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2016届福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)


2016 年福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是≤ 符合题目要求的. 1.集合 A={x|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x<8},则 A∩B=( ) A. B.[﹣2,3) C.[﹣4,3) D. (﹣∞,2] (﹣∞,3] 2.已知 i 为虚数单位,若(x+2i) (x﹣i)=

6+2i,则实数 x 的值等于( ) A.4 B.﹣2 C.2 D.3 3.已知满足线性相关关系的两个变量 x,y 的取值如表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 ,则 a=( D.2.0 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 3x+2y=0,则它的离心率等于 4 6.7 )

若回归直线方程为 A.3.2 B.2.6 C.2.8

4.若双曲线 ( A. ) B. C.

D.

5.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 10,则判断框中应填入的条件是 ( )

A.k≥﹣3 6. 数列{an}中

B.k≥﹣2

C.k<﹣3

D.k≤﹣3 的前 n 项和为 Tn, 则 T8 的值为 ( )

, 记数列

A.57 B.77 C.100 D.126 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



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A.

B.

C.4

D.3

8. 设 Ω 为不等式组

(m>0) 表示的平面区域. 若 Ω 的面积为 9, 则 m= (



A.8 B.6 C.4 D.1 10 9.已知正实数 m,若 x =a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10,其中 a8=180, 则 m 值为( ) A.4 B.2 C.3 D.6 10.已知球 O 的一个内接三棱锥 P﹣ABC,其中△ABC 是边长为 2 的正三角形,PC 为球 O 的直径,且 PC=4,则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

11.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线 的准线的交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 的方程为( A.y2=4x ) B.y2=8x C.y2=16x D. ,则抛物线

12.已知 x>0,y>0,且 4x+ +y+ =26,则函数 F(x,y)=4x+y 的最大值与最小值的差 为( A.24 ) B.25

C.26

D.27

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 的值域是 .

14.在 1 和 16 之间插入 n﹣2(n≥3)个实数,使这 n 个实数构成递增的等比数列,若记这 n 个实数的积为 bn,则 b3+b4+…+bn= . 15.曲线 的对称中心坐标为 .

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16.在△AOB 中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,MN 是过点 O 的一条线段,且 OM=ON=3, 若 R) ,则 的最小值为 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 sin(A﹣B)+sinC= sinA. (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b=2,求 a2+c2 的最大值,并求取得最大值时角 A,C 的值. 18.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90°,点 E、F 分别在 CD、AB 上, 且 EF⊥CD,BE⊥BC,BC=1,CE=2.现将矩形 ADEF 沿 EF 折起,使平面 ADEF 与平面 EFBC 垂直(如图 2) . (Ⅰ)求证:CD∥面 ABF; (Ⅱ)当 AF 的长为何值时,二面角 A﹣BC﹣F 的大小为 30°.

19.某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况,在甲、乙两所学校随机抽 取了各 50 名学生,做问卷调查,并作出如下频率分布直方图:

(Ⅰ)根据直方图计算:两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数; (Ⅱ)在这 100 名学生中,要从每周用于体育锻炼时间不低于 10 小时的学生中选出 3 人, 该 3 人中来自乙学校的学生数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 20.已知点 在椭圆 上,过椭圆 C 的右焦点 F 且垂

直于椭圆长轴的弦长为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 MN 是过椭圆 C 的右焦点 F 的动弦(非长轴) ,点 T 为椭圆 C 的左顶点,记直线 TM,TN 的斜率分别为 k1,k2.问 k1k2 是否为定值?若为定值,请求出定值;若不为定值, 请说明理由. 21.设函数 f(x)=ln(1+x) .
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f 0) f x) (Ⅰ) 若曲线 y=f (x) 在点 (0, ( ) 处的切线方程为 y=g (x) , 当 x≥0 时, ( ≤ 求 t 的最小值; (Ⅱ)当 n∈N*时,证明: .



四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 D 点在⊙O 直径 BC 的延长线上,DA 切⊙O 于 A 点,DE 是∠ADB 的平分 线,交 AC 于 F 点,交 AB 于 E 点. (Ⅰ)求∠AEF 的度数; (Ⅱ)若 AB=AD,求 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C: ρsin2θ=2cosθ,过定点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

,若

直线 l 和曲线 C 相交于 M、N 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)证明:|PM|、|MN|、|PN|成等比数列. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x+a|,其中 a 为实常数. (Ⅰ)若函数 f(x)的最小值为 2,求 a 的值; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,不等式|x﹣2|≥f(x)恒成立,求 a 的取值范围.

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2016 年福建省南平市高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是≤ 符合题目要求的. 1.集合 A={x|x2﹣2x﹣8≤0},B={x|2x<8},则 A∩B=( ) A. B.[﹣2,3) C.[﹣4,3) D. (﹣∞,2] (﹣∞,3] 【考点】交集及其运算. 【分析】分别求出集合 A,B,取交集即可. 【解答】解:∵集合 A={x|x2﹣2x﹣8≤0}={x|﹣2≤x≤4}, B={x|2x<8}={x|x<3}, 则 A∩B=[﹣2,3) . 2.已知 i 为虚数单位,若(x+2i) (x﹣i)=6+2i,则实数 x 的值等于( A.4 B.﹣2 C.2 D.3 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出. 【解答】解: (x+2i) (x﹣i)=6+2i, 2 ∴x +2+xi=6+2i, ∴ 故选:C. 3.已知满足线性相关关系的两个变量 x,y 的取值如表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 ,则 a=( D.2.0 4 6.7 ) ,解得 x=2. )

若回归直线方程为 A.3.2 B.2.6 C.2.8

【考点】线性回归方程. 【分析】求出数据中心,代入回归方程解出 a. 【解答】解: , =4.5.

∴4.5=0.95×2+a,解得 a=2.6. 故选:B.

4.若双曲线 ( )

(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 3x+2y=0,则它的离心率等于

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A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线的渐近线方程是 3x+2y=0 可知 = ,由此可以求出该双曲线的离心率. 【解答】解:∵双曲线的渐近线方程是 3x+2y=0, ∴ = , 设 a=2k,b=3k,则 c= 故选:C. 5.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果为 10,则判断框中应填入的条件是 ( ) k,∴e= = .

A.k≥﹣3

B.k≥﹣2

C.k<﹣3

D.k≤﹣3

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行结果,分析不满足输出条件继续循环和满足输出条件退出循环时, 变量 k 值所要满足的要求,可得答案. 【解答】解:当 k=1 时,S=﹣2,k=0 不满足输出条件; 当 k=0 时,S=﹣2,k=﹣1,不满足输出条件; 当 k=﹣1 时,S=0,k=﹣2,不满足输出条件; 当 k=﹣2 时,S=4,k=﹣3,不满足输出条件; 当 k=﹣3 时,S=10,k=﹣4,满足输出条件, ; 分析四个答案后,只有 A 满足上述要求 故选 A

6. 数列{an}中 A.57 B.77 C.100 D.126

, 记数列

的前 n 项和为 Tn, 则 T8 的值为 (



【考点】数列的求和;数列递推式.
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【分析】通过对 an+1=

两边同时取倒数,整理可知数列{

}是首项为 2、公差为 3

的等差数列,进而利用等差数列的求和公式计算即得结论. 【解答】解:∵an+1= ,



=

=

+3,

又∵ ∴数列{

=2, }是首项为 2、公差为 3 的等差数列, ×3=100,

∴T8=2×8+ 故选:C.

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.4

D.3

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】两条三视图判断几何体的形状,画出图形,利用三视图的数据,求解几何体的体积 即可. 【解答】解:由三视图知,几何体的形状如图,底面是边长为 2 的正方形,PA 垂直底面, PA=2,ED 垂直底面,DE=1, 几何体的体积为:VP﹣ABCD+VP﹣CDE= 故选:A. + = .

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8. 设 Ω 为不等式组

(m>0) 表示的平面区域. 若 Ω 的面积为 9, 则 m= (



A.8

B.6

C.4

D.1

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据平面区域的面积确定 a 的取值. 【解答】解坐标不等式对应的平面区域如图(阴影部分) , 2) B m+4) C 由图象可知 A (﹣2, , (m, , (m, ﹣m) , 此时三角形 ABC 的面积为 × (m+2) |×(2m+4)=9, 所以要使阴影部分的面积为 9,则 m>0.解得,m=1. 故选:D.

9.已知正实数 m,若 x10=a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10,其中 a8=180, 则 m 值为( ) A.4 B.2 C.3 D.6 【考点】二项式系数的性质. 【分析】根据题意,x10=[m﹣(m﹣x)]10,利用二项式展开式定理求出展开式的第 8 项系 数,列出方程求出 m 的值. 【解答】解:∵x10=a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10, 且 x10=[m﹣(m﹣x)]10

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=

?m10﹣

?m9?(m﹣x)+

?m8?(m﹣x)2﹣…+

?m2?(m﹣x)8﹣

?m?(m

﹣x)9+

?(m﹣x)10

=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)2+…+a10(x﹣1)10, ∴a8= m2=180,

即 45m2=180, 解得 m=2 或 m=﹣2(不合题意,舍去) , m 2 ∴ 的值为 . 故选:B. 10.已知球 O 的一个内接三棱锥 P﹣ABC,其中△ABC 是边长为 2 的正三角形,PC 为球 O 的直径,且 PC=4,则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】取△ABC 的中心 E,则 OE⊥平面 ABC,所以 P 到平面 ABC 的距离 h=2OE,利用 正三角形的性质和勾股定理求出 OE,代入棱锥的体积公式计算. 【解答】解:设△ABC 的中心为 E,AB 中点为 D,连结 OE,则 OE⊥平面 ABC, ∴OE⊥CE. ∵O 是 PC 的中点,∴P 到平面 ABC 的距离 h=2OE. 由正三角形的性质可得 CD= ∴OE= ∴h= . = = . = = ,CE= . = .

∴三棱锥的体积 V= 故选 B.

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11.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,与抛物线 的准线的交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 的方程为( A.y2=4x ) B.y2=8x C.y2=16x D. ,则抛物线

【考点】抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算;抛物线的标准方程. 【分析】先设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D,根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|,根据 F 是 AB 的中点可知|AC|=2|FD|, |AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于 p 的表达式, 进而 =48,求得 p. 得到|BC|,最后根据 【解答】解:设抛物线的准线与 x 轴的交点为 D,依题意,F 为线段 AB 的中点, 故|AF|=|AC|=2|FD|=2p, |AB|=2|AF|=2|AC|=4p, ∴∠ABC=30°,| |=2 p, =4p?2p?cos30°=48, 解得 p=2, ∴抛物线的方程为 y2=4x. 故答案为:y2=4x

12.已知 x>0,y>0,且 4x+ +y+ =26,则函数 F(x,y)=4x+y 的最大值与最小值的差 为( A.24 ) B.25 C.26 【考点】基本不等式.

D.27

【分析】设 4x+y=m∈(0,26) .由于 x>0,y>0,且 4x+ +y+ =26,可得: ﹣m.变形为:26﹣m= (4x+y) 【解答】解:设 4x+y=m∈(0,26) . ∵x>0,y>0,且 4x+ +y+ =26, ∴ + =26﹣m. ∴26﹣m= (4x+y) = ≥ = ,利用基本不等式的性质即可得出.

+ =26

, 当且仅当 y=6x

时取等号. 化为:m2﹣26m+25≤0, 解得 1≤m≤25, ∴函数 F(x,y)=4x+y 的最大值与最小值的差=25﹣1=24. 故选:A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 的值域是 [﹣
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,1] .

【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域得出结论. 【解答】解:∵x∈[0, ∴f(x)=sinx﹣ 故答案为:[﹣ ],x﹣ ∈[﹣ )∈[﹣ , ],

cosx=2sin(x﹣ ,1].

,1],

14.在 1 和 16 之间插入 n﹣2(n≥3)个实数,使这 n 个实数构成递增的等比数列,若记这 n 个实数的积为 bn,则 b3+b4+…+bn= .

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】求出等比数列的公比,求出 bn,代入等比数列数列的求和公式. 【解答】解:设插入 n﹣2 个数后组成的等比数列的公比为 q,则 q= ∴bn=1?q?q2?q3?…?qn﹣1=q ∴b3+b4+…+bn=43+44+45+…+4n= =16 =4n. ,



故答案为:



15.曲线

的对称中心坐标为 (0,3) .

【考点】函数的图象. 【分析】根据函数的图象即可求出. 【解答】解: =3+ ,

当 x=0 时,

=0,

∴函数的对称中心为(0,3) . 故答案为: (0,3) .

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16.在△AOB 中,OA=1,OB=2,∠AOB=120°,MN 是过点 O 的一条线段,且 OM=ON=3, 若 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】问题转化为求 【解答】解:由题意可得 的最小值,通过解三角形求出即可. ? =( ﹣ )?( ﹣ )= ? ﹣ ?( + )+ . R) ,则 的最小值为 ﹣ .

由于 MN 是过点 O 的一条线段,且 OM=ON=3, ? =﹣3×3=﹣9, ∴ + = , 要求 ? 最小值,问题就是求 OC2 的最小值, 因为 C 在 AB 线段上,如图示:

那么 OC⊥AB 时,| |最小, 由 AB2=1+4+2=7,得 AB= , ∴OC2=4﹣BC2=1﹣ ∴OC2= , ∴则 的最小值是﹣9+ =﹣ . , ,解得 BC= ,

故答案为:﹣

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三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 sin(A﹣B)+sinC= sinA. (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 b=2,求 a2+c2 的最大值,并求取得最大值时角 A,C 的值. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)由已知及三角形内角和定理,两角和与差的正弦函数公式化简可得 2sinAcosB= sinA,由于 sinA≠0,即可解得 cosB 的值,结合范围 B∈(0,π) ,即可求得 B 的值. (Ⅱ)由余弦定理及基本不等式可得:a2+c2﹣ ﹣ ) (a2+c2) ,即可解得 a2+c2 的最大值. ac=4,且 ac≤ ,从而可得 4≥(1

【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)在△ABC 中,∵由已知及 C=π﹣(A+B)可得: sin(A﹣B)+sinC=sin(A﹣B)+sin(A+B) =sinAcosB﹣cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB =2sinAcosB= sinA…3 分 ∵A 是三角形的内角,sinA≠0, ∴cosB= …4 分 …5 分 ac=4,且 ac≤ (a2+c2)=(1﹣ ,…7 分 ) (a2+c2) ,…9 分

∴由 B∈(0,π) ,可得 B=

(Ⅱ)∵由余弦定理可得:a2+c2﹣ ∴4=a2+c2﹣ ∴a2+c2≤ ac≥(a2+c2)﹣

=8

(当且仅当 a=c 时,等号成立) ,…11 分

∴当 A=C=

时,a2+c2 的最大值是 8

…12 分

18.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90°,点 E、F 分别在 CD、AB 上, 且 EF⊥CD,BE⊥BC,BC=1,CE=2.现将矩形 ADEF 沿 EF 折起,使平面 ADEF 与平面 EFBC 垂直(如图 2) . (Ⅰ)求证:CD∥面 ABF; (Ⅱ)当 AF 的长为何值时,二面角 A﹣BC﹣F 的大小为 30°.

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【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)推导出 CE∥面 ABF,DE∥面 ABF,由此能证明面 CDE∥面 ABF,从而 CD ∥面 ABF. (Ⅱ)过 F 作 CB 的垂线,交 CB 的延长线于 H 点,连结 AH,推导出∠AHF 是二面角 A﹣ BC﹣F 的平面角,由此能求出 AF 的长. 【解答】证明: (Ⅰ)∵CE∥BF,CE?面 ABF,BF? 面 ABF, ∴CE∥面 ABF, 又 DE∥AF,DE?面 ABF,AF? 面 ABF, ∴DE∥面 ABF, ∵DE∩CE=E,且 DE、CE? 面 CDE, ∴面 CDE∥面 ABF, 又 CD? 面 CDE,∴CD∥面 ABF. 解: (Ⅱ)过 F 作 CB 的垂线,交 CB 的延长线于 H 点,连结 AH, ∵面 ADEF⊥面 EFBC,AF⊥EF, ∴AF⊥面 EFBC,CB? 面 EFBC, ∴CB⊥AF,CB⊥面 AF, ∴AH⊥CH, ∴∠AHF 是二面角 A﹣BC﹣F 的平面角, ∴∠AHF=30°, ∵BC=1,CE=2,且 BE⊥BC,∴∠BCE=60°, 在直线梯形 EFBC 中,BF=2﹣cos60°= , ∴FH= = , .

在直角三角形 AHF 中,AF=FH

19.某研究性学习小组为了解学生每周用于体育锻炼时间的情况,在甲、乙两所学校随机抽 取了各 50 名学生,做问卷调查,并作出如下频率分布直方图:

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(Ⅰ)根据直方图计算:两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数; (Ⅱ)在这 100 名学生中,要从每周用于体育锻炼时间不低于 10 小时的学生中选出 3 人, 该 3 人中来自乙学校的学生数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)由频率分布直方图能求出两所学校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的 平均数. (Ⅱ)每周体育锻炼时间不低于 10 个小时的学生中,甲校有 2 人,乙校有 4 人,X 的所有 可能取值有 1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 EX. 【解答】解: (Ⅰ)由频率分布直方图得甲校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均 数为: =0.12×5.5+0.24×6.5+0.32×7.5+0.20×8.5+0.08×9.5+0.04×10.5=7.5. 乙校被抽取到的学生每周用于体育锻炼时间的平均数为: =0.08×5.5+0.24×6.5+0.28×7.5+0.24×8.5+0.08×9.5+0.08×10.5=7.74. (Ⅱ)每周体育锻炼时间不低于 10 个小时的学生中,甲校有 2 人,乙校有 4 人, X 的所有可能取值有 1,2,3, P(X=1)= = ,

P(X=2)=

= ,

P(X=3)=

= ,

∴X 的分布列为: X P EX=

1

2

3



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20.已知点

在椭圆

上,过椭圆 C 的右焦点 F 且垂

直于椭圆长轴的弦长为 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 MN 是过椭圆 C 的右焦点 F 的动弦(非长轴) ,点 T 为椭圆 C 的左顶点,记直线 TM,TN 的斜率分别为 k1,k2.问 k1k2 是否为定值?若为定值,请求出定值;若不为定值, 请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】 (Ⅰ)根据条件便可以得到

,解出 a,b 便可得出椭圆 C 的方程为

; (Ⅱ)可设直线 MN 的方程为 x=ty+1,带入椭圆方程并整理便可得到(3t2+4)y2+6ty﹣9=0, 从而由韦达定理可得到 ,而

,这样即可求得

,即得出 k1k2 为定值,并得出该定值.

【解答】解: (Ⅰ)由题意得,



解得



∴椭圆的方程为



(Ⅱ)由题意知,T(﹣2,0) ,F(1,0) ,设直线 MN 的方程为 x=ty+1,M(x1,y1) ,N (x2,y2) ; 将方程 x=ty+1 带入椭圆方程 (3t2+4)y2+6ty﹣9=0; ∴ ; 并化简得:



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=

=

=

=

; .

∴k1k2 为定值,定值为

21.设函数 f(x)=ln(1+x) . f 0) f x) (Ⅰ) 若曲线 y=f (x) 在点 (0, ( ) 处的切线方程为 y=g (x) , 当 x≥0 时, ( ≤ 求 t 的最小值; (Ⅱ)当 n∈N*时,证明: . ,

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)求出导数,求得切线的斜率和切点,可得切线的方程,即 g(x)=x.由题意 可得 ln(x+1)﹣ ≤0,x≥0 恒成立.设 h(x)=ln(x+1)﹣ ,x≥0,

求出导数,求得单调区间,可得最小值; (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得 ln (1+x) < x≥0, x=0 时取得等号. ln , 取 x= , <

=

+ ( ﹣

) ,运用对数的运算性质和累加法,及不等式的性质,即可得证. ,

【解答】解: (Ⅰ)f(x)的导数为 f′(x)=

f(0)=0,f′(0)=1,切线的方程为 y=x,即 g(x)=x, 当 x≥0 时,f(x)≤ ln(x+1)﹣ ,即为 ≤0,x≥0 恒成立. ,x≥0,

设 h(x)=ln(x+1)﹣

h(x)≤0,h(1)≤0 即 t≥﹣1+2ln2>0.

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h′(x)=



=

=﹣



当 0<t< 时,0<x< 故 0<x< < 不合题意.

时,h′(x)>0,h(x)递增,

时,h(x)>h(0)=0,与 x≥0,h(x)≤h(0)=0,相矛盾,则 0<t

当 t= 时,h′(x)=﹣

<0,h(x)在[0,+∞)递减,

故当 x≥0 时,h(x)≤h(0)=0,因此 t 的最小值为 ;

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得 ln(1+x)<

,x≥0,x=0 时取得等号.

取 x= ,ln 则 ln ln …,ln < <

< + ( ﹣ + ( < ﹣

=

+ ( ﹣ ) , (1) ) , (2) ﹣

) ,

+ (

) , ( n)

将 n 个不等式相加,由对数的运算性质,可得 ln2=ln( 则 ? … )< + . +…+ + ( ﹣ ) ,

四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如 果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂 黑.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,已知 D 点在⊙O 直径 BC 的延长线上,DA 切⊙O 于 A 点,DE 是∠ADB 的平分 线,交 AC 于 F 点,交 AB 于 E 点. (Ⅰ)求∠AEF 的度数; (Ⅱ)若 AB=AD,求 的值.

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【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (Ⅰ)利用弦切角定理、角平分线的性质证明∠AEF=∠AFE,由 BC 为⊙O 的直径, 结合圆周角定理的推论,可得∠AFE 的度数; (Ⅱ) 证明△ACD∽△BAD, 根据三角形相似的性质可得 = , 又由 AB=AD, 可得 AD:

BD=tanB,求出 B 角大小后,即可得到答案. 【解答】解: (Ⅰ)因为 AC 为⊙O 的切线,所以∠B=∠DAC 因为 DE 是∠ADB 的平分线,所以∠ADE=∠EDB 所以∠B+∠EDB=∠DAC+∠ADE,即∠AEF=∠AFE, 又因为 BC 为⊙O 的直径,所以∠BAC=90°.所以∠AEF= =45°; (Ⅱ)因为∠B=∠DAC,所以∠ADB=∠CDA,所以△ACD∽△BAD, 所以 = ,

又因为 AB=AD,所以∠B=∠ADB=30°, Rt△BAC 中, = =tan30°= .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C: ρsin2θ=2cosθ,过定点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

,若

直线 l 和曲线 C 相交于 M、N 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)证明:|PM|、|MN|、|PN|成等比数列. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (Ⅰ)根据极坐标方程,参数方程和普通坐标之间的关系进行转化求解即可, (Ⅱ)在直角坐标系下,练习直线方程和抛物线方程求出交点坐标,利用两点间的距离公式 进行求解,结合等比数列的定义进行证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)由 ρsin2θ=2cosθ 得 ρ2sin2θ=2ρcosθ, 即 y2=2x,



,两式相减,消去参数 t 得 x﹣y﹣2=0.

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(Ⅱ)由 则 M(3+ ,1+

得(x﹣2)2=2x,即 x2﹣6x+4=0,得 x=3± ) ,N(3﹣ ,1﹣ ) , =2 , ,



由两点间的距离公式得|MN|= 同理|PM|=5 ,|PN|=5 ﹣ 2 则有|MN| =|PM||PN|, 故|PM|、|MN|、|PN|成等比数列.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x+a|,其中 a 为实常数. (Ⅰ)若函数 f(x)的最小值为 2,求 a 的值; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,不等式|x﹣2|≥f(x)恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的最小值,得到|a+1|=2,解出 a 的值即可; (Ⅱ)问题转化为|x+a| ≤1,求出 x 的范围,结合集合的包含关系得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=|x﹣1|+|x+a|≥|(x﹣1)﹣(x+a)|=|a+1|, 当且仅当(x﹣1) (x+a)≤0 时取等号, f x = a 1 ∴ ( )min | + |, 由|a+1|=2,解得:a=1 或 a=﹣3; (Ⅱ)当 x∈[0,1]时,f(x)=﹣x+1+|x+a|, 而|x﹣2|=﹣x+2, 由|x﹣2|≥f(x)恒成立, 得﹣x+2≥﹣x+1+|x+a|, 即|x+a|≤1,解得:﹣1﹣a≤x≤1﹣a, 由题意得[0,1]? [﹣1﹣a,1﹣a], 则 ,即﹣1≤a≤0.

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2016 年 8 月 24 日

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