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任意角和弧度制及任意角的三角函数


第十六讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为( π A. 3 2π

B. 3 C. 3 D.2 3R = 3. R )

解析: 设圆半径为 R, 则其内接正三角形的边长为 3R, 于是圆心角的弧度数为 故选 C. 答案:C α α 2.若 α 为第一象限角,那么 sin2α,cos2α,sin ,cos 中必定为正值的有( 2 2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

)

解析:由于 α 为第一象限角,所以 2α 为第一或二象限角,sin2α>0,cos2α 符号不确定, α α α 为第一或三象限角,sin ,cos 的符号均不确定.故选 B. 2 2 2 答案:B 3π 3π 3.已知点 P?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为( ? ? π 3π A. B. 4 4 5π 7π C. D. 4 4 y 3π 3π sin2 +cos2 =1,由三角函数的定义,tanθ= = x 4 4 3π cos 4 =-1. 3π sin 4 )

解析:解法一:r=

3π 3π 又∵sin >0,cos <0, 4 4 7π ∴P 在第四象限,∴θ= ,故选 D. 4 解法二:P 答案:D 4.若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于( A.5 B.2 C.3 D.4 1 1 解析:设扇形的半径为 R,圆心角为 α,则有 2R+Rα= R2α,即 2+α= R· α,整理得 2 2 )

? 2,- 2?,同上. 2? ?2

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4 4 R=2+α,由于α≠0,∴R≠2. 答案:B 5. (2010· 烟台联考题)若角 α 的终边与直线 y=3x 重合,且 sinα<0,又 P(m,n)是 α 终 边上一点,且|OP|= 10,则 m-n 等于( A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析:由题意,tanα=3,α 是第三象限角,
?m2+n2=10, ?m=-1, ? ? ∴? 解得? ∴m-n=2. ? ? ?n=3m<0, ?n=-3,

)

答案:A 6.(2010· 福州模拟题)如图,已知单位圆 O 与 y 轴相交于 A、B 两点.角 θ 的顶点为原 点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边在射线 OC 上.过点 A 作直线 AC 垂直于 y 轴且与角 θ 的终边交于点 C,则有向线段 AC 的函数值是( )

A.sinθ

B.cosθ C.tanθ D.cotθ

解析:根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择 D. 答案:D 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 24 分, 共 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.已知 0≤α≤2π,点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则 α 的取值范围是________.
? ? ?sinα-cosα>0, ?sinα>cosα, 解析:由题设? ?? ? ? ?tanα>0 ?tanα>0.

再观察单位圆中的三角函数线即得答案. π π 5 答案:?4,2 ?∪(π, π) ? ? 4 8.扇形的中心角为 120° ,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________. 解析:设内切圆的半径为 r,

? 扇形半径为 R,则(R-r)sin60° =r.∴R= 1+ ?

2? r, 3?

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1 2π 2 · R S扇形 2 3 1?R?2 ∴ = 2 = πr 3? r ? S圆 2 ?2 7+4 3 1? = 1+ = . 3? 9 3? 答案: 7+4 3 9

β 9.若角 β 的终边与 60° 角的终边相同,在[0° ,360° )内,终边与角 的终边相同的角为 3 ________. β β 解析: ∵β=k· +60° k∈Z, =k· +20° k∈Z.又 ∈[0° 360° ∴0° 120° 360° , ∴ 120° , , ), ≤k· 3 3 β 1 17 +20° <360° ,k∈Z,∴- ≤k< ,∴k=0,1,2.此时得 分别为 20° ,140° ,260° .故在[0° ,360° ) 6 6 3 β 内,与角 终边相同的角为 20° ,140° ,260° . 3 答案:20° ,140° ,260° 3 10.(2010· 南京第一次调研)已知角 α 的终边经过点 P(x,- 6),且 tanα=- ,则 x 的 5 值为________. -6 3 解析:根据题意知 tanα= x =- ,所以 x=10. 5 答案:10 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.角 α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角 β 的终边上的点 Q sinα tanα 1 与 A 关于直线 y=x 对称,求 + + 的值. cosβ tanβ cosαsinβ 解:由题意可知 P(a,-b),则 sinα= 知 Q(b,a),则 sinβ= a b ,cosα= 2 ,tanα=-a;由题意可 a2+b2 a +b2 -b

a b a 2,cosβ= 2 2,tanβ=b, a +b a +b
2

2 2 sinα tanα b2 a +b 1 ∴ + + =-1- 2+ 2 =0. cosβ tanβ cosαsinβ a a

12.解答下列问题: (1)若 θ 在第四象限,试判断 sin(cosθ)· cos(sinθ)的符号; θ (2)若 tan(cosθ)· tan(sinθ)>0,试指出 θ 所在象限,并用图形表示出 所取的范围. 2 解:(1)∵θ 在第四象限,
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π π ∴0<cosθ<1< ,- <-1<sinθ<0, 2 2 ∴sin(cosθ)>0,cos(sinθ)>0, ∴sin(cosθ)· cos(sinθ)>0.
? ? ?tan(cosθ)>0, ?tan(cosθ)<0, (2)由题知? 或? ? ? ?tan(sinθ)>0 ?tan(sinθ)<0. ? ? ?-1<cosθ<0, ?0<cosθ<1, ∴? 或? 即 θ 在第一或第三象限; ? ? ?0<sinθ<1 ?-1<sinθ<0,

θ θ 若 θ 在第一象限,则 的取值范围如图①所示;若 θ 在第三象限,则 的取值范围如图② 2 2 所示(见阴影部分,不含边界).

13.已知下列命题: (1)θ 是第二象限角; θ θ 7 (2)sin +cos =- ; 2 2 5 θ 4 (3)tan = ; 2 3 θ 3 (4)tan = ; 2 4 θ θ 1 (5)sin -cos =- 2 2 5 试以其中若干(一个或多个)命题为条件,然后以剩余命题中的若干命题为结论,组成新 命题,并证明之,至少组出两个新命题. 解:以(1)(2)为条件,以(3)为结论. 证明:因为 θ 是第二象限角, π θ π 所以 kπ+ < <kπ+ ,k∈Z.① 4 2 2 θ θ 7 又 sin +cos =- , 2 2 5

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θ 3 所以 2kπ+π< <2kπ+ π,k∈Z.② 2 2 θ 5 3 由①②可知 2kπ+ π< <2kπ+ π. 4 2 2 θ θ θ θ 12 7 又由 sin +cos =- ,得 sin · = , cos 2 2 5 2 2 25 12 = . θ 25 1+tan2 2 tan θ 2

所以

θ θ 所以 12tan2 -25tan +12=0. 2 2 θ 3 θ 4 解得 tan = (舍),tan = . 2 4 2 3

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