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用二分法求方程的近似解知识点


用二分法求方程的近似解
1.二分法:对于区间[a,b]上连续不断、且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区 间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection) . 函数零点的性质是二分法求函数变号零点近似值的重要依据.必须是满足区间[a,b]上连续不断、且 f(a)f

(b)<0 这两个条件的函数才能用二分法求得零点的近似值. 2.用二分法求函数零点 给定精确度ε,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下:1.确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε;2.求区间(a,b)的中点;3.计算 f(x1) : (1)若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; (2)若 f(a)· f(x1)<0, 则令 b= x1(此时零点 x0∈(a, x1) );(3)若 f(x1)· f(b)<0,则令 a= x1(此时零点 x0∈( x1,,b)); 4.判断 是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点近似值 a(或 b),否则重复步骤 2~4. 3.用二分法求方程近似解 2 不解方程,如何求方程 x -2x-1=0 的一个正的近似解(精确到 0.1) , , , ,

怎样理解是否达到精度要求了? 设函数的零点为 x0,则 a<x0<b.作出数轴,在数轴上标出 a、b、x0 对应的点.

所以 0<x0-a<b-a, a-b<x0-b<0.由于|a-b|<ε,所以|x0-a|<b-a<ε, x0-b<|a-b|<ε,即 a 或 b 作为函数的零点 x0 的近似值都达到给定的精确度ε . 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此,我们可以通过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机 完成计算.在计算器或计算机中安装一个方程数值解法的程序,当我们输入相应的方程,并给出精确度(有效数 字)后,计算器或计算机就会依据程序进行运算了. x 例 借助计算器或计算机用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解(精确到 0.1) . x x 解 原方程即 2 +3x-7 =0,令 f(x)=2 +3x-7,借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表.

解 原方程即 2 +3x-7 =0,令 f(x)=2 +3x-7,借助计算器或计算机作出该函数的图象与对应值表. x f(x) 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 142 8 273

x

x

观察图表,可知: f(1)· f(2)<0,说明这个函数在区间(1,2)内由零点. 下面是求方程近似解的框图,根据框图,可选择一种计算机语言,写出程序,并在计算机上运行后得出结果.

4.二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根,它在现实生活中也有许多重要的应用,常用于: 查找线路电线、 水 管、气管等管道线路故障,实验设计、资料查询等。 1 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条 10km 长的线路,如何迅 ○ 速查出故障所在 ? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子 ,10km 长,大约有 200 多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 如图,设闸门和指挥部的所在处为点 A,B, (1)首先从中点 C 查; (2)用随身带的话机向两端测试时,发现 AC 段 正常,断定故障在 BC 段; (3)再到 BC 段中点 D; (4)这次发现 BD 段正常,可见故障在 CD 段; (5)再到 CD 中点 E 来看; (6)这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到 50~100m 左右, 即一两根电线杆附近,要检查 77 次.

2 从上海到美国旧金山的海底电缆有 15 个节点,现在某节点发生故障,需及时修理,为尽快断定故障发生点, ○ 一般至少需要检查节点的个数为多少?(要检查节点的个数为 3 个) 3 下列函数图像与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是( ○ B )

4 方程 lnx+2x=6 在区间上的根必定属于区间( ○ 5 函数 f(x)=x2+4x+4 在区间[-4,-1]上( ○ 1 寻找解所在区间 ○

B ) A(-2,1) B(2.5,4) C (1,7/4) D(7/4,5/2)

B )A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有无数个零点

5.用二分法求方程 f(x)=0(或 g(x)=h(x))近似解基本步骤: (1)图像法:先画出 y=f(x)图象,观察图象与 x 轴交点横坐标所处的范围;或画出 y=g(x)和 y=h(x)的图象, 观察两图象的交点横坐标所处的范围。 (2)函数性态法:把方程均转换为 f(x)=0 的形式,再利用函数 y=f(x) 的有关性质(如单调性) ,来判断解所在的区间。 2 不断二分解所在的区间 ○ 若 x∈(a,b),不妨设 f(a)<0,f(b)>0(1)若 f((a+b)/2)>0,由 f(a)<0,则 x∈(a, (a+b)/2);(2) 若 f((a+b)/2)<0, 由 f(b)>0,则 x∈((a+b)/2,b);(3)若 f((a+b)/2)=0,则 x=(a+b)/2;对(1)、(2)两种情形再继续二分法所在的 区间。 3 根据精确度得出近似解, ○ 当 x∈(m,n),且 m,n 根据精确度得到的近似值均为同一个值 p 时,则 x ≈ p,即求 得了近似解。 【例】 在用二分法求方程的近似解时, 若初始区间是 (1, 5) , 精确度要求是 0.001, 则需要计算的次数是 . n n 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定.设需计算 n 次,则 n 满足 4/2 <0.001,即 2 >4000.由 11 12 于 2 =2048,2 =4096,故计算 12 次就可以满足精确度要求.故填 12. 在用二分法求方程的近似解时,精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求 得另一个.当然,在实际求解过程中也可能用不到 12 次,也许 11 次,甚至 10 次即可解决问题,但前提是到结束时,区 间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同. 【例】方程 f(x)=0 在[0,1]内的近似解,用二分法计算到 x10=0.445 达到精确度要求,求所取误差限ξ 根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足 b?a/2n+1 11 <精确度确定.解:由题知计算了 10 次满足精确度要求,所以(b?a)/(2n+1)=1/2 =1/2048≈0.00049, 故所取误差限ξ是 0.0005.故答案为 0.0005. 6.用二分法求函数零点的条件: 若函数零点左右两侧函数值符号相反, 则此零点为函数的变号零点, 从图象来看, 若图象穿过零点,则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点 例如函数(1) y ? x 不能用二分法
2

函数(2) y ? x ? 2 x ? 3 可用二分法
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