nbhkdz.com冰点文库

二面角的概念及求法

时间:2015-07-05


9-8 二面角的概念及求法

相关概念:
1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。

2.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角

A O⊥ l ,B O⊥ l
O

A

l
B

二面角的平面角的三个特征: 1.点在棱上 2.边在面内 3.边与棱垂直

二面角的大小的范围:

0? ? ? ? 180?

直二面角:

? ? 90?

找二面角的方法:
1、定义法:
以二面角的棱a上任意一点O为端点,在两个面内 分别作垂直于a 的两条射线OA,OB,则∠AOB就是 此二面角的平面角。 2、三垂线法: 在一个平面 ?内选一点A向另一平面 ? 作垂线AB ,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足 为O ,连结AO,则∠AOB就是二面角的平面角。 3、垂面法: 过二面角内一点A作AB⊥?于B,作AC⊥?于C,面 ABC交棱a于点O,则∠BOC就是二面角的平面角。 A a ? ?
O
B A

A
?

C a O a O B

?

?

?

B

4、向量法:
(1)方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量(在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量)所成的角。
D

?

B

l

C

A

?

二面角? ? l ? ?中, B、C ? l , AB ? ? , CD ? ? , 且 AB ? l , CD ? l,二面角的大小等于 BA, CD ? cos BA, CD ? BA ? CD BA CD

(2)法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图,向量 n ? ?,m ? ? 则二面角 ? ? l ? ? 的大小 ? ? m,n ? ? ? ? m ,n
m

n
注意法向量的方向: 同进同出,二面角等 于法向量夹角的补角 ;一进一出,二面角 等于法向量夹角

l

求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平面角;
(2)证明其符合定义(垂直于棱); (3)计算.

典例与变式

题型一 用全等图形作二面角
【例题1】已知正四棱锥的底面边长为10, 侧棱长为13,则相邻两侧面所成二面角的 V 余弦是 。

H D O A B C M

AB ? BC ? 6, 练习1:如图,已知空间四边形 ABCD ,

BD=4,AC ? 6 .试求 A - BD - C 的余弦值. AD ? DC ? 4 ,
A D

C B

题型二 用三垂线定理作二面角 【例题 2】如图,ABCD-A1 B1 C1 D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面 D1 C1 角 B -B1E - D 的余弦 A 1 B1 E 值。 D A B C

解答

练习2:如图, Rt△ABC所在平面外一点P在面ABC上 的射影是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点 O ,若 PB=AB=1 , BC= 2 ,求二面角P-AB-C的正切值。
P

A O

B C

小结:
找二面角的方法: 1.定义法 2.三垂线法 3.垂面法 4.向量法 求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平 面角; (2)证明其符合定义(垂直 于棱); (3)计算.

【解析 1】由题意可得直线 DC ⊥平面 BEB1,且 垂足为 C,过 C 作 CF ⊥B1E 于 F (如图,F 在 B1E 的延长线上),连 DF, 则由三垂线定理得 DF⊥B1E ∴ ∠DFC 即二面角的平面角。 D1 C1 B1 A1 B1 C1 E F E F D C B C A B
返回

∵ ∴ ∴

△B1C1E∽△CFE,设正方体的棱长为 a B1C1· CE 5 CF = = a B1E 5 CD tan∠DFC = = CF 6 cos∠DFC = 6 a = 5 a 5 5



6 即二面角 B-B1E-D 的余弦值为 6
返回

【解析 2】以 D 为原点,AD 为 x 轴,CD 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB = 2a, 则 B1(2a,2a,2a), D(0,0,0),E(0,2a,a) ∴ → → DB1 = (2a,2a,2a), DE = (0,2a,a) D1 A1 D A x B
返回

设 n = (x,y,z) 是平面 DB1E 的 一个法向量,

z B1

C1 E C y

? ? n·→ DE = 0 由 ? → ? n· DB1 = 0 ?
? 2ay + az = 0 得 ? 2ax + 2ay + 2az = 0 ?

令 y = 1 ? z = -2,x = 1 ∴ n = (1,1,-2) 显然 m = (0,1,0) 平面 BB1E 的一个法向量 设二面角 B-B1E-D 为 ?,显然 ? 为锐角, ∴ m ·n 1 6 cos ? = = = 6 | m |·| n | 6

6 即所求二面角 A1-BD-C1 的余弦为 6
返回


赞助商链接

二面角的求法

二面角的求法_理化生_高中教育_教育专区。二面角的几种求法 1.引言在高中空间...2.二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的...

二面角的概念

二面角的概念 - 二面角 学习要求 1.理解二面角及其平面角的概念 2.会在具体图形中作出二面角的平面角,并求出其大小. 【课堂互动】 自学评价 1. 二面角的有关...

二面角的求法

二面角的求法 1. 引言 二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一,在历年高考中几乎都要涉及. 尤其是在数学新课改的大环境下,要求对二面角求法的掌握变...

《二面角及其度量》知识讲解

第三章 3.2.4 二面角及其度量 1.理解斜线和平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性、合理性. 2.会求直线与平面所成的角. 3.掌握二面角的概念,二面角的平面...

二面角面积法

二面角面积法_数学_高中教育_教育专区。用射影面积法求二面角在高考中的妙用立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念,求二面角的大小更是历年高考的热点问题,在...

解二面角问题三种方法(习题及答案)

(1)定义法:利用二面角的平面角的定义,在二面角的棱...求面 SCD 与面 SBA 所成 二面角的平面角的正切值...(一)对本内容进行思考时,必须弄清两个概念: (1)...

二面角求法之面面观

二面角及其求法 20页 1下载券 二面角求法探讨 3页 1下载券 二面角求法(二)...教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义...

二面角专题

本文介绍了二面角以及二面角的平面角的概念,详细讲解了二面角的几种求法。这些求法 分类为概念法、空间变换法、空间向量法以及另类求法。在每种方法的讲解过程中,...

二面角的教学设计

教材分析二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、...2、二面角的平面角的概念和求法 定义 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个...

二面角的教学设计

概念及其记法 概念: 记法: 画法: (2)二面角的平面角 (3)如何度量二面角的...∠DAB=∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD, 1 SA=AB=BC=1,AD= ,求平面SAB与SCD的...