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§15.3.3正弦型函数的应用


§15 三角函数及其应用
3.3正弦型函数的应用

一般地,形如 y ? Asin ??x ? ? ? , ? x ? R? 的函数(其中
A ? 0 , ? ? 0 , A 、 ? 、 ? 都是常数),叫做正弦型函数,

其图象叫做正弦型曲线.
其中 A 叫做振幅, ? 叫做角速度(或角频率),

? 叫做初相位, T ?

2?

?

是函数的周期.

当 A ? 1 , ? 1 , ? 0 时, 正弦型函数 y ? A sin ?? x ? ? ? ? ? 就是正弦函数 y ? sin x .

下图是某物体运动的函数图象,问: (1)这个运动的振幅、周期与角频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次 往复运动?如果从A点算起呢?A点到C是几个周期? (3)从图象上能直接看出初相位吗?
y/cm 2 O -2 A E

0.5 B
C

1 D

1.5
F x/s

A对函数图象的影响 变最值
y=Asinx (A>0)的图象是由y=sinx的图象沿y轴方向 伸长 (当A>1时)或压缩(当0<A<1时)A倍而成. 函数 y=Asinx (A>0)的值域是[–A,A].
y
2 1

y=2sinx

1 y= sinx 2

y=sinx

π



0
-1 -2

x

ω 对函数图象的影响 变周期
y=sinωx (ω>0)的图象是由y=sinx的图象沿x轴 1 压缩(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 倍而成. ? 1 2? 周期变为原来的 ,即 . ? ?
y
1

y=sin2x
π

y=sin x


1 2

y=sinx
3π 4π

0

-1

x

? 对函数图象的影响 变左右 y=sin(x+?)(??0)的图象是由y=sinx的图象沿x轴向 左(?>0)或向右(?<0)平行移动|?|个单位而得到 .
值域和周期保持不变.
? y = sin(x+ ) 3
π

y
1

? y = sin(x– ) 3


y=sinx

0
-1

x

把函数 y=sin2x的图象上各点向左平行移动 个单 位,得到图象的解析式为____________; 3倍,得到图象的解析式为____________; 再把所得函数的图象纵向压缩,使值域变为原来的 一半,得到图象的解析式为____________.
3

?

再把所得函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的

已知正弦型函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 、 ? ? 0 、 ? ? ? ? )在一个周期内的函数图象的最高点为 ( , 2) ,
2

最低点为 (

T 7? ? ? ? ? , 所以 T ? ? ,? ? 2 . 解:由题意 A ? 2 , ? 2 12 12 2

7? , ?2) ,求函数的表达式. 12

12

所以函数的表达式为 y ? 2sin(2 x ? ? ) ? ? 因为函数图象经过点 ( , 2) , 所以 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 12 12 ? ? ? ? sin(? ? ) ? 1 , ? ? 2k? ? , ? ? 2k? ? , k ? Z , ? 即 6 2 6 3 ? ? 又因为 ? ? ,所以 ? ? . 3 ? 2 故函数表达式为 y ? 2sin(2 x ? ) 3

弹簧上挂的小球做上下振动时,小球离开平衡位 置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个正弦型 函数的图象,求这条曲线对应的函数解析式.
s/cm 4
7? 6

O ?
6

t/s

-4

下图是某物体运动的函数图象, (1)写出这个运动的函数表达式; (2)如果将x轴向下平移2个单位,函数表达式怎样?

y/cm

4 2
O -2

A

E

0.5 B
C

1 D

1.5
F x/s

做简谐运动的物体的位移与时间的关系是正弦型函数.

O 点O为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向 为物体位移的正方向,若已知振幅为3㎝,周期为3s, 且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. (1)求物体对于平衡位置的位移x(㎝)和时间t(s)之间的 函数关系;(2)求物体在t =5s时的位置. x 解:(1)设x和t之间的函数关系为: ? 3sin ??t ? ? ? 2? 2? 由T ? ? 3, 得? ? , ? 3 ? 当t ? 0时,有x ? 3sin ? ? 3, 则 sin ? ? 1, 得? ? , 2 2? ? ? x ? 3sin( t ? ). 3 2 10? (2)令t ? 5, 得x ? 3cos ? ?1.5, 3 故在t ? 5s时, 物体在O点的左侧且距O点1.5cm处.

将一个悬挂在弹簧上的小球从静止位置向下拉 0.2 米 的距离,此小球在 t = 0 时被放开并允许振动.如果此 小球在1秒后又回到这一位置. (1)求出描述此小球运动的一个函数关系式; (2)求当 t=6.5 秒时小球所在的位置.

本节课 学到了哪些知识?
掌握了哪些方法?

何处还需要注意?

讲义
P018 练习 Q1 P019 习题 Q5


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