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北师大版高中数学必修5第三章《不等式》含参数的不等式恒成立问题的解法


北师大版高中数学必修5第三章《不 等式》

法门高中姚连省制 作

1

一、基础知识点:

1、f(x)=ax+b,x? [α,β],则:
f(x)>0恒成立< >
f(?)>0 f(?)>0

f(x)<0恒成立< y
<

br />>

f(?)<0 f(?)<0

α

o

β

x
2

2、ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是: 或 C>0 Δ=b2-4ac<0 ______________________。 a=b=0 a >0

ax2+bx+c<0在R上恒成立的充要条件是: a <0 a=b=0 或
C<0 Δ=b -4ac<0 ______________________。
2

a≥[f (x)] max 3、a≥f(x)恒成立的充要条件是:_____________;
a≤[f (x)] min a≤f(x)恒成立的充要条件是:_____________。
3

二、典型例题:

例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0

................

(*)

(1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;

(2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
当1-m>0时,即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为: △=(m-1)2-12(I-m)<0 , 解得:

解:(1)当1-m=0即m=1时, (*)式恒成立, 故m=1适合(*) ;

?

当1-m<0时,即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为: (1-m)?(-2)2+(m-1)?(-2)+ 3 >0 解得: 综上可知:

?

-11<m<1;

3 1<m< 2
适合条件的m的范围是:

-11<m < 2 。

3

4

例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0

................

(*)

(1)当| x | ≤2,(*)式恒成立,求实数m的取值范围 ;

(2)当| m | ≤2,(*)式恒成立,求实数x的取值范围 .
解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) (m [-2,2]) 则

?

g(m)>0恒成立? x? R

g(-2)=3x2-3x+3>0 g(2)=-x2+x+3>0



1? 13 1? 13 <x< 2 2
∴ x (

?

1? 13 , 13 ) 1? 2 2
5

小结:
1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。

练习1:
对于一切 |p| ≤2,p∈R,不等式x2+px+1>2x+p

x<-1或x>3 恒成立,则实数x的取值范围是: ——————————。
6

例2、①若不等式x2

1 16 ≤a<1 取值范围是 ————————。
的取值范围是
设 y1= ①解:

<logax对x

?

1 (0, 2 )恒成立,则实数a的

②若不等式x2-kx+2>0,对x ?[-3,3]恒成立,则实数k
—————————— 。 y

x2

(x ?(0,

1 2 ))

y2= logax
在同一坐标系下作它们 的图象如右图: 由图易得:

y=x2 1 4
0
1 2

1

x
1 y=log 16x

1 16 ≤a <1

7

例2、①若不等式x2

<logax对x

?

1 (0, 2 )恒成立,则实数a的取

值范围是 ————————————。
②若不等式x2-kx+2>0,对x ?[-3,3]恒成立,则实数k的

-2 2 <k<2 2 取值范围是 —————————— 。
②解:原不等式可化为:x2+2>kx

11

y

y=x2+2
y=2 2 x

设 y1= x2+2 (x? [-3,3]) y2= kx
在同一坐标系下作它们的图
2

y=kx

象如右图:
由图易得: -2

-3 -

2 0 2 3

x
8 2x

2 <k<2 2

y= - 2

小结: 3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数 图象的关系再处理。 练习2、 若

x ≤ kx-1 对x ?[1,+? ) 恒成立,则实数k的取值范

k≥2 围是:_____________。

9

例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成 立,则实数a的取值范围是 —————————。 解: 分离参数得: a ≥
令 又

y ?t x (t > 0) , 则

y x ? 2 xy 1? 2 x ? x?y y 1? x
a≥

恒成立

令1+2t=m(m > 1),则

1? 2t 1? t 2

(t > 0) 恒成立

f(m)=

m 4m 4 ? ? 1? ( m ?1)2 m 2 ? 2m ? 5 (m ? 5 ) ? 2 m 2

?

4 ? 5 ?1 (当且仅当m= 5 时等号成立) 2 2 5 ?2

∴ a ≥ [f (x)] max=

5 ?1 2

即a ≥

5 ?1 2

10

小结:
4、 通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)

(或a≤f(x))恒成立,再运用不等式知识或求
函数最值的方法,使 问题获解。

11

例4、已知a>0,函数f (x)=ax-bx2, (1)当b>1,证明对任意的x ∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件是: b-1≤a≤2 ; b

(2)当0<b≤1,讨论:对任意的x ∈[0,1],|f(x)|≤1充要条件。

12

解:(1) b>1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1

-1≤ax-bx2≤1

bx2-1≤ ax ≤1+bx2
bx - 1 ≤ a ≤ 1 +bx x x
∵ x ∈(0,1], b>1 ∴ 又 ∴

1≥ 2 bx+ x (x= 1 时取等号 ) b b bx - 1 在(0,1]上递增 x ( bx- 1 )max=b-1 (x=1时取得 ) x
b-1≤a≤2

故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 又 x=0时,|f(x)|≤1恒成立

b
13

∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:

b-1≤a≤2

b

(2) 0<b≤1时,对x ∈(0,1],|f(x)|≤1 恒成立 ( bx- 1 )max ≤a ≤(bx+

x

)min

1 x

……

(*)

此时 而 故

x 1 在(0,1]上递减 bx + x 1 ) =b+1 (x=1时取得) ( bx+ min x

( bx- 1 )max=b-1

(x=1时取得)

故 (*)式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1 又 a>0 ∴ x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 <a≤ b+1
又 ∴

x=0时,|f(x)|≤1恒成立
14 x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为: 0 <a≤ b+1

三、课时小结:
1、一次函数型问题,利用一次函数的图像特征求解。 2、二次函数型问题,结合抛物线图像,转化成最值问 题,分类讨论。
3、对于f(x)≥g(x)型问题,利用数形结合思想转化为函数图 象的关系再处理。 4、通过分离参数,将问题转化为a≥f(x)(或a≤f(x))恒

成立,再运用不等式知识或求函数最值的方法,使 问题获解。
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四、课后练习:
1、当x ?(0,1)时,不等式x2< loga(x 值范围是_____________。
+ 1)恒成立,则实数a的取

2、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x ?R恒成立,则实数a的取值 范围是_____________。

3、若不等式ax2-2x+2>0 对x?(1,4)恒成立,求实数a的取
值范围。

4 、已知f(x)= 2x ? a (x?R) 在区间 [-1,1]上是增函数。 x2 ? 2
(1)求实数 a 的值所组成的集合A;

1 (2)设关于x 的方程f(x)= x 的两根为x1、x2,试问:是否存 在实数m,使得不等式 m2 + t m + 1≥| x1 - x2| 对任意a ? A 及t?[-1,1] 恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,
请说明理由。
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