 , f ( x) ? ( ) x ? 1 , 若 在 区 间

1 2

? ?2,6?

内 关 于 x 的 方 程

至多有 3 个不同的实数根, 则a的 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 至少有两个不同的实数根, 取值范围是 .

27. 设 F1、F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 是 C 的右支 a 2 b2

O 作 PT 的 平 行 线 交 PF1 于 点 M , 若 上 的 点 , 射 线 PT 平 分 ?F 1PF 2 ,过原点
| MP |? 1 | F1 F2 | ,则 C 的离心率为 3


28. 设 G 为三角形 ABC 的重心,且 AG?BG ? 0 ,若

???? ??? ?

1 1 ? ? ? ,则实数 tan A tan B tan C

? 的值为

. .

3 29. 若 ?x ? ? 0,1? ,不等式 mx ? ln x ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围是

30. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的 《详解九章算术》 一书中的 “杨 辉三角形” . 1 3 2 5 8 12 20 3 7 4 5????2013 2014 2015 4029 2016

9 ?????? 4027 16 ???????? 8056

4031 8060

28 ???????????16116 ????????????????

该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最 后一行仅有一个数,则这个数为 三、解答题 31. 已知向量 m ? ( 3sin x,cos x), n ? (cos x,cos x), x ? R ,设 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x ) 的解析式及单调增区间; .

??

?

?? ?

a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, (2) 在△ ABC 中, 且 a ? 1, b ? c ? 2, f ( A) ? 1 , 求△ ABC
的面积. 32. 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到 如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 之比为 4:2:1 .

?55,65? , ?65,75? , ?75,85? 内的频率

(1)求这些产品质量指标值落在区间 ?75,85? 内的频率; (2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产品中质量 指标值位于区间 ?45,75? 内的产品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望. 33. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, PA ? BD. (1)求证: PB ? PD ; (2)若 E , F 分别为 PC , AB 的中点, EF ? 平面 PCD ,求直线

PB 与平面 PCD 所成角的大小.
34.自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人 口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个” , “生二孩能休 多久产假” 等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题. 为了解针对产假的不同 安排方案形成的生育意愿, 某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问 卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 有生育意愿家庭数 14 4 15 8 16 16 17 20 18 26

(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意 愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位 根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ? 表示两种方案休假周数之和.求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

35. 如图,已知四边形 ABCD 内接于抛物线 x 2 ? y ,点 C (3,9) , AC 平行于 x 轴, BD 平 行于该抛物线在点 C 处的切线, ?BAD ? 90? .
y D

A

C

B O

x

(1)求直线 BD 的方程; (2)求四边形 ABCD 的面积. 36.在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA ? BE ,

AB ? PA ? 4 , BE ? 2 .

(1)求证: CE ? 平面 PAD ; (2)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (3)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在,求 如果不存在,说明理由. 37. 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? nan ? 3n ? n ?1? , ? n ? N , n ? 2? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 是否存在正整数 n , 使得 值;若不存在,说明理由.

AF 的值; AB

S S1 S 2 S3 3 2 ? ? ? ??? ? n ? ? n ? 1? ? 2016 ?若存在, 求出 n 1 2 3 n 2

38. 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

a ( x ? 1) (a ? R) . x

(1)若 a ? 1 ,求 y ? f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)求证:不等式

1 1 1 ? ? 对一切的 x ? (1, 2) 恒成立. ln x x ? 1 2

39. 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,左顶点为 A ,左焦点为 F , 0? , 1? ?2 点 B 2, 2 在椭圆 C 上,直线 y ? kx ? k ? 0? 与椭圆 C 交于 E , F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

?

?

x2 ? mx ,其中 m ? 0 . 40. 已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? mx ? ? 2
(1)当 m ? 1 时,求证:若 ?1 ? x ? 0 ,则 f ? x ? ? (2)试讨论函数 y ? f ? x ? 的零点个数.

x3 ; 3

2016 年当代中学生报泄露天机卷(数学理科) 参考答案与解析
1.A 由题 ? 3 ? i ? ? z ? a ? i ,得 z ?

a ? i 3a ? 1 a ? 3 ? ? i ,又 z 为纯虚数,则 3?i 10 10

1 3a ? 1 ? 0, a ? ,检验符合题意. 3
2.B 由题意,知 M ? { y | y ? 0} , N ? {x | ? 2 ? x ? 2} ,所以 M ? N ? ?0, 2 ? .

?

?

3 3.D 全称命题的否定为特称命题,并将结论加以否定,所以 ?p 是 ?x0 ? 0,x0 ≤0.

4.D (a ? b) ? (3a ? 2b) ? 3 a ? a ? b ? 2 b ? 3 a ? a ? b cos? ? 2 b ,其中 ? 为 a 与

2

2

2

2

?

? ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 b 的夹角,因为 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,所以有 3 a ? a ? b cos? ? 2 b ? 0 ,将 a ? b 3
代入,求得 cos? ?

2 ? ?? ? . 2 4

5.B 根据三视图的特征,得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体.其底面积

?? ? S ? 2 ? ? ? 22 ? ? 8 ? ? ;底面周长 C ? ? ? 6 ;侧面面积为 ?? ? 6? ? 2 ? 12 ? 2? .所 ?2 ?
以几何体的表面积等于 ?8 ? ? ? ? ?12 ? 2? ? ? 20 ? 3? .

S 1 1 n( n ? 1) d ,所以有 n ? a1 ? (n ? 1)d ,代 2 n 2 S3 S 2 S S 1 1 1 ? ? 1 中,即 3 - 2 ? a1 ? (3 ? 1)d - [a1 ? (2 ? 1)d ] ? d ,所以有 d ? 2 . 入 3 2 3 2 2 2 2
6.B 等差数列的前 n 项和为 S n ? na1 ? 7.A 圆心的坐标为 (3, 2) ,设圆心到直线的距离为 d ,则由点到直线距离公式,有
| 3k ? 2 ? 3 | 1? k2

d?

,∴ | MN |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 4 ?

(3k ? 1)2 , ? | MN |? 2 3 ,∴ 8k 2 ? 6k ? 0 , 1? k2

解得 [ ?

3 , 0] . 4
1 倍,纵坐标不变,可得函 2

8.A 将 y ? f ? x ? 的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 数 f ? x ? ? cos ? 4 x ?

? ?

??
?
4

? 的图象;再把所得的图象向右平移 ? 个单位长度,可得函数 4?
]? cos (4 x ?

y ? cos[( 4 x ? | ? |) ?

?
4

? 4 | ? |) 的图象. 结合所得的图象关于原点对称, 可



?
4

? 4 | ? |? k? ?
9.D

?
2

,即 | ? |? ?

3? k? ? ? , k ? Z , 则 ? 的一个值是 . 16 4 16

21 国领导人中,除了中美俄三国需要指定位置外,其余 18 国领导人可以任意排

18 序,虽然分前后两排,但不影响排序结果,所以有 A18 种站法,而中美俄三国领导人根据要

2 18 求则有 A2 种站法,因为这两个事件互不影响,所以共有 A2 A18 种站法.

2

10.B 易得 f ( x) ? xe cos x ( x ?[?? , ? ]) 为奇函数,图象关于原点对称,故排除 A , C , 显然存在 x0 ? (0, ? ) , 使得当 x ? (0, x0 ) f '( x) ? ecos x ? xecos x ? (? sin x) ? ecos x (1 ? x sin x) , 时, f '( x) ? 0 , x ? ( x0 , ? ) 时, f '( x) ? 0 ,即 f ( x ) 在 [0, ? ] 上先增后减,故排除 D,故选 B. 11.A 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB?BC cos B , 即

AC 2 ? 2 5? 6 - 4 2 ? 5 ? 8cos B = 89 ? 80cos B .
在 ?ADC 中,由余弦定理,得 AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD?DC cos D , 即 AC 2 ? 25 ? 9 ? 2 ? 5 ? 3cos D ? 34 ? 30cos D . 因 为 ? B 与 ?D 互 补 , 所 以

cos B ? ? cos D ,所以 ?

34 ? AC 2 89 ? AC 2 ? ,解得 AC ? 7 . 30 80

12.A 第一次循环,得 b ? 18-14=4, a ? 14 ;第二次循环,得 a ? 14 ? 4 ? 10, b ? 4 ; 第三次循环,得 a ? 10 ? 4 ? 6, b ? 4 ;第四次循环,得 a ? 6 ? 4 ? 2, b ? 4 ;第五次循环, 得 b ? 4 ? 2 ? 2, a ? 2 ,此时 a ? b ? 2 ,不满足循环条件,退出循环,输出 a ? 2 . 13.D A 中的否命题没有否定条件, 所以 A 错误; B 中由 a1 ? a2 ? a3 可知,a1 ? 0, q ? 1 或 a1 ? 0,0 ? q ? 1, 任何情况都能保证 ?an ? 为递增数列, 所以恒有 a4 ? a5 , 反之若 a4 ? a5 , 可能存在 q ? 0 ,这时就不能保证 a1 ? a2 ? a3 ,所以“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ a4 ? a5 ”的充分
x x 而不必要条件,所以 B 错误;C 中 ?x ? ? ??,0? , 3 ? 4 ,所以 C 错误.

14.C ? a ? 0, b ? 0 ,由基本不等式得 1 ? a ? b ? 2 ab ,? ab ?

1 1 ,? ab ? , 4 2
为 4 ,

1 1 a?b 1 ? ? ? ?4 a b ab ab







1 1 ? a b









a 2 ? b2 ? ?a ? b? ? 2ab ? 1 - 2ab ? 1 ?
2

1 1 = , 2 2

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ? 1 ? 2 ab ? 1 ? 1 =2,所以 a ? b 有最大值 2 .

15.A 由三视图知该几何体是一个组合体,下面是圆柱,上面是三棱锥,如图三棱锥

D ? ABC 中, AC 是圆柱底面直径, B 在底面圆周上, DO ? 平面 ABC , O 是圆心,尺
2 寸见三视图,则 V ? π ? 1 ? 1 ? ?

1 1 3 ?1? 2 ? 22 ? 12 ? π ? . 3 2 3

D

A B

O

C

16.D ①在 ?A1BD 中, 每条边都是 2, 即为等边三角形, ∴A 1B 与 A 1 D 所成角为 60°, 又 B1C ∥ A 1 D ,∴直线 A 1B 与 B 1C 所成的角为 60°,正确;②由正方体可得平面 BDC1 ⊥ 平面 ACC1 ,当 M 点位于 AC1 上,且使 CM ⊥平面 BDC1 时,直线 CM 与平面 BDC1 所成 角的正弦值最大为 1, 当 M 与 C1 重合时, 连接 CM 交平面 BDC1 所得斜线最长, 直线 CM 与 平面 BDC1 所成角的正弦值最小等于

3 ,∴直线 CM 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值 3

范围是 [

2 3 3 ,1] , 正确; ③连接 B1P ,B1Q , 设 D1 到平面 B1 AC 的距离为 h , 则h ? ,B1 3 3 6 1 1 6 2 2 ,则四面体 PQB1D1 的体积 V ? ? ?1? ,正 ? 3? 2 3 2 2 3 6

到直线 AC 的距离为

确.∴正确的命题是①②③.
r r 17.D 由二项展开式的通项公式,得 Tr ?1 ? Ck ( ) ,令 r ? 3 ,

x k

3 则 Ck ?

1 1 (k ? 1)(k ? 2) 1 ? ? ? ? k ? 4, 3 k 16 6k 2 16

32 1 32 1 2 2 3 4 ∴ S ? ? (4 x ? x )dx ? (2 x ? x ) |0 ? ,所求概率 P ? 3 ? . 0 3 3 4 ?16 6
4

18.C 由 题 意 , 得 a2 ? a1 ?1 ? 0, a4 ? a3 ? 1, a6 ? a5 ?1,?, a60 ? a59 ? 1 , 所 以
1 k , 得 (k ? 2 , ) 代 入 a2k ? a k ? S奇 ? S偶 . 又 a2k ? ? ? 2k ? ? 1 ) 1 a k? 2 2 2 ?( 1 k ?1 a2k ? a k ? ? ? ( 2 ?2 2 k

, 所以 ( k? ) a2 ? 0 , 1 ) 2 a4 ? a2 ? 21 ? (?1)2 , a6 ? a4 ? 22 ? (?1)3 ,
k

a8 ? a6 ? 23 ? (?1)4 , ? , a2k ? a k2 2k ?1 ? ? ( ? ?2

1, ) 将 上 式 相 加 , 得

a2k ? 2 ? 22 ??? 2k ?1 ? (?1)2 ? (?1)3 ? ?? (?1)k
=2 ?2?
k

1 ? (?1)k ?1 3 ? (?1) k ?1 ? 2k ? , 2 2 2(1 ? 230 ) 1 (15 ? 2 ? 15 ? 4) = ? 45 2 1? 2

2 3 29 30 所以 S偶 = (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ) ?

31 32 = 2 ? 47 ,所以 S60 ? 2(231 ? 47) = 2 ? 94 .

19.C 如 图 , 过 点 A作AG ? l与G , 过 点 B作BE ? l与E , 由 抛 物 线 的 性 质 可 知

AG ? AF, BE ? BF , M是AB 中 点 , 所 以 MN是梯形AGEB 的 中 位 线 , 则

MN ?

1 1 ( AG ? BE ) ? ( AF ? BF ) ,在三角形 ABF 中, 2 2

AB ? AF 2 ? BF 2 ? 2 AF ? BFcos

?
3

? AF 2 ? BF 2 ? AF ? BF ,



MN AB

2 2

1 ( AF ? BF )2 3 AF ? BF 1 4 ? ? (1 ? ) 2 2 2 2 AF ? BF ? AF ? BF 4 AF ? BF ? AF ? BF

?

1 3 1 3 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ,当且仅当 AF ? BF 时,不等式取等号. 4 4 2-1 AF BF ? -1 BF AF

y
G N E B A M

O

F

x

20.A

f ?( x) ? ? 2x ? a ? ex ? ? x2 ? ax ? b? ex ? [ x2 ? ? a ? 2? x ? a ? b]ex , 因 为 函 数 f ( x) 在

? ??, ?2? , ?1, +? ? 上 均 为 增 函 数 , 所 以 f ?( x ) ? 0 在 ? ??, ?2? , ?1, +? ? 上 恒 成 立 , 即
[ x2 ? ? a ? 2? x ? a ? b]e x ? 0 在 ? ??, ?2? , ?1, +? ? 上恒成立,令 h( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ? b ,
2

则 h( x) ? 0 在 ? ??, ?2? , ?1, +? ? 上恒成立,所以有 h(?2) ? (?2) ? (a ? 2) ? (?2) ? a ? b ?
2

? a ? b ? 0 , h(1) ? 1 ? (a ? 2) ? a ? b ? 2a ? b ? 3 ? 0 , ?2 ? ?

a?2 ? 1 , 即 a, b 满 足 2

??a ? b ? 0 ?2a ? b ? 3? 0 ? a ? b a ?2 ? b ?2 b ?2 , 在直角坐标系内作出可行域, ,其中 ? ?1 ? ? a ? 2 a ? 2 a ?2 b ? 1 ? ? ??4 ? a ? 2 b?2 k? 表示的几何意义为点 P(2, ?2) 与可行域内的点 Q ( a, b) 两点连线的斜率,由图可 a?2 1 2 2 a?b 知 - 3 ? k ? ? ,所以 ? 2 ? k+1 ? ,即 的取值范围为 ( ?2, ] . a?2 3 3 3

21. 2 . 当 x ? 1 时, y ? log 2 x ? 以x?

1 1 ,所以 x ? 2 ;当 x ? 1 时, y ? x ? 1 ? ,所 2 2

3 ,不符合题意.故应填 2 . 2
22. 120
2 因为成绩 X ~ N 100, a ,所以其正态曲线关于直线 x ? 100 对称,又成

?

?

3 ,由对称性知,成绩在 120 分以上的人数约 5 1 3 1 1 1? ) ? ,所以数学考试成绩不低于 120 分的学生约有 ? 600 ? 120 人. 为总人数的 ( 2 5 5 5 f ( x) ( x ? 0) ,因为 f ? x ? ? xf ? ? x ? , 23. (0,1) 令 g ( x ) ? x xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递减, 所以 g ?( x) ? x2 1 f( ) 1 ? ? x ? f ( x) ,即 g ( 1 ) ? g ( x ) ,则 1 ? x , 将 x 2 f ? ? ? f ? x ? ? 0 化为 1 x x x ? x? x
绩在 80 分到 120 分之间的人数约为总人数的 解得 0 ? x ? 1 . 24.

24 625

依题意可知,每一个人入住的方法都是 5 种,所以 5 人入住的方法总数

5 5 为 5 ? 3152 种,而每个房间恰好进入一人的方法数是 A5 ? 120 种,因此,每个房间恰好

5 A5 120 24 ? 进入一人的概率是 5 ? . 5 3125 625

25. 70

由已知, x ?

1 8? 1 3 ? 1? 0 1 24 ? 34 ? 38 ? 64 ? 10 , y ? ? 40 , 所 以 4 4

? ? ?2 x ? 60 ,当 x ? ?5 时, y ? ? 70 . 4 0? 1 b 0? 6b 0? , ? , 2 y
26. ? 3 4, 2

?

?

因为对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,

所以 f ? x? ? f ? x ? 4? ,?T ? 4, 作出函数 y ? f ? x ? 与y ? loga ( x ? 2) 的图象,如图所 示,由图象可知 ?

?log a 4 ? 3 , 解得 3 4 ? a ? 2 . ?log a 8 ? 3

27.

3 2

设 PT 交 x 轴于点 T , PF 1 ? m ,则 MP ?

1 2c F1 F2 ? ,由 OM∥PT,得 3 3

F1M

2 m? c mc mc 3 ? c , , 即 则 FT , 所以 F2T ? 2c ? , 又 PT ? ? 1 2 2 m FT F1P FT 1 1 m? c m? c 3 3

FO 1

是 ?F 1PF2 的角平分线,则有

F1P F2 P

?

FT 1 F2T

,代入整理得 m ? 2a ? m ?

4 c ,所以离心率为 3

e?

c 3 ? . a 2 1 28. 如图,连接 CG ,延长交 AB 于 D ,由于 G 为重心,故 D 为中点,因为 2 1 3 AG ? BG ,所以 DG ? AB ,由重心的性质得 CD ? 3DG ,即 CD ? AB ,由余弦定 2 2

理得 AC 2 ? AD2 ? CD2 ? 2 AD ? CD ? cos ?ADC ,

BC 2 ? BD2 ? CD2 ? 2BD ? CD ? cos ?BDC ,因为 ?ADC ? ?BDC ? ? , AD ? BD ,所以
2 AC 2 ? BC 2 ? 2 AD2 ? 2CD2 , 所 以 AC 2 ? BC ?

1 1 ? ? ? tan A tan B tan C







c s

1 9 2 AB ? 2 AB ? 5 AB , 2 2 A o s B ? c o s C ? ? , 所 Ai n B s i C n

2



c s



o i n

s

?
2 ?

?

(sin A cos B ? cos A sin B)sin C sin 2 C AB 2 ? ? 2sin A sin B cos C 2sin A sin B cos C 2 BC ? AC ? cos C

AB 2 AB 2 1 1 ? ? ,所以 ? ? . 2 2 2 2 2 2 BC ? AC ? AB 5 AB ? AB 4

29. [

e2 3 3 , ??) 由 mx 3 ? ln x ? 1 , x 得 mx ? ln x ? 1 或 mx ? ln x ? ?1 , 即m 3

3

?n lx 1 ?

3 或 mx ? ln x ? 1 .又 x ? ? 0,1? ,所以 m ? ln x3? 1 或 m ? ln x3?1 ,所以 m ? ?

x

x

? ln x ? 1 ? 或 ? ? x3 ?max

ln x ? 1 ? . m?? ? ? ? x3 ?min

1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 ?2 x 2 ( ? 13 ln x ? 1 x 2 ? (1) 令 f ( x) ? , 则 f ?( x) ? 6 6 3 x x x
,得 x ? e f ?( x )? 0 所 以
?2 3

lxn )
,令

? 1 ,当 0 ? x ? e 3 时, f ?( x) ? 0 ;当 e
? 2 ? 2

?

2

?

2 3

? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 .

f ( x) 在 (0, e 3 ) 上 是 增 函 数 , 在 (e 3 ,1] 是 减 函 数 . 所 以
? 2 3

2 2 ? ? ?1 e2 ln e 3 ? 1 e2 f (x m ) a ?x f e ( ? ) 2 ? 3?2 ? ,所以 m ? . ? 3 e 3 (e 3 ) 3
1 ? x3 ? (ln x ? 1) ? 3x 2 2 2 ln x ? 1 ? 4 x ? 36x ln x , 因 为 (2) 令 g ( x) ? , 则 g?( x) ? x 6 3 x x x
, 所以 ln x ? 0 , 所以易知 g?( x) ? 0 , 所以 g( x) 在 ? 0,1? 上是增函数.易知当 x ? 0 x ? ? 0 , ?1 时, g( x) ? ?? ,故 g( x) 在 ? 0,1? 上无最小值,所以 m ? ln x3?1 在 ? 0,1? 上不能恒成立.综

x

e2 e2 上所述, m ? ,即实数 m 的取值范围是 [ , ??) . 3 3
30. 2017 ? 2
2014

第一行为 1 、 2 、 3 的三角形,最后一行的数为 ? 3 ? 1? ? 2 ;第一行
1 2

为 1 、 2 、 3 、 4 的三角形,最后一行的数为 ? 4 ? 1? ? 2 ;第一行为1 、 2 、 3 、 4 、 5 的三 角形最后一行的数为 ? 5 ? 1? ? 2 ;?,可猜想第一行为 1 、 2 、 3 ,?, 2016 最后一行的数
3

为 ? 2016 ? 1? ? 2 三、解答题

2014

? 2017 ? 22014 .

31.解: (1) f ( x) ? m ? n ? 3sinx cos x ? cos x ?
2

?? ?

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

? sin(2 x ?
由?

?

?
2

1 )? , 6 2

? 2k? ? 2 x ?

?

6

?

?
2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

所以函数的单调递增区间为 ? ?

? ? ? ? ? k ? , ? k? ? , k ? Z . 6 ? 3 ?
?
6 )? 1 , 2

(2)? f ( A) ? 1,? sin( 2 A ?

? 0 ? A ? ? ,?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? , 6

?2A ?

?
6

?

5? ? ,? A ? . 6 3

由 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A,
2 2 得 1 ? b ? c ? 2bc cos

?
3

? 4 ? 3bc ,? bc ? 1 ,

1 3 . ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 4
32.解: (1)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x . 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 ,解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 . (2)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由(1)得,区间 ?45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 .因为 X 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 ,
0 1 2 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.60 ? 0.43 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C1 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 , 2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为:

X 服从二项分布 B ? n, p ? ,所以 X 的数学期望为 EX ? 3 ? 0.6 ? 1.8 .
33. 解: (1)连接 AC ,交 BD 于点 O ,∵底面 ABCD 是正方形, ∴ AC ? BD ,且 O 为 BD 的中点,又∵ PA ? BD , PA ? AC ? A , ∴ BD ? 平面 PAC ,由于 PO ? 平面 PAC ,故 BD ? PO , 又∵ BO ? DO ,故 PB ? PD ; (2)设 PD 的中点为 Q ,连接 AQ , EQ , EQ //

Q

1 CD , 2

∴ AFEQ 为平行四边形, EF / / AQ ,∵ EF ? 平面 PCD ,

∴ AQ ? 平面 PCD ,∴ AQ ? PD , PD 的中点为 Q , ∴ AP ? AD ? 2 ,由 AQ ? 平面 PCD ,又可得 AQ ? CD , 又∵ AD ? CD , AQ ? AD ? A ,∴ CD ? 平面 PAD , ∴ CD ? PA ,又∵ BD ? PA , ∴ PA ? 平面 ABCD ,由题意, AB , AP , AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,向量 AB ,

??? ?

???? ??? ? AD , AP 的方向为 x , y , z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,则

A(0, 0, 0) , B( 2,0,0) , Q(0,

2 2 , ) , D(0, 2,0) , P(0,0, 2) , 2 2

???? ??? ? ???? 2 2 AQ ? (0, , ) , PB ? ( 2,0, ? 2) ,而 AQ 为平面 PCD 的一个法向量, 2 2 ??? ? ???? PB ? AQ 1 ? ???? ? , 设直线 PB 与平面 PCD 所成角为 ? ,sin ? ? ??? ∴直线 PB 与平面 PCD 所 | PB | ? | AQ | 2
成角为

? . 6

34. 解 : ( 1 ) 由 表 中 信 息 可 知 , 当 产 假 为 14 周 时 某 家 庭 有 生 育 意 愿 的 概 率 为

P 1 ?

4 1 ? ; 200 50
16 2 ? 200 25

当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 P2 ?

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A ,由已知从 5 种不同安排方
2 案中,随机地抽取 2 种方案选 法共有 C5 , ? 10 (种)

其和不低于 32 周的选法有(14,18) 、 (15,17) 、 (15,18) 、 (16,17) 、 (16,18) 、 (17, 18) ,共 6 种, 由古典概型概率计算公式得 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

②由题知随机变量 ? 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.

1 1 2 ? 0.1 , P(? ? 30) ? ? 0.1, P(? ? 31) ? ? 0.2 , 10 10 10 2 2 1 1 P(? ? 32) ? ? 0.2, P(? ? 33) ? ? 0.2, P(? ? 34) ? ? 0.1, P(? ? 35) ? ? 0.1 , 10 10 10 10 P(? ? 29) ?
因而 ? 的分布列为

?
P

29

30

31

32

33

34

35

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

0.1

0.1

所以 E (? ) ? 29 ? 0.1 ? 30 ? 0.1 ? 31? 0.2 ? 32 ? 0.2 ? 33 ? 0.2 ? 34 ? 0.1 ? 35 ? 0.1 ? 32 .
2 2 35.解: (1)由 C (3,9) 及 AC 平行于 x 轴知 A(?3,9) ,设 B( x1 , x1 ) , D( x2 , x2 );

y D

A

C

B O

x

由题意知,过点 C 的切线斜率存在,故设切线的方程为 y ? 9 ? k ( x ? 3) , 联立 ?

? y ? 9 ? k ( x ? 3) ? x 2 ? kx ? 3k ? 9 ? 0. 2 y?x ?

? ? (?k )2 ? 4(3k ? 9) ? 0 ? (k ? 6)2 ? 0 ? k ? 6.
从而 kBD ? k ? 6. 从而设直线 BD 的方程为 y ? 6 x ? m ,

? y ? 6x ? m ? x2 ? 6 x ? m ? 0. ? 2 ? y?x
则 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? ?m , 又因为 ?BAD ? 90 ,所以
?

k AB ? k AD ? ?1 ?

2 x12 ? 9 x2 ?9 ? ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? ?1 ? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 ? ?1. x1 ? 3 x2 ? 3

即 ?m ? 3 ? 6 ? 9 ? ?1 ? m ? ?8. 故直线 BD 的方程为 y ? 6 x ? 8.
2 (2)解方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 ,可得 B (2, 4) , D(4,16) ,

四边形 ABCD 面积 S ? S?ACD ? S?ACB

1 1 1 ? ? AC ? yD ? yC ? ? AC ? yB ? yC ? ? 6 ? (7 ? 5) ? 36 . 2 2 2
36.解:(1)设 PA 中点为 G ,连结 EG,DG , 因为 PA // BE ,且 PA ? 4,BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形, 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB,CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD , 所以四边形 CDGE 为平行四边形, 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 所以 CE //平面 PAD . (2) 如图, 建立空间坐标系, 则 B ? 4,0,0? , C ? 4,4,0? ,E ? 4,0,2? ,P ? 0,0,4? ,D ? 0, 4,0? , 所以 PC ? ? 4, 4, ?4 ? , PE ? ? 4,0, ?2 ? , PD ? ? 0, 4, ?4 ? .

??? ?

??? ?

??? ?

?? ??? ? ?? ? ?m ? PC ? 0 ? x ? y ? z ? 0 ?? 设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ? x, y, z ? ,所以 ? ?? ??? . ? ? ?m ? PE ? 0 ?2 x ? z ? 0
?x ? 1 ?? ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? ?1,1, 2 ? . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? PD 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ? ??? ? ?? ? PD m

?4 3 ? . 6 6?4 2

3 . 6 ??? ? ???? (3)假设存在点 F ? a,0,0? 满足题意,则 FE ? ? 4 ? a,0, 2 ? , DE ? ? 4, ?4, 2 ? .
所以 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值是

? ???? ? ?n ? DE ? 0 ? ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ??? , ?? ? 4 ? a x ? 2 z ? 0 ? ? ? n ? FE ? 0 ? ? ?

?x ? 2 ? ? ? a a ? ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? ,所以 n ? ? 2, , a ? 4 ? . 2 ? 2 ? ? ? ?z ? a ? 4
因为平面 DEF ? 平面 PCE , 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? 所以 a ?

?? ?

a ? 2a ? 8 ? 0 , 2

AF 3 12 ? 12 ? ? . ? 4 , 故存在点 F ? , 0, 0 ? 满足题意,且 AB 5 5 ? 5 ?

37.解: (1) Sn ? nan ? 3n(n ? 1) , (n ? N,n ? 2) , 所以 n ? 3 时, Sn?1 ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)(n ? 2) , 两式相减,得 an ? Sn ? Sn?1 ? nan ? (n ?1)an?1 ? 3(n ?1)[n ? (n ? 2)] , 即 (n ?1)an ? (n ?1)an?1 ? 6(n ?1) ,也即 an ? an?1 ? 6 ( n ? 3 ) , 又由 Sn ? nan ? 3n(n ? 1) , (n ? N,n ? 2) ,得 a2 ? a1 ? 6 , 所以 {an } 是公差为 6 的等差数列,且 a1 ? 1 , 所以 an ? 6n ? 5 . (2) Sn ? nan ? 3n(n ?1)=n(6n ? 5) ? 3n(n ?1) ? 3n2 ? 2n (n ? N ) ,
?

Sn ? 3n ? 2 , n S S1 S2 S3 3n(n ? 1) 3 1 ? ? ? ... ? n ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ... ? n) ? 2n ? ? 2n ? n 2 ? n , 1 2 3 n 2 2 2 S S 3 S S 3 2 1 3 5n 3 2 2 ? ? 2016 , 所以 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? (n ? 1) ? n ? n ? (n ? 1) ? 1 2 3 n 2 2 2 2 2 2
所以 所以 5n ? 4035 ,所以 n ? 807 ,

S S1 S2 S3 3 ? ? ? ... ? n ? (n ? 1) 2 ? 2016 . 1 2 3 n 2 1 38.解: (1) a ? 1 时, f ( x) ? ln x ? ? 1 , x x ?1 所以 f ?( x) ? 2 , x
即当 n ? 807 时,

f ?(1) ? 0 ,又 f (1) ? 0 ,
所以切线方程为 y ? 0 . (2) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

x?a , x2

①若 a ? 0, 则f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增 , ②若 a ? 0 ,则当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 单调递减. 当 x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 ( a, ??) 单调递增.

1 1 1 ? ? 等价于 ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ? 0 , ln x x ? 1 2 ( x ? 1) 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 , 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,则 F ?( x) ? ln x ? x x
(3)?1 ? x ? 2 ? 由(2)知,当 a ? 1 时, f min ( x) ? f (1) ? 0 ,

? f ( x) ? f (1) ,即 ln x ?

1 ?1 ? 0 , x

所以 F ?( x) ? 0 ,则 F ( x ) 在 (1, 2) 上单调递增, 所以 F ( x) ? F (1) ? 0 , 即 有1 ? x ? 2时,

1 1 1 ? ? 成立. ln x x ? 1 2

39.解: (1) 设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , a 2 b2

因为椭圆的左焦点为 F , 0? ,所以 a 2 ? b2 ? 4 , 1? ?2 因为点 B 2, 2 在椭圆 C 上,所以 解得 a ? 2 2 , b ? 2 , 所以椭圆 C 的方程为

?

?

4 2 ? 2 ? 1, 2 a b

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(2)因为椭圆 C 的左顶点为 A ,则点 A 的坐标为 ?2 2, 0 .

?

?

因为直线 y ? kx (k ? 0) 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 交于两点 E , F , 8 4

设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? ,

? y ? kx, ? 8 联立方程组 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得 x2 ? , ?1 1 ? 2k 2 ? ? 4 ?8

所以 x0 ?

2 2 1 ? 2k
2

,则 y0 ?

2 2k 1 ? 2k 2



所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 2k 2

?x ? 2 2?,
? ? ? ?, ? 1 ? 1 ? 2k ? 2 2k
2

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 令 x ? 0 ,得 y ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

,即点 M ? 0, ?

同理可得点 N ? 0,

? 2 2k ? 1 ? 1 ? 2k 2 ?

? ? ?, ?

所以 MN ?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2

?

2 2k 1 ? 1 ? 2k 2
? ? ?

?

2 2 ?1 ? 2k 2 ? k
2? ?. k ? ?
2



设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ?
2

? ? ?

2? ? k ? ?

? 2 ?1 ? 2k 2 ? ? ? , ?? ? ? k ? ? ? ?

2

即 x2 ? y 2 ?

2 2 y ?4. k

2 令 y ? 0 ,得 x ? 4 ,即 x ? 2 或 x ? ?2 .

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ? 2,0? , P 2 ? ?2,0? . 40.解: (1)当 m ? 1时,令 g ? x ? ? f

?x ? ?

x3 ? x3 , ? ?1 ? x ? 0 ? ,则 g ? ? x ? ? 3 1? x

3 当 ?1 ? x ? 0 时, ?x ? 0 , 1 ? x ? 0 ,∴ g ? ? x ? ? 0 ,函数 g ? x ? 递增,

∴当 ?1 ? x ? 0 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0 ,即当 ?1 ? x ? 0 时, f

?x ? ?

x3 ?① . 3

? ? 1 ?? mx ? x ? ? m ? ? ? m ?? 1 ? ? (2) f ? ? x ? ? ?② ,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x 1 ? 0 , x 2 ? m ? , m 1 ? mx
(a)当 m ? 1时, x 1 ? x 2 ? 0 ,由②得 f ? ? x ? ?

x2 ?③ 1? x

2 ∴当 x ? ?1时, 1 ? x ? 0 , x ? 0 , ∴ f ? ? x ? ? 0 ,此时,函数 f ? x ? 为增函数,

∴ ?1 ? x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , 故函数 y ? f

? x ? 在 x ? ?1时有且只有一个零点 x ? 0
1 1 1 ? 0 ,且 ? ? m ? , m m m



(b)当 0 ? m ? 1 时, m ? 由②知,当 x ? ? ?

1? 1? ? 1 ? , m ? ? , 1 ? mx ? 0 , mx ? 0 , x ? ? m ? ? ? 0 , m? m? ? m ? ? ? 1 ? , 0 , f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ; m ? ?

此时, f ? ? x ? ? 0 ;同理可得,当 x ? ? m ?

∴函数 y ? f 故当 m ?

? x ? 的增区间为 ? ??

1 1? 1 ? ? , m ? ? 和 ? 0, +? ? ,减区间为 ? m ? , 0 ? , m? m ? ? m ?

1 ? x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? f ? 0? ? 0 , m

∴函数 y ? f

?x ? , x ? ? ?m ?
?

1 ? , ?? ? 有且只有一个零点 x ? 0 ; m ?

又 f ?m?

? ?

1 ? 1? 1? 1? 2 1 ? 2 ? ? ln m ? ? m ? 2 ? ,构造函数 ? ?t ? ? ln t ? ? t ? ? , 0 ? t ? 1 ,则 2? t ? m? 2? m ?
2

1 1 ? 1 ? ? ?t ?1? ? ? ?t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? t 2? t ? t2

? ④ , 易 知 , ?t ? ? 0,1? , ??(t ) ﹤ 0 , ∴ 函 数

y ? ? ?t ? ( 0 ? t ? 1 )为减函数,∴ ? ?t ? ? ? ?1? ? 0 ,
2 由 0 ? m ? 1 ,知 0 ? m ? 1 ,∴ f ? m ?

? ?

1? 1? 2 1 ? 2 ? = ln ? m ? ? ? m ? 2 ? ? 0 ?⑤, m? 2? m ?
1? x , 当 0 ? x ? 1 时, 当 x ?1 k? ? x? ? 0 , x

构造函数 k ? x ? ? ln x ? x ?1 ? x ? 0? , 则 k?? x? ?

时 , k ? ? x ? ? 0 , ∴ 函 数 y ? k ? x ? 的 增 区 间 为 ? 0,1? , 减 区 间 为 ?1, ?? ? , ∴

? 2 ?1 1 1 1 k ? x ? ? k ?1? ? 0 ,∴有 ln 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ,则 e m ? m 2 , m m m

1



e

?

1 m2

?1

?1

m

1 1 e m ?1 1 ? m ? ,当 ? ? x ? 时, ln ?1 ? mx ? ? ? 2 ? 1 ?⑥ m m m m
2

?

1

?1



x2 1 ? mx ? x 2 ? mx ? 2 ? 1 ?⑦, 2 m

x2 1 1 ? mx ? ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ?⑧, 由⑥⑦知 f ? x ? ? ln ?1 ? mx ? ? 2 m m

1 e m ?1 1? ? 1 又函数 y ? f ? x ? 在 ? ? , m ? ? 上递增, m ? ? , m m m? ? m
2

?

1

?1

? 1 m 2 ?1 ? 由⑤⑧和函数零点定理知, ? x 0 ? ? ? , ? ,使得 f ? x 0 ? ? 0 , m ? ? m
x2 ? mx 有两个零点, 综上,当 0 ? m ? 1 时,函数 f ? x ? ? ln ?1 ? mx ? ? 2
(c)当 m ? 1时, m ?

1 ? 1 ? ? 0 ,由②知函数 y ? f ? x ? 的增区间是 ? ? , 0 ? , m ? m ?

和 ?m ?

? ?

1 1? ? ? , ?? ? ,减区间是 ? 0, m ? ? ?⑨, m m? ? ?

由④知函数 y ? ? ?t ? ,当 t ? 1 为减函数,∴当 t ? 1 时 ? ?t ? ? ? ?1? ? 0 , 从而 f ? m ?

? ?

1 m

1 ? ? ? ? 0 ;当 x ? 2m 时, ? 其中2m ? m ? m ? ?

? ? , 1 ? mx ? 1 , ?

f ? x ? ? ln ?1 ? mx ? ?
又x ? m?

x2 x ? mx ? ln ?1 ? mx ? ? ? x ? 2m ? ? 0 ?⑩, 2 2

1 1 ? ? 时,函数 y ? f ? x ? 递增,∴ ? x 0 ? ? m ? , 2m ? 使得 f ? x 0 ? ? 0 , m m ? ?

根据⑨知, 函数 x ? ? ? ∴函数 y ? f ( x) 在 (?

1? ? 1 ? ? 有 f ? x ? ? 0 ;x ? ? 0, m ? ? 时,f ? x ? ? 0 , 而 f(0)=0, , 0 ? 时, m? ? m ? ?
1 1 , m ? ) 上有且只有一个零点 x ? 0 , m m

∴ m ? 1时,函数 y ? f

? x ? 有两个零点.

综上所述:当 0 ? m ? 1 和 m ? 1时,函数 y ? f 当 m ? 1时,函数 y ? f

? x ? 有两个零点,

? x ? 有且仅有一个零点.


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