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福建省福州市2013高三5月质检文科数学试卷答案和评分标准


2013 年福州市高中毕业班质量检查 数学(文科)试卷参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评 分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但

不得超过该部分正确解答应 给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,共 60 分. 1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.A 12.C 二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,共 16 分. 9 20 13.1 14. 7 15. ②、③、④ 16. 3 ? 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力和应用意识, 考查函数与方程思想,满分 12 分. 解:(Ⅰ)当 n ? 2 ,时 a SS? ??, ··············· 分 ·········· ···· ??1 2 2 2 ·············· 2 n n n ?
n n n ? 1

又 a S 2 ??? ,也满足上式, ? ? 222 1 1
1

1 ? 1

所以数列{ a

n

}的通项公式为 a n ? 2 . ························ 3 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ···
n

b ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b9 成等比数列, 1
得 ·········· ··········· ···· ( 2? 2 2)? ? d ( 2d 8 , ··························4 分 2 + ) ··········· ·········· ····· 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 2 ,····························· 分 ··········· ·········· ······· 5 ·········· ··········· ······· 所以数列 { b n } 的通项公式为 bn ? 2n . ························ 6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· (Ⅱ)解: cn ?

2 1 ? ··········· ··········· ·· 8 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· ( n ? 1)bn n( n ? 1)
1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1)

数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ?

1 1 1 1 1 ······················· 10 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · = ? ? ? ??? ? 1 2 2 3 n n ?1

? 1?

1 n ? n ?1 n ?1

. ··········· ··········· ···· 分 ························· 12 ·········· ··········· ····

18. 本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、诱导公式、解三角形等基础 知识,意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力,处理交汇性问题的能力,以及 运算求解能力,满分 12 分. 解:(Ⅰ)∵ a ? ( 2, 2), b ? (sin ∴ f ( x) ?

?
4

x, cos

?
4

x)

函数 f ( x) ? a?b

2 sin

?
4

x ? 2 cos

?
4

x ·························· 1分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ·····

? 2(

2 ? 2 ? sin x ? cos x) 2 4 2 4 ? ? ? 2 sin( x ? ) ·······························3分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 4 4

∴T ?

2?

?

?8

∴函数 f ( x) 的最小正周期为8. ················· ················ 6分 ·········· ······

4
(Ⅱ)依题意将函数 f ( x) 的图像向左平移 1 个单位后得 到函数

y ? g ( x) ? 2 sin[ ( x ? 1) ? ] ? 2 cos x ????8 分 4 4 4 函 数 y ? g ( x) ? k 在 (?2,4) 上 有 两 个 零 点 , 即 函 数
y ? g (x) 与 y ? ?k 在 x ? (?2, 4) 有两个交点,如图所示:
所以 0 ? ? k ? 2 ,即 ?2 ? k ? 0 所以实数 k 取值范围为 ?2 ? k ? 0 .·························· 分 ························· 12 ·········· ··········· ···· 19. 本题主要考查概率与独立性检验相交汇等基础知识,考查数形结合能力、运算求解 能力以及应用用意识,考查必然与或然思想等,满分 12 分. 解:(Ⅰ)记“两名同学中恰有一名不优秀”为事件 A,乙抽取的样本数据中,男同学有 4 名优秀,记为 a,b,c,d,2 名不优秀,记为 e,f . ················ 1 分 ··········· ····· ·········· ······ 乙抽取的样本数据,若从男同学中抽取两名,则总的基本事件有 15 个, ······ 分 ····· 2 ····· 事件 A 包含的基本事件有 {a, e} , b, e} , c, e} , d , e} , {a, f } , b, f } , c, f } , d , f } , { { { { { {

?

?

?

8 . ··········· ··········· ·· 4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· 15 (Ⅱ)设投篮成绩与性别无关,由乙抽取的样本数据,得 2? 2 列联表如下:
共 8 个基本事件,所以

P( A) =

优秀 男 女 合计
2

非优秀 2 4 6

合计 6 4 10 ···· 6 分 ···· ····

4 0 4

K 2 的观测值 k ?

10(4 ? 4 ? 0 ? 2) ? 4.444 ? 3.841, ·················8 分 ··········· ······ ·········· ······ 4? 6? 6? 4

所以有 95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关. ·················· 分 ··········· ······ 9 ·········· ······· (Ⅲ )甲用的是系统抽样,乙用的是分层抽样. ················· 分 ················ 10 ·········· ······ 由(Ⅱ )的结论知,投篮成绩与性别有关,并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有 明显差异,因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优. ··········· 12 分 ··········· ·········· · 20.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,平面与平面位置关系等基础知识;考查 空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力,满分 12 分. 解: )如图,连接 ED, (Ⅰ ∵EA ? 底面 ABCD 且 FD // EA ,∴FD ? 底面 ABCD ∴FD ? AD ∵DC ? AD,FD ? CD ? D ∴ AD ? 面 FDC ????????????????1 分 ∴VE ? FCD ?

VE ? ABCD

1 1 1 2 AD ? S ?FDC ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ???2 分 3 3 2 3 1 8 1 ··········· ········· ·········· ········· ? EA? S? ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ····················3 分 3 3 3

∴V多面体 ? VE ? FCD ? VE ? ABCD ?

10 . ························5 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3

(Ⅱ )∵ABCD 为正方形,∴AB⊥BC. ························6 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ∵EA⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥EA. ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 7 ·········· ··········· ··········· ·· 又 AB∩EA=A,∴BC⊥平面 EAB. ····················· 8 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 又∵BC?平面 EBC, ∴平面 EAB⊥平面 EBC. ····························· 10 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ (Ⅲ )取线段 DC 的中点 Q ;连接 KQ ,则直线 KQ 即为 所求.???????????????????11 分 图上有正确的作图痕迹????????????12 分

21. 本试题主要考查了点到直线的距离,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,平面向量 的应用,均值不等式,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想和化归与转 化思想等,满分 12 分. 解: (Ⅰ)由e 2 ?

1 a2 ? b2 ··········· ········· ·········· ········· ? ,得a 2 ? 2b 2 , ····················2 分 2 a2
2 2 2

∵直线 l :y=x+2 与圆 x +y =b 相切, ∴

2 12 ? (?1) 2

··········· ········· 4 ·········· ·········· ? b ,解得 b ? 2 ,则 a2=4. ····················· 分

x2 y 2 ··········· ·········· ···· 5 ·········· ··········· ···· ? ? 1 . ··········· ··········· ···· 分 4 2 (Ⅱ)在 x 轴上存在点 P(m, 0) ,使得 ?PGH 是以 GH 为底边的等腰三角形.??6 分
故所求椭圆 C 的方程为 理由如下: 设 l1 的方程为 y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

? x2 y2 ? 由 ? 4 ? 2 ? 1,得(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
因为直线 l1 与椭圆 C 有两个交点,所以 ? ? 64k ? 16(1 ? 2k ) ? 16(2k ? 1) ? 0
2 2 2

2 1 ,又因为 k ? 0 ,所以 k ? . 2 2 ? 8k 设 G( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ? . ··················7 分 ··········· ······· ·········· ······· 1 ? 2k 2
所以 k 2 ?

? PG ? PH ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 + x2 - 2m, y1 + y2 ) .
= ( x1 + x2 - 2m, k ( x1 + x2 ) + 4 ) ???? GH ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ? ( x2 ? x1, k ( x2 ? x1 )) . ??? ???? ???? ? 由于等腰三角形中线与底边互相垂直,则 ( PG ? PH ) ? GH ? 0 . ·········· 分 ········· 8 ········· 所以 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m] + k ( x2 - x1 )[k ( x1 + x2 ) + 4] = 0 . 故 ( x2 - x1 )[( x1 + x2 ) - 2m + k ( x1 + x2 ) + 4k ] = 0 . 即 ( x2 - x1 )[(1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m] = 0 因为 k ? 0 ,所以 x 2 - x1 ? 0 .所以 (1+ k )( x1 + x2 ) + 4k - 2m = 0 .
2 2 2

?8k ? (1 ? k 2 )( ) ? 4k ? 2m ? 0, 解得 m ? ?2k 2 ? ?2 2 1 1 ? 2k 1 ? 2k ? 2k k
设y?

1 1 2k 2 ? 1 2 ? 2k ,当 k ? ?0, 时, y? ? ? 2 ? 2 ? k k k2 2
1 2 ? 2k 在 ( , ??) 上单调递增,所以 k 2

所以函数 y ?

y?

1 2 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········· ? 2? ? 2 2 , ······························ 10 分 2 2 2

所以 m ?

?2 ?2 2 ? ?? ···························· 11 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· y 2 2 2

(若学生用基本不等式求解无证明扣 1 分) 又因为 k ? 0 ,所以 m ? 0. 所以 ?

2 ? m ? 0 ,. 2
2 ? m ? 0 . ·····12 分 ····· ···· 2

故存在满足题意的点 P (m,0)且实数 m 的取值范围为: ?

22. 本小题主要考查函数、导数、数列、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算 求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分 14 分.

1 1 ? m ··········· ···· 分 ln x ? mx , x ? 0 ? f ?( x) ? ··········· ··· 1 ·········· ···· 2x 2 当 m ? 0 时 f ?( x) ? 0 , f (x) 在(0,+∞)单调递增.················2 分 ··········· ····· ·········· ·····
解:(I) f ( x) ? 当 m>0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 由? 由?

1 2m

? f ?( x) ? 0 1 得 0<x< 2m ?x ? 0 ? f ?( x) ? 0 1 得 x> ··········· ··········· ···· 4 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 2m ?x ? 0

综上所述:当 m ? 0 时, f (x) 单调递增区间为(0,+∞). 当 m>0 时, f (x) 单调递增区间为(0,

1 1 ) ,单调递减区间为( ,+∞). ·· 分 ·5 · 2m 2m

1 1 1 , f ( x) ? ln x ? 2 x ,对 ?x1 , x2 ? [2,2e 2 ] 都有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立 2 2e 2e 2 2 等价于对 ? x ? [2, 2e ] 都有 [ g ( x)]min ? [ f ( x)]max ·················· 分 ··········· ······ 6 ·········· ·······
(Ⅱ)若 m=
2 由(I)知在[2,2 e ]上 f (x) 的最大值 f (e ) =

2

1 ··········· ········ 分 ··········· ······· 7 ·········· ········ 2

g ?( x) ? 1 ?

a ? 0(a ? 0), x ? [2,2e 2 ] x2
2

函数 g ( x) 在[2,2 e ]上是增函数,

a ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· [ g ( x)]min =g(2)=2- , ·································9 分 2 a 1 由 2- ? ,得 a ? 3 ,又因为 a ? 0 ,∴ a ∈ ?0,3? 2 2 所以实数 a 的取值范围为 ?0,3? 。 ···························· 分 ··························· 10 ·········· ··········· ······
(Ⅲ)证明: f ( x) ?

1 1 1 1 ln x ? mx , x ? 0 令 m= ,则 f ( x ) ? ln x ? x 2 2 2 2

由(I)知 f(x)在(0,1)单调递增, (1,+∞)单调递减,

1 f ( x) ? f (1) ? ? , (当 x=1 时取“=”号) 2

1 1 1 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ······ ? ln x ? x ? ? , ln x ? x ? 1 ··························· 11 分 2 2 2

? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ? ? 2n ln n
< 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ?1) ······················· 分 ······················ 12 ·········· ··········· ·
2 3 4 n

令 S= 22 ?1 ? 23 ? 2 ? 24 ? 3 ? ?? 2n ? (n ?1) ????????① 2S= 2 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?? 2 ? (n ? 2) ? 2
3 4 4 n n ?1

? (n ?1) ??②

①-②得-S= 2 ? 2 ? ?? 2 ? (n ?1) ? 2
2 3 n

n ?1

? ?4(1 ? 2n?1 ) ? (n ?1) ? 2n?1

? S= 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? 22 ln 2 ? 23 ln 3 ? 24 ln 4 ? ?? 2n ln n ? 4 ? (n ? 2) ? 2n?1 ( n ? 2, n ? N * ) ·· 14 分 ·· ··


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