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【新】普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学卷3(天津.理)教师版


普通高等学校招生全国统一考试模拟试题三(天津卷)数学(理工类) 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 (1) (2010·年广东模拟)已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 A. 2 ? i 【答案】A B. 2 ? i C. ?2 ? i D. ?2 ? i

5i = ( z



【解析】因为由条件知 z ? ?1 ? 2i ,则

5i ? ?1 ? 2i ? 5i ?5i ? 10 ? ? ? 2 ? i. 选 A. z ? ?1 ? 2i ?? ?1 ? 2i ? 5
2

a4 是方程 2 x ?11x ? 8 ? 0 的两根, (2) (2009 牟定一中期中) 等比数列 ? an ? 中, 若 a2 、 则 a3 的值为(
(A)2 答案 B (B) ?2 (C) 2
2

)

(D) ? 3

(3) (2009 聊城一模)已知函数 f ( x) ? 4 ? x , g ( x)是定义在(??,0) ? (0,??) 上的奇函数, 当 x>0 时, g ( x) ? log 2 x, 则函数y ? f ( x) ? g ( x) 的大致图象为 ( )

答案 B (4) (2010 辽宁理)(4)如果执行右面的程序框图,输入正整数 n,m,满足 n≥m,那么输出的 P 等于 (A) C n
m ?1

(B) An

m ?1

(C) Cn

m

(D) An

m

【答案】D 【命题立意】本题考查了循环结构的程序框图、排列公式,考查了学 生的视图能力以及观察、推理的能力 【解析】第一次循环:k=1,p=1,p=n-m+1; 第二次循环:k=2,p=(n-m+1)(n-m+2); 第三次循环:k=3,p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3) ?? 第 m 次循环:k=3,p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n 此时结束循环,输出 p=(n-m+1) (n-m+2) (n-m+3)?(n-1)n= An
m

(5) (2010 江西理)7.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点, 则 tan ?ECF ? ( )

16 A. 27

C. 【答案】D 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1:约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 10 ,再由余弦 定理得 cos ?ECF ? 解得 tan ?ECF ?

2 B. 3

3 3

3 D. 4

4 , 5

3 4

解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C(0,3)利用向 量的夹角公式得
1

4 3 ,解得 tan ?ECF ? 。 5 4 (6)如图,正四面体 ABCD 的顶点 A , B , C 分别在两两垂直的三条射线 Ox , Oy , Oz 上,则在下列命 cos ?ECF ?
题中,错误 的为 .. A. O ? ABC 是正三棱锥 B.直线 OB ∥平面 ACD C.直线 AD 与 OB 所成的角是 45 D.二面角 D ? OB ? A 为 45 答案 B
?
?

z

C D

(7)(江西省崇仁一中 2009 届高三第四次月考) 已知圆的方程 x ? y ? 4 ,若 抛物线过定点 A(0,1) 、B(0,-1)且以该圆的切线为准线,则抛物线焦点的轨迹 方程是( )

2

2

O A

B y
x

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) A. 3 4 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) C. 3 4

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) B. 4 3 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) D. 4 3

答案 C (8)若 f(x)是 R 上的增函数,且 f(-1)=-4,f(2)=2,设 P={x|f(x+t)+1<3},Q={x|f(x)<-4},若 “x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是 ( )A.t≤-1 B. t> -1C.t≥3 D.t>3 答案 D 解析 P={x|f(x+t)+1<3}={x|f(x+t)<2}={x|f(x+t)<f(2)},Q={x|f(x)<-4}={x|f(x)<f(-1)},因 为函数 f(x)是 R 上的增函数,所以 P={x|x+t<2}={x|x<2-t},Q={x|x<-1},要使“x∈P”是“x∈Q”的 充分不必要条件,则有 2-t<-1,即 t>3,选 D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

1 (1 ? x ? x 2 )( x ? )6 x 的展开式中的常数项为_________. (9) (2010 辽宁理)
【答案】-5 【命题立意】本题考查了二项展开式的通项,考查了二项式常数项的求解方法

1 ( x ? )2 r r 6? 2 r 3 T ? ?C6 ? ?20 x 的 展 开 式 的 通 项 为 Tr ?1 ? C6 (?1) x 【解析】 , 当 r=3 时 , 4 , 当 r=4 时 , 4 T5 ? ?C6 ? 15
,因此常数项为-20+15=-5 (10) (2008 广东理) (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? .

3 答案 (11) (2010 广东理) 15、 (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 (ρ, θ) (0 ≤ θ<2π) 中, 曲线 ρ= 2sin ? 与 p cos ? ? ?1 的交点的极坐标为______.
? x ? ? cos ? , 3? 知,这两条曲线的普通方程分别为 ) .由极坐标方程与普通方程的互化式 ? 4 ? y ? ? sin ? ? x ? ?1, ? x ? ? cos ? , 3? x 2 ? y 2 ? 2 y, x ? ?1 .解得 ? 由? 得点(-1,1)的极坐标为 ( 2, ). 4 ? y ? ? sin ? ? y ? 1. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? (12) (2009 陕西卷文) 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足 PA ? 2 PM ,则 PA ? ( PB ? PC )
【答案】 ( 2, 等于 答案 4 (13) (2009 江西卷文)若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax 2 ?
3

15 x ? 9 都相切,则 a 等于 4

2

答案 解析

?1 或 -

25 64 3 3 设过 (1, 0) 的直线与 y ? x 相切于点 ( x0 , x0 ) ,所以切线方程为
2 3

y ? x03 ? 3x0 2 ( x ? x0 )

3 , 2 15 25 当 x0 ? 0 时,由 y ? 0 与 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ? , 4 64 3 27 27 15 当 x0 ? ? 时,由 y ? x ? 与 y ? ax 2 ? x ? 9 相切可得 a ? ?1 . 2 4 4 4
即 y ? 3x0 x ? 2 x0 ,又 (1, 0) 在切线上,则 x0 ? 0 或 x0 ? ? (14) (2010 全国卷 1 理) (10)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 答案: (3, ??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (15) (本小题满分 13 分)

( 2? x ? ?) ? cos ( 2? x ? ?)(0 ? ? ? ? , ? ? 0) 已知函数 f(x)= 3 sin 为偶函数,且函数
y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 (1)求 f ( x) 的表达式; (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移

π . 2

π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐 6

标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的表达式。 (1)f(x)=2cos2x. (2)将 f(x)的图象向右平移个

纵坐标不变,得到 f ( x ? ? ) 的图象. 4 6 x ? x ? x ? 所以 g ( x) ? f ( ? ) ? 2 cos[2( ? )] ? 2 cos( ? ) 4 6 4 6 2 3 (16).(本小题满分 13 分) 某射击游戏规定:每位选手最多射击 3 次;射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击,否则停止射击;同 时规定第 i (i ? 1 , 2, 3) 次射击时击中目标得 4 ? i 分,否则该次射击得 0 分。已知选手甲每次射击击中目标 的概率为 0.8 ,且其各次射击结果互不影响. (Ⅰ)求甲恰好射击两次的概率; (Ⅱ)设该选手甲停止射击时的得分总和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望.

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的 4 倍, 6 6

, 2, 3) , 解: (Ⅰ)设选手甲第 i 次击中目标的事件为 Ai (i ? 1
则 P( Ai ) ? 0.8,P( Ai ) ? 0.2

, 2, 3, i ? j ) 相互独立 依题可知: Ai 与 Aj (i, j ? 1
(Ⅱ) ? 可能取的值为 0,3,5,6. 所求为: P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? 0.8 ? 0.2 ? 0.16 ??????6 分 ??????7 分

? 的分布列为:
3

?
P

0 0.2

3 0.16

5

6

0.128 0.512

??????10 分(表中的每一个概率值各占1分)

? E? ? 0 ? 0.2 ? 3 ? 0.16 ? 5 ? 0.128 ? 6 ? 0.512 ? 4.192 .??????13 分
(17) (本小题满分 13 分) 如图, 在六面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC ∥平面 DEFG ,AD ⊥平面 DEFG ,AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG .且 AB ? AD ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 . A C (Ⅰ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅱ)求二面角 D ? CG ? F 的余弦值; B (Ⅲ) 求五面体 ABCDEFG 的体积. 解法一 向量法 由已知,AD、DE、DG 两两垂直,建立如图的坐标系, 则 A(0,0,2) ,B(2,0,2) ,C(0,1,2) , E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0) (Ⅰ) BF ? (2,1, 0) ? (2, 0, 2) ? (0,1, ?2)

??? ?

??? ? CG ? (0, 2, 0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2) ??? ? ??? ? ∴ BF ? CG ,所以 BF∥CG. 又 BF ? 平面 ACGD ??? ?

D G E F

故 BF//平面 ACGD????????4 分 (Ⅱ) FG ? (0, 2, 0) ? (2,1, 0) ? (?2,1, 0) , 设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

??

?? ??? ? ? ?n1 ? CG ? y ? 2 z ? 0 则 ? ?? ??? , ? n ? FG ? ? 2 x ? y ? 0 ? ? 1 ?? 令 y ? 2 ,则 n1 ? (1, 2,1) , ?? ? ? 而平面 ADGC 的法向量 n2 ? i ? (1, 0, 0) ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1? 1 6 ?? ? = ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? 2 2 2 2 2 2 6 | n1 | ? | n2 | 1 ? 2 ?1 ? 1 ? 0 ? 0
故二面角 D-CG-F 的余弦值为

A B

C

D E F

M

G

6 .????????9 分 6

(Ⅲ)设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM, 则 V = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG = 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .?????13 分 解法二设 DG 的中点为 M,连接 AM、FM, 则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形, 所以 MF//DE,且 MF=DE 又∵AB//DE,且 AB=DE ∴MF//AB,且 MF=AB ∴四边形 ABMF 是平行四边形,即 BF//AM, 又 BF ? 平面 ACGD 故 BF//平面 ACGD?????4 分 (利用面面平行的性质定理证明,可参照给分) (Ⅱ)由已知 AD⊥面 DEFG∴DE⊥AD ,DE⊥DG 即 DE⊥面 ADGC , ∵MF//DE,且 MF=DE , ∴MF⊥面 ADGC 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则 显然∠MNF 是所求二面角的平面角.
4

1 2

1 2

A B

C

D E F

M

N G

∵在四边形 ADGC 中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC=DM=MG=1

A

2 5 ∴ CD ? CG ? 5 , ∴MN= ? 5 2 5 在直角三角形 MNF 中,MF=2,MN ? 5 6 2 MF D ∴ tan ?MNF = = = 5 , cos ?MNF = 6 MN 2 5 5 6 故二面角 D-CG-F 的余弦值为 ????????9 分 6 (Ⅲ) V多面体ABC-DEFG = V三棱柱ADM-BEF +V三棱柱ABC-MFG = DE ? S△ADM ? AD ? S△MFG
= 2 ? ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ?1 = 4 .?????13 分

C

N M G

1 2

1 2

(18) (本小题满分 13 分) 【河北省石家庄市 2009 年高中毕业班复习教学质量检测(一)22. 】 (本题满分 14 分) 【文科】已知椭圆

x2 y2 2 ? ? 1的离心率 ? ( a ? 2) , 双曲线 C 与已知椭圆有相同的焦点, 其两条渐近线与以点 (0, 2 ) 为 2 a 2 2
圆心,1 为半径的圆相切。 (I)求双曲线 C 的方程; (II)设直线 y ? mx ? 1 与双曲线 C 的左支交于两点 A、B,另一直线 l 经过点 M (?2,0) 及 AB 的中点,求 直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围。 【解析】 : (本小题满分 12 分) (I)设双曲线 C 的焦点为: F1 (?c, 0), F2 (c, 0), c ? 0

c a2 ? 2 2 ? ? , a a 2 得a ? 2, c ? 2 , ?????2 分 设双曲线 C 的渐近线方程为 y ? kx ,
由已知 依题意,

k ?0 ? 2 k 2 ?1

? 1 ,解得 k ? ?1 .
2 2 2

∴双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ? x . 故双曲线 C 的实半轴长与虚半轴长相等,设为 a1 ,则 2a1 ? c ? 2 ,得 a1 ? 1 , ∴双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1
2 2

?????6分.

(II)由 ?

? y ? mx ? 1

得(1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 2 2 x ? y ? 1 ?



直线与双曲线左支交于两点,

?1 ? m 2 ? 0 ? ?? ? 0 ? 因此 ? 2m ? 0 2 ?1 ? m ? ?2 ?0 ? ?1 ? m 2
又 AB 中点为 (

解得1 ? m ? 2 ??????..9分

m 1 , ) 2 1 ? m 1 ? m2
5

1 ( x ? 2) , ? 2m ? m ? 2 2 2 令 x=0,得 b ? , ? 2 1 2 17 ? 2m ? m ? 2 ? 2(m ? ) ? 4 8 1 2 17 ∵ m ? (1, 2 ) ∴ ? 2(m ? ) ? ? (?2 ? 2 ,1) 4 8 ∴故 b 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) . ??????14 分.
∴直线 l 的方程为 y ?
2

(19) (本小题满分 14 分) 【河北省石家庄市 2009 年高中毕业班复习教学质量检测(一)22. 】 (本题满分 14 分) 【理科】已知函数

1 ? a ? ln x , a ? R. x (I)求 f ( x) 的极值; (II)若 ln x ? kx ? 0在(0,??)上恒成立, 求k 的取值范围; (III)已知 x1 ? 0, x2 ? 0, 且x1 ? x2 ? e, 求证 : x1 ? x2 ? x1 x2 . a ? ln x / 【解析】 : (Ⅰ)? f ( x) ? , 令 f / ( x) ? 0 得 x ? ea ?????2 分 2 x a / 当 x ? (0, e ), f ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; f ( x) ?
当 x ? (e , ??), f ( x) ? 0, f ( x) 为减函数,
a /

可知 f ( x) 有极大值为 f (e ) ? e ??????????..4 分
a

?a

(Ⅱ)欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,只需 设

ln x ? k 在 (0, ??) 上恒成立, x

g ( x) ?

ln x ( x ? 0). x
1 e

由(Ⅰ)知, g ( x)在x ? e处取最大值 ,

1 ? k ? ????????8分 e
(Ⅲ)? e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 f ( x) ?

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x1 ln( x1 ? x2 ) ? 即 ? ln x1 ①, x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x ln( x1 ? x2 ) ? ln x2 ②??????????..10 分 同理 2 x1 ? x2 两式相加得 ln( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln x1 x2 ?
? x1 ? x2 ? x1 x2
??????????????14 分

ln x 在 (0, e) 上单调递增, x

(20) (本小题满分 14 分) 【湖北省 2009 届高三八校联考第二次(理)21.】 (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其 前 n 项和 S n 满足 Sn ? Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? .令 bn ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 . an ? an ?1

(Ⅱ)若 f ? x ? ? 2 x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 ( n ≥1 ) ; 6

6

1 ,求同时满足下列两个条件的所有 a 的值:①对于任意 ?b1a ? b2a2 ? b3a3 ? ? ? bn an ? ( a ? 0 ) 2 1 ? 1? 正整数 n ,都有 Tn ? ;②对于任意的 m ? ? 0, ? ,均存在 n0 ? N ? ,使得 n ≥ n0 时, Tn ? m . 6 ? 6? 【解】 (Ⅰ)由题意知 Sn ? Sn ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? 2 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an ?1 ? 2n ?1 ? n ≥ 3? ??1′
(Ⅲ)令 Tn ? ∴ an ? ? an ? an ?1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3? ??2′
检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 .????3′ (Ⅱ)由于 bn f ? n ? ?
n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

故 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?? ? ??? ? n ? n ?1 ? ?? ? 2 ? 2 3 ? 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n ?1 ? ? ? ? .????6′ 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6 1 1 (Ⅲ) (ⅰ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)知: Tn ? ,即条件①满足;又 0 ? m ? , 6 6 1? 1 1 ? 3 3 ? ? n ?1 ∴ Tn ? m ? ? ? ? 1 ? n ? log 2 ? ? 1? ? 1 ? 0 . ??m?2 ? 2 ? 1 ? 2 2n ?1 ? 1 ? 1 ? 6m 1 ? 6 m ? ? 3 ? ? 取 n0 等于不超过 log 2 ? ? 1? 的最大整数,则当 n ≥ n0 时, Tn ? m .?9′ 1 ? 6 m ? ?
an ? a ? a a a a (ⅱ)当 a ? 2 时,∵ n ≥1 , n ? ? ? ≥ ,∴ a n ≥ ? 2n ,∴ bn ? a n ≥ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . 2 2 2 2 2 ?2? n n a 1? 1 1 ? ?1 ? a ∴ Tn ? ? ? bi a i ? ≥ ? ? bi ? 2i ?1 ? ? ? ? ? n ?1 ? . 2 2 ? 1? 2 2 ?1? ? 2 i ?1 i ?1 ? 2 1? 1 1 ? 1 由(ⅰ)知存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, ? , ? n ?1 ? ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 3a a 1? 1 1 ? a 1 1 故存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ? ? ? ? n ?1 ? ,不满足条件. ?12′ ?? ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 2 3a 6
(ⅲ)当 0 ? a ? 2 时,∵ n ≥1 ,
n

an ? a ? a a a a ? ? ? ≤ ,∴ a n ≤ ? 2n ,∴ bn ? a n ≤ bn ? ? 2n ? ? bn ? 2n . n 2 2 2 2 2 ?2? n n 1 a a 1? 1 1 ? ∴ Tn ? ? ? bi ai ? ≤ ? ? bi 2i ?1 ? ? ? ? ? n ?1 ? . 2 2 ? 1? 2 2 ?1 ? i ?1 2 i ?1 2 a ? 1? a 1? 1 1 ? a 取 m ? ? ? 0, ? ,若存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ? m ,则 ? ? ? n ?1 ? ? . 12 ? 6 ? 2 2 ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 12 1 1 1 ∴ ? n ?1 ? 矛盾. 故不存在 n0 ? N ? ,当 n ≥ n0 时, Tn ? m .不满足条件. 1? 2 2 ?1 3 综上所述:只有 a ? 2 时满足条件,故 a ? 2 .????14′

n

7


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