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不等式选讲选自09年福建各市质检(模拟)卷


漳州质检

1. (09 高考)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1 解:当 x<0 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? ? x ? 1, 解得x ? 0 又? x ? 0,? x 不存在; 1 当 0 ? x ? 时,原不等式可化为 ?2 x ? 1 ? x ? 1, 解得x ? 0 2 1 1

又? 0 ? x ? ,?0 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? ,? ? x ? 2 2 2 综上,原不等式的解集为 x | 0 ? x ? 2 . 2.(本小题满分 7 分)选修 4-5; 解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? x ? 1 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力 解:当 x ? ?1 时,原不等式可化为
2

?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? x2 ? 1 ,解得 x ? ?2 或 x ? 0 ? x ? ?2 当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? x 2 ?1 ,解得 x ? ? 2 或 x ? 2
? 2?x?2 当 x ? 2 时,原不等式可化为
1

( x ? 1) ? ( x ? 2) ? x2 ? 1 ,解得 x ? R ?x ? 2 综上所述,原不等式的解集为 (??, ?2) ? ( 2, ??)
3.年泉州质检(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 不等式 1 ? t ? 1 ? t ? 2x ? x ? 1 对任意实数 t 恒成立,试求实数 x 的取值范围.
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解:∵ 1 ? t ? 1 ? t ? 1 ? t ? 1 ? t ? 2
2x ? x ? 1 ? 2

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∴ 1 ? t ? 1 ? t ? 2x ? x ? 1 对任意实数 t 恒成立等价于 ?? 4分
?x ? 0 ?0 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? , ?????????? 6分 ?? 1 ? 3x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ?3x ? 1 ? 2 ? 1 ? 解得实数 x 的取值范围为 ? ? , 1? 。 ????????????? 7 分 ? 3 ?

4.师大附中(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?
x ?1 ? x ? 2 ? a .
5 y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x y y= x+1 + x-2

(Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.
(Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出 函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示), 知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? . (Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ 5.南平市适考(本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲
2

?a ? 3,即a ? ?3 .

已知关于 x 的不等式: x ? 1 ? x ? 2 ≥ a ? 2 a ? 3 恒成立,求 a 的取值范围. 解:∵ x ? 1 ? x ? 2 ? 3,
2

----------------------------2 分
2

要 x ? 1 ? x ? 2 ≥ a ? 2 a ? 3 恒成立 只需a ? 2 a ? 3 ? 3 成立,即 ( a ? 2) a ? 0,? a ? 0,? a ? 0

----------4 分

------------------------7 分

6.三地五校模拟(选修 4-5)已知函数 f ( x) ?| x ? 3| ?2 , g ( x) ? ? | x ? 1| ?4 . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 的值不大于 1,求 x 的取值范围; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) ≥ m ? 1 的解集为 R,求 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) ≤ 1 ,即 | x ? 3 | ?2 ≤1
2

得 | x ? 3 |≤ 3

因为 | x ? 3 |≤ 3 ? ?3 ≤ x ? 3 ≤ 3 ? 0 ≤ x ≤ 6 所以 x 的取值范围是[0,6] ??????????3 分

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1| ?6 , 因为对于 ?x ? R ,由绝对值的三角不等式得

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3| ? | x ? 1| ?6 ?| 3 ? x | ? | x ? 1| ?6 ≥| (3 ? x) ? ( x ? 1) | ?6 ? 4 ? 6 ? ?2
于是有 m ? 1 ≤ ?2 ,得 m ≤ ?3 ,即 m 的取值范围是 (??, ?3] ???????7 分

7.三明市质检(本小题满分 7 分)选修 4—5;不等式选讲
若函数 f ( x) ? 2|x?7|?|3x?4| 的最小值为 2,求自变量 x 的取值范围

?2 ? | x ? 7 | ? | 3x ? 4 |? 1 , 4 当 x ? 时,不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 1 3 4 解得 x ? 5, 即 ? x ? 5 3 4 当 ?7 ? x ? 时,不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 1 3 1 1 4 解得 x ? ? , 即 ? ? x ? ; 2 2 3 当 x ? ?7 时,不等式为 ? x ? 7 ? (3x ? 4) ? 1 , 解得 x ? 6 ,与 x ? ?7 矛盾 1 ? 自变量 x 的取值范围为 ? ? x ? 5 。 2
解:依题意, 2 8.福州八中模拟(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
2 3 3 (Ⅰ)设 x 是正数,求证: ?1 ? x ? 1 ? x 1 ? x ? 8 x ;

| x ? 7|?|3 x ? 4|

(Ⅱ)若 x ? R ,不等式 ?1 ? x ? 1 ? x

?

?

2

??1 ? x ? ? 8 x
3

??

?

3

是否仍然成立?如果仍成立,请给出

证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的 x 的值.
(3) (本小题满分 7 分) 【解】 (Ⅰ)略 --------------------4 分 (Ⅱ) x ? R 时原不等式仍然成立.…………………………7 分 9.厦门一中质检(本小题满分 7 分)选修 4-5;不等式选讲
3

若 ab ? 0,且A(a,0), B(0, b), C(?2, ?2)三点共线,求ab的最小值 。 解:根据题意,

2 b?2 ? , 即 ab ? ?2(a ? b) ,………………2 分 a?2 2 ?ab ? 0,?a ? 0, b ? 0,?(?a) ? (?b) ? 2 (?a)(?b), …………4 分

?ab ? 4 ab ,? ab ? 4 或 ab ? 0 (舍) ? ab ? 16, 当且仅当 a ? b ? 4 时等号成立,?(ab)min ? 16 ………7 分
10.厦门六中模拟(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 若不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? 1 对任意实数 x 均成立,求实数 a 的取值范围 设 y ?| x ? a | ? | x ? 2 | ,则 ymin ? a ? 2 ???3 分 因为不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? 1 对 ?x ? R 恒成立???5 分 所以

a ? 2 ? 1,解得: a ? 3, 或a ? 1 ???7 分

11.厦门双十热身(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围. (1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示),知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .???4 分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , ∴ ?a ? 3,即a ? ?3 ????7 分
5 y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x y y= x+1 + x-2

12.厦门外国语模拟(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲选做题 已知函数 f ( x) = x - 1 + x - 2 . 若不等式 a + b + a - b ≥ a f ( x) 对
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a?0, a、 b?R 恒成立,

求实数 x 的范围.

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(3 ) 【解】 由 a + b + a - b ≥ a f ( x) |且 a?0 得 又因为 解不等式

| a ?b| ?| a ?b| ≥f ( x) . |a|

| a ?b| ?| a ?b| | a ?b? a ?b| ≥ ? 2 ,则有 2 ≥f ( x) . ??????????3 分 |a| |a|
1 ≤x≤ 5 . 2 2
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

x ? 1 ? x ? 2≤ 2 得

?????????7 分

13.厦门市适考(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
4

已知 | 2 x ? 3 | ≤1 的解集为 [m, n] (Ⅰ)求 m ? n 的值; (Ⅱ)若 x ? a ? m, 求证: x ? a ? 1. 本题主要考查绝对值不等式的基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力 解: (Ⅰ)由 不等式 | 2 x ? 3 |? 1 可化为 ?1 ? 2 x ? 3 ? 1 得 1 ? x ? 2 ???2 分 ∴m=1,n=2, m+n=3 ?????4 分 (Ⅱ)若 x ? a ? 1, x ? x ? a ? a ? x ? a ? a ? a ? 1 ??????7 分

14. (建瓯一中调研)设函数 f ( x ) ?| x ? 1 | ? | x ? a | (a ? 0) . (Ⅰ)作出函数 f ( x ) 的图象;(Ⅱ) 若不等式 f ( x ) ? 5 的解集为 (??, ? 2? ? ?3,??) ,求 a 值. 解:(Ⅰ) f ( x ) ?| x ? 1 | ? | x ? a |

( x ? ?1) ?? 2x ? 1 ? a ? ? ?a ? 1 ( ?1 ? x ? a ) ? 2x ? 1 ? a ( x ? 2) ? 函数 f ( x ) 如图所示。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 (Ⅱ)由题设知: | x ? 1 | ? | x ? a |? 5 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? 5 的图象
( 如 图 所 示 ) (??, ? 2? ? ?3,??) . 又 解 集 为
-3 -2 -1

y

y= x+1 + x-a

5 y=5 4 3 2 1 O 1 2 3 x

由题设知,当 x ? ? 2 或 3 时, f ( x ) ? 5 且 a ? 1 ? 5 即 15.晋江四校(不等式选讲)设函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 4 ①解不等式 f ? x ? ? 3 ;②求函数 f ? x ? 的最小值。 (不等式选讲)① x x ? 2

a?4

由 f (?2) ? ?2(?2) ? 1 ? a ? 5 得: a ? 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分

?

? ?? 3' ;

② f ? x ?的最小值为-7 ?? 7 ' 16.福州三中模拟(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 |, g ( x) ? 2 x ? 3 。 (I)画出函数 f ( x) 的图象,并根据函数图象写出 f ( x) 的单调区间; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? g (a) ? 0 有解,求实数 a 的取值范围。 (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)∵ f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 |
?? x ? 5 , x ? ?1 ? ? ?? 3 x ? 3,?1 ? x ? 2 ?x ? 5 , x ? 2 ?

W w w.k s 5 u.c o m

y

O

x

∴函数 f ( x) 的图象如图所示,且其单调递增区间为 ( ?? ,2) ,单调递减区间为 (2,??) (II)∵ f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? | x ? 1 |, g ( x) ? 2 x ? 3 ∴ f ( x) ? g (a) ? 0 即为 f ( x) ? 2a ? 3
5

∴为使关于 x 的不等式 f ( x) ? 2a ? 3 有解,当且仅当 f ( x) min ? 2a ? 3 由(I)知 f ( x) min ? ?3 ∴ 2a ? 3 ? ?3 ,即得 a ? ?3 ∴实数 a 的取值范围是 (?3,??)
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17.莆田一中模拟(本小题满分 7 分)选修 4-5;不等式选讲 关于 x 的二次方程 x2 ? 6x? | a ? 2 | ? | 2a ?1|? 0 有实根,求 a 的取值范围 解?原方程有实根, ?? ? 36 ? [| a ? 2 | ? | 2a ? 1|] ? 0, ??????2 分
?| a ? 2 | ? | 2a ? 1|? 9 1 1 8 (1)当a ? 时, ? a ? 2 ? 2a ? 1 ? 9,? ? a ? 2 2 3 1 1 (2)当 ? 2 ? a ? 时, ? a ? 2 ? 1 ? 2a ? 9, 0n ??2 ? a ? 2 2 10 (3)当a ? ?2时, ? ?a ? 2 ? 1 ? 2a ? 9,?? ? a ? ?2 3 ? 10 8 ? 综上所述,由()( 1 2)(3)得a的取值范围 ?- , ? ? 3 3 ? ????7 分
18. 龙岩一中模拟(本小题满分 7 分) 选修 4 一 5:不等式选讲 求|2x-3|+|3x+2|的最小值. 解:设函
w w w.k s 5 u.c om

2 ? ?1 - 5x, x ? - 3 ? 2 3 ? 数 f ( x) ?| 2x - 3 | ? | 3x ? 2 | ,则 f ( x ) ? ? x ? 5, - ? x ? ,???3 分 3 2 ? 3 ? ?5 x ? 1, x ? 2 ? 2 13 2 3 13 13 3 13 ? f ( x) ? ;当 x ? 时, f ( x ) ? , 当 x ? - 时, f ( x ) ? ;当 - ? x ? , 3 3 3 2 3 2 2 2 2 13 所以当 x=- 时,|2x-3|+|3x+2|取得最小值为 . ????????7 分 3 3
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19.(龙岩二中模拟)若不等式 | x ? 1 | ? | 解:令 f ( x) ?| x ? 1 | ? |

1 x ? 1 |? a 的解集非空,求实数 a 的取值范围。 2

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1 x ? 1| 2 ?3 ? 2 x( x ? 2) ? 1 ?1 则 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1|? ? x ? 2( ?1 ? x ? 2) 。??4 分 2 ?2 ? 3 ?? 2 x( x ? ?1) ?
6

? f ( x) min ? f (?1) ? ?a ?

3 。 2

3 。???????????????????7 分 2
已知函数 f ?x? ? x ? 4 ? x ? 2 .

20.龙岩一中月考 选修 4-5:不等式选讲

(Ⅰ)作出函数 y ? f ?x ?的图像; (Ⅱ)解不等式 x ? 4 ? x ? 2 ? 1

x?4 ? ?2 ? (Ⅰ)解:依题意可知 f ( x ) ? ? ?2 x ? 6 2 ? x ? 4 , ?2 x?2 ?
则函数 y ? f ?x ?的图像如图所示:

(Ⅱ)由函数 y ? f ?x ?的图像容易求得原不等式的解 为 (?? , ) ????7 分



5 2

21. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知|x-4|+|3-x|<a(1)若不等式的解集为空集,求 a 的范围 (2)若不等式有解,求 a 的范围 解法一: (1)<1> x≥4 时 (x-4)+(x-3) < a f(x)=2x-7 在 x≥4 上单调递增 x=4 时取最小值 1。 若要求不等式无解,则 a 小于或等于该最小值即可。即 a ≤ 1 ……2 分 <2.> 4>x>3 时 (4-x) + (x-3) < a 1<a 若要求不等式无解,则 a ≤ 1。否则不等式的解集为全集。 ……………………4 分 <3>x ≤ 3 时 (4-x)+(3-x) < a 7-2x < a 在 x ≤ 3 区间, 不等式左端的函数单调递减。在 x=3 时取最小值 1。 若要求不等式无解,则 a ≤ 1 综合以上 a ≤ 1 ………………………………6 分 (2)若不等式有解,则 a 的范围为原范围的补集。即 a > 1 ………………10 分 另解:<1>:x≥4 时:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因为 x≥4,所以 2x-7≥1 <2>: 3≤x<4 时:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1 <3>:x<3 时:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因为 x<3,所以-x>-3,所以 7-2x>1 可见|x-4|+|3-x|最小值为 1,要使|x-4|+|3-x|<a 是空集, 只需 a 小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以 a≤1 所以有解时是 a>1 解法二: 设 y=|x-4|+|x-3|, (|x-3|=|3-x|)

7

( x ? 4) ?2 x ? 7 ? (3 ? x ? 4) 等价于: y ? ?1 ?? 2 x ? 7 ( x ? 3) ?
其图象为: 由图象知: 当 a≤1 时,|x-4|+|3-x|<a 无解 当 1<a 时,|x-4|+|3-x|<a 有解 22.龙岩市质检(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知实数 x、y、z 满足 x2 ? 4 y 2 ? 9 z 2 ? a (a ? 0), 且 x ? y ? z 的最大值是 7,求 a 的值. 本题主要考查柯西不等式与不等式解法等基本知识,考查化归与转化思想. 满分7分. 解:由柯西不等式:

1 2 1 2? 1 1 2 2 2 ? 2 2 ? ? x ? (2 y) ? (3z ) ? ? ?1 ? ( 2 ) ? ( 3) ? ? ( x ? 2 ? 2 y ? 3 ? 3z) .????(3分) ? ? 2 2 2 因为 x ? 4 y ? 9 z ? a (a ? 0),
49 7 a 7 a a ? ( x ? y ? z ) 2 ,即 ? . ? x? y?z ? 36 6 6 7 a 因为 x ? y ? z 的最大值是7,所以 ? 7 ,得 a ? 36 , 6 36 9 4 , y ? , z ? 时, x ? y ? z 取最大值, 当x? 7 7 7 所以 a ? 36 . ?????????????(7分)
所以 23.宁德市质检(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲选做题 已知正实数 u , v , w 满足 u ? v ? w ? 8 ,求
2 2 2

u 4 v 4 w4 ? ? 的最小值。 9 16 25

本题主要考查利用常见不等式求条件最值,考查化归与转化思想,满分 7 分 解:? u ? v ? w ? 8
2 2 2

u2 v2 w2 2 ? 8 ? (u ? v ? w ) ? ( ? 3 ? ? 4 ? ? 5) 3 4 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 u 4 v 4 w4 ? ( ? ? )(9 ? 16 ? 25) 9 16 25 u 4 v 4 w4 64 32 ? ? ? ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 9 16 25 50 25 6 8 u2 v2 w2 : 3 ? : 4 ? : 5 即 u ? , v ? , w ? 2 时取到“=”号, 当且仅当 5 5 3 4 5 4 4 4 6 8 32 u v w 的最小值为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ?当 u ? , v ? , w ? 2 时 ? ? 5 5 25 9 16 25
2 2 2 2

24.福州最后一模(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲
8

(i)已知:a、b、 c ? R? , 求证 : a ? b ? c ?
2 2 2

1 (a ? b ? c) 2 ; 3

w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

(ii)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于 3,求其对角线长的最小值。 解(i) a, b, c ? R? ,

根据柯西不等式有: (a 2 ? b 2 ? c 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? (a ? 1 ? b ? 1 ? c ? 1) 2 1 即a 2 ? b 2 ? c 2 ? (a ? b ? c) 2 ,当且a ? b ? c时等式成立 .??? 4分 3
(ii)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于 a、b、c,

故有a ? b ? c ? 3, 其对角线长l ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 (a ? b ? c) 2 ? 3 , 3

当且仅当a ? b ? c ? 1时对角线长取得最小值 3.???? 7分
25、泉州七中月考选修 4-5: 【不等式选讲】 若实数 x , y , z 满足 x ? 2y ? 3z ? a (a 为常数) ,求 x 2 ? y2 ? z 2 的最小值。 解:∵ 12 ? 22 ? 32

?

?? x

2

? y2 ? z2 ? ? ? x ? 2y ? 3z ? ? a 2
2

a2 14 26.福州一中模拟(选修 4—5 不等式证明选讲) (本题满分 7 分)
即 14 x2 ? y2 ? z2 ? a 2 ,∴ x 2 ? y2 ? z2 ?

?

?

已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件; a ? b ? c ? 3 ,求证: a ? b ? c ? 3 解:由柯西不等式得 ( a ? b ? c )2 ? (a ? b ? c)(1 ?1 ?1) 代入已知 a+b+c=3

?( a ? b ? c ) 2 ? 9
当且仅当

a ? b? c ?3

a=b=c=1,取等号。
4 4 4

27.选修 4—5:不等式选讲已知 x, y, z ? R, 若x 4 ? y 4 ? z 4 ? 1, 求证 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3. 证: x, y, z ? R, 且x ? y ? z ? 1 为定值, 利用柯西不等式得到

( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? (12 ? 12 ? 12 )[(x 2 ) 2 ? ( y 2 ) 2 ? ( z 2 ) 2 ] ???5 分
从而( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 ? 3 ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 8 ,???? 6分 当且仅当 x2 y2 z2 ? ? 时取" ?"号, 1 1 1 8 时取" ?"号???? 7分 3

又x 4 ? y 4 ? z 4 ? 1所以x 2 ? y 2 ? z 2 ?
已知 x ? 2 y ? 3 z ?
2 2 2

28.仙现模拟(本小题满分 7 分)选修 4——5:不等式选讲

18 , 求3 x ? 2 y ? z 的最小值。 17

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

解:

9

? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ?32 ? ? ?
2 2 2

? 2?

2

2 ? 1 ? ? ?? ? ? ? 3? ? ?

1 ? ? ? ? 3x ? 2 y 2 ? 3z ? 3? ? ? ? 3x ? 2 y ? z ?
2 2

2

? ? 3 x ? 2 y ? z ? ? 12, ?2 3 ? 3 x ? 2 y ? z ? 2 3
当且仅当 x ? ?

9 3 3 3 3 3x ? 2 y ? z 取最小值,最小值为 ?2 3 ?7 分 ,y?? ,z ? ? 17 17 17
2 ? c ? 1. 3

29.龙岩质检(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 2 已知实数 a、b、c 满足 a ? 2b ? c ? 1 , a ? b ? c ? 1 ,求证: ?

本题主要考查不等式证明等基本知识,考查化归与转化思想. 满分 7 分. 解:因为 a ? 2b ? c ? 1, a 2 ? b2 ? c2 ? 1, 所以 a ? 2b ? 1 ? c, a 2 ? b2 ? 1 ? c2 . 由柯西不等式:

(12 ? 22 )(a2 ? b2 ) ? (a ? 2b)2 , 5(1 ? c2 ) ? (1 ? c)2 , 2 整理得, 3c ? c ? 2 ? 0 , 2 解得 ? ? c ? 1 . 3 2 ? ? ? c ? 1. 3

??????????(3 分)

??????????(7 分)

30 泉州七中模拟(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲

2 已知实数 a、b、c 满足 a ? 2b ? c ? 1 , a 2 ? b2 ? c2 ? 1 ,求证: ? ? c ? 1 . 3
解: 因为 a ? 2b ? c ? 1, a 2 ? b2 ? c2 ? 1 ,所以 a ? 2b ? 1 ? c, a 2 ? b2 ? 1 ? c2 .

由柯西不等式: 12 ? 22 a 2 ? b2 ? ? a ? 2b ?

?

??

?

2



????????

3分

2 2 5?1 ? c2 ? ? ?1 ? c? ,整理得, 3c2 ? c ? 2 ? 0 ,解得 ? ? c ? 1 . 3 2 ∴ ? ? c ? 1 . ?????????????????????? 3

7分

31. 宁德一中模拟(选修 4—5 不等式证明选讲) (本题满分 7 分) 已知正实数 a 、 b 、 c 满足条件: a ? b ? c ? 3 , 求证: a ? b ? c ? 3
不等式选讲
10

解:由柯西不等式得 代入已知 a+b+c=3 ∴

?

a? b? c

?

2

? (a ? b ? c)(1 ? 1 ? 1)

?????

4分

?

a? b? c

?

2

?9

a ? b? c ?3

?????

6分

当且仅当 a=b=c=1 时,取等号。????? 7 分 32.厦门一模(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? c ? 1 ,且 a、b、c 是正数,求证:

2 2 2 ? ? ?9。 a?b b?c c?a

本题主要考查利用柯西不等式证明不等式,考查推理论证能力。

1 1 1 ? ? ) a?b b?c c?a 1 1 1 ? ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? ( ? ? ) ? (1 ? 1 ? 1) 2 ? 9 a?b b?c c?a 1 1 1 (或=? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? ( ? ? ) a?b b?c c?a a?b a?b b?c b?c c?a c?a ? 3? ? ? ? ? ? b?c c?a a ?b c?a a ?b b?c a?b b?c a ?b c ?a b?c c?a ? 3? 2 ?2 ?2 ? 9) b?c a ?b c?a a ?b c?a b?c 2 2 2 ? ? ? ?9。 a?b b?c c?a x ?1 33. ( 2009 广 东 卷 理 ) (不等式选讲选做题)不等式 ? 1 的实数解为 x?2
证明:左边 ? ? 2(a ? b ? c) ? ( 【解析】



? x ?1 ? x ? 2 ?( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 3 ?? ? x ? ? 且 x ? ?2 . ?1 ? ? 2 x?2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0

x ?1

34.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | 。(1)若 a ? ?1, 解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围。 解: (Ⅰ)当 a=-1 时,f(x)=︱x-1︳+︱x+1︳. 由 f(x)≥3 得 ︱x-1︳+︱x+1|≥3 (ⅰ)x≤-1 时,不等式化为 1-x-1-x≥3 即-2x≥3

11

35.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, A, B, M 为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距 离, y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?

(24)解: (Ⅰ) y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30 (Ⅱ)依题意, x 满足

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, ? ?0 ? x ? 30
12

解不等式组,其解集为 [9, 23] 所以

x ?[9, 23]

13


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