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二面角的概念及求法


9-8 二面角的概念及求法

相关概念:
1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。

2.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角

A O⊥ l ,B O⊥ l

O

A

l
B

二面角的平面角的三个特征: 1.点在棱上 2.边在面内 3.边与棱垂直

二面角的大小的范围:

0? ? ? ? 180?

直二面角:

? ? 90?

找二面角的方法:
1、定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点,在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB,则∠AOB就是 此二面角的平面角。 2、三垂线法: 在一个平面 ?内选一点A向另一平面 ? 作垂线AB ,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足 为O ,连结AO,则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥?于B,作AC⊥?于C,面 ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角。 A a ? ?
O
B A

A
?

C a O a O B

?

?

?

B

4、向量法:
(1)方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量(在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量)所成的角。
D

?

B

l

C

A

?

二面角? ? l ? ?中, B、C ? l , AB ? ? , CD ? ? , 且 AB ? l , CD ? l,二面角的大小等于 BA, CD ? cos BA, CD ? BA ? CD BA CD

(2)法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图,向量 n ? ?,m ? ? 则二面角 ? ? l ? ? 的大小 ? ? m,n ? ? ? ? m ,n
m

n
注意法向量的方向: 同进同出,二面角等 于法向量夹角的补角 ;一进一出,二面角 等于法向量夹角

l

求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平面角;
(2)证明其符合定义(垂直于棱); (3)计算.

典例与变式

题型一 用全等图形作二面角
【例题1】已知正四棱锥的底面边长为10, 侧棱长为13,则相邻两侧面所成二面角的 V 余弦是 。

H D O A B C M

AB ? BC ? 6, 练习1:如图,已知空间四边形 ABCD ,

BD=4,AC ? 6 .试求 A - BD - C 的余弦值. AD ? DC ? 4 ,
A D

C B

题型二 用三垂线定理作二面角 【例题 2】如图,ABCD-A1 B1 C1 D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面 D1 C1 角 B -B1E - D 的余弦 A 1 B1 E 值。 D A B C

解答

练习2:如图, Rt△ABC所在平面外一点P在面ABC上 的射影是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ,若 PB=AB=1 , BC= 2 ,求二面角P-AB-C的正切值。
P

A O

B C

小结:
找二面角的方法: 1.定义法 2.三垂线法 3.垂面法 4.向量法 求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平 面角; (2)证明其符合定义(垂直 于棱); (3)计算.

【解析 1】由题意可得直线 DC ⊥平面 BEB1,且 垂足为 C,过 C 作 CF ⊥B1E 于 F (如图,F 在 B1E 的延长线上),连 DF, 则由三垂线定理得 DF⊥B1E ∴ ∠DFC 即二面角的平面角。 D1 C1 B1 A1 B1 C1 E F E F D C B C A B
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∵ ∴ ∴

△B1C1E∽△CFE,设正方体的棱长为 a B1C1· CE 5 CF = = a B1E 5 CD tan∠DFC = = CF 6 cos∠DFC = 6 a = 5 a 5 5



6 即二面角 B-B1E-D 的余弦值为 6
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【解析 2】以 D 为原点,AD 为 x 轴,CD 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB = 2a, 则 B1(2a,2a,2a), D(0,0,0),E(0,2a,a) ∴ → → DB1 = (2a,2a,2a), DE = (0,2a,a) D1 A1 D A x B
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设 n = (x,y,z) 是平面 DB1E 的 一个法向量,

z B1

C1 E C y

? ? n·→ DE = 0 由 ? → ? n· DB1 = 0 ?
? 2ay + az = 0 得 ? 2ax + 2ay + 2az = 0 ?

令 y = 1 ? z = -2,x = 1 ∴ n = (1,1,-2) 显然 m = (0,1,0) 平面 BB1E 的一个法向量 设二面角 B-B1E-D 为 ?,显然 ? 为锐角, ∴ m ·n 1 6 cos ? = = = 6 | m |·| n | 6

6 即所求二面角 A1-BD-C1 的余弦为 6
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