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2016新课标Ⅰ高考压轴卷 数学(文) Word版含解析


2016 新课标Ⅰ高考压轴卷 文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮

擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上 作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1.设集合 A ? x x ? 2 x ? 0 , B ? y y ? x ? 2 x, x ? A ,则 A ? B ? (
2 2

?

?

?

?



A. ? 0, 2?

B. ? ?1, 2?

C. ( ??, 2]

D. [0, ??) ) (D) 2

2.如果复数 z ? (A) 3 2

3 ? bi (b ? R ) 的实部和虚部相等,则 | z | 等于( 2?i
(B) 2 2 ). (C) 3

3.下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy=0,则 x≠0” B. 命题“若 cos x=cos y,则 x=y”的逆否命题为真命题 C.命题“?x∈R,使得 2x2-1<0”的否定是“?x∈R,均有 2x2-1<0” D.“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为真命题 4.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 满足 a1 , a3 , a4 成等比数列, Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则

S3 ? S 2 的值为( S5 ? S3



A、 ?2 B、 ? 3 C、2 D、3 5.以正方形的一条边的两个端点为焦点, 且过另外两个顶点的椭圆与双曲线 的离心率之积为 A.

开始 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0

2 2

B. 1

C.

2

D. 2

k ? 3, S ? a3
k ?0
是 否 输出S 结束

6.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为
-1-

k ? k ?1

S ? ak ? S ? x0

A. a1 ? x0 (a3 ? x0 (a0 ? a2 x0 )) 的值 B. a3 ? x0 (a2 ? x0 (a1 ? a0 x0 )) 的值 C. a0 ? x0 (a1 ? x0 (a2 ? a3 x0 )) 的值 D. a2 ? x0 (a0 ? x0 (a3 ? a1x0 )) 的值 7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方 升,其三视图如图所示(单位:寸),若 π 取 3,其体积为 12.6(立方寸),则图中的 x 为 A.1.2 B.1.6 C.1.8 D.2.4

8.设 F1 , F2 是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的焦点,P 是双曲线上的一点,且 3| PF1 |=4| PF2 |, 24

△ PF 1 F2 的面积等于 A. 4 2 B. 8 3 C.24 D.48

π 9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的图象的相邻两对称中心的 2

π π 距离为 π,且 f(x+ )=f(-x),则函数 y=f( -x)是( 2 4
A.奇函数且在 x=0 处取得最小值 C.奇函数且在 x=0 处取得最大值 10 已 知 函 数 f ? x ? ? 2016x ? log2016

).

B.偶函数且在 x=0 处取得最小值 D. 偶函数且在 x=0 处取得最大值

?

x2 ? 1 ? x ? 2016? x ? 2 , 则 关 于 x 的 不 等 式

?

f ? 3 x? 1 ? ? ?f

4 ? x ? 的解集为(

) C、 ? 0, ?? ? D、 ? ??,0 ?

? 1 ? A、 ? ? , ?? ? ? 4 ?

1? ? B、 ? ??, ? ? 4? ?

2x-y+6≥0, ? ? 11. 已知实数 x,y 满足?x+y≥0, 若目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值 ? ?x≤2, 为-2m-2,则实数 m 的取值范围是( A.[-1,2] B.[-2,1] ) C.[2,3] D.[-1,3]

-2-

2 x 12.已知函数 f ? x ? ? x ? e ?

1 ( x ? 0) 与 g ?x? ? x 2 ? ln(x ? a) 图象上存在关于 y 轴对称的 2
) C. (?

点,则 a 的取值范围是( A. (??,

1 ) e

B. (??, e )

1 , e) e

D. ( ? e ,

1 ) e

第Ⅱ卷
注意事项: 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
13.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数” ,事件 B=“取 到的 2 个数均为偶数” ,则 P( B | A) ? 14.设函数 f(x)的导函数 f '(x)=x3﹣3x+2,则 f(x)的极值点是 .

??? ? 1 ??? ? ???? x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,A 为椭圆上一点,且 OB ? (OA ? OF1 ) , 15. F1,F2 分别为椭圆 2 36 27 ???? 1 ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? OC ? (OA ? OF2 ) 则 | OB | ?| OC | = 2
16.设数列{an },(n ? 1,n ?

N )满足,,且 (an?2 ? an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2 ,

错误!未找到引用源。若[x]表示不超过 x 的最大整数,则= 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 ?ABC ?

?
3

, b ? 7, c ? 2 ,

D 为 BC 的中点.(I)求 cos ?BAC 的值;(II)求 AD 的值.
(18). (本小题满分 12 分)为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对此班 50 人进行 了问卷调查得到了如下的列联表: 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 5 男生 女生10 50 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理由;
-3-

(3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中,A1,A2,A3,A4,A5 还喜欢打羽毛球,B1,B2,B3 还喜欢打乒乓球,C1,C2 还喜欢踢足球,现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球 的女生中各选出 1 名进行其他方面的调查,求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: 2 p(K ≥k)0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 (参考公式: ,其中 n=a+b+c+d)

(19). (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形,

AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD ,PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分
别为 PC , PB 的中点。 (1)求证: PB ? DM ; (2)求四棱锥的体积 V 和截面 ADMN 的面积

(20) . (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) ,过其焦点作斜率为 1 的直线 l 交抛物线 C 于 M、N 两
2

点,且 | MN |? 16 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上,且过定点 D(0,4),若动圆 P 与 x 轴交于 A、B 两点,且 | DA |?| DB | ,求

| DA | 的最小值. | DB |

-4-

(21). (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? e x . (I)若函数 φ (x) = f (x)-

x +1 ,求函数 φ (x)的单调区间; x- 1

(II)设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0))处的切线,在区间(1,+∞)上是否存在 得直线 l 与曲线 y=g(x)相切若存在,求出

x0 使

x0 的个数;若不存在,请说明理由。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时 请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图,⊙O 过平行四边形 ABCT 的三个顶点 B,C,T,且与 AT 相切,交 AB 的延长线于 D. (1)求证:AT =BT?AD; (2) E、F 是 BC 的三等分点,且 DE=DF,求∠A.
2

-5-

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? a cos ? 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 ,? 为参数) ,在以 O ? y ? b sin ?
为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已 知曲线 C1 上的点 M (1,

? ? ? 3 ) 对应的参数 ? ? ,射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 D(1, ) . 3 3 3 2

(I)求曲线 C1 , C 2 的方程; (II)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设不等式 2x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ? 求 h 的范围.

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ?, b?

考点分析及解析
-6-

1 函数的性质包括奇偶性,对称性,单调性,这部分往往与函数图像及交点问题相 结合,特别要注意的是对称轴,对称中心,y=x 对称反函数的求法,图像的上下左 右平移也要熟练掌握。
2 三角函数的周期性单调区间有界性,正余弦函数的转化,解三角形时把尽可能多的元素集中 到同一个三角形中,三角变换的原则是多角化单角。 3 数列:等差数列的性质,等比数列的性质,常考的求和方法。注意奇偶项分组求和,并项求 和,求通项时,累加,累乘等方式 4. 线性规划,作出平面域,最大值最小值一般在临界点处取得。 5.圆锥曲线的两个小题一般焦点,准线,离心率,利用定义结合平面几何性质解题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 C 7 C 8 C 9 D 10 A 11 A 12 B

1.解得集合 A 为 ? 0, 2? 2.令

集合 B 为 y 的值域[-1,0] A ? B ? ? ?1, 2? ,选 B

3 ? bi ? a ? ai ,展开 3 ? bi ? a ? 3ai 解得 a=3,b=-3a=-9,故 | z |? 3 2 ,选 A 2?i

3.解析 命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy≠0,则 x≠0”,所以 A 错;命题“若 cos x= cos y,则 x=y”为假命题,故其逆否命题也假,故 B 错;命题“?x∈R,使得 2x2-1<0”的否定 是“?x∈R,均有 2x2-1≥0”,所以 C 错; “若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题为“若 x, y 互为相反数,则 x+y=0”显然正确.所以应选 D. 4. =,,,,故选 C 5.以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆的离心率为

e1 ?
6.C 略

t 1 t 1 ? ? ,双曲线的离心率为 e2 ? ,故他们的积为 1,选 B. 2t ? t 2 ?1 2t ? t 2 ?1

7:C 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得: 1 (5.4-x)× 3× 1+π·( 2 )2x=12.6,x=1.6 8. 解:F1(﹣5,0),F2(5,0),|F1F2|=10,∵3|PF1|=4|PF2|,∴设|PF2|=x, 则|,由双曲线的性质知,解得 x=6.∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∴∠ F1PF2=90° ,∴△ PF1F2 的面积=*8*6=24 9.(命题立意)考查 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,会由 y=Asin(ωx+φ)的部分 图象求函数解析式,掌握三角函数的周期性、奇偶性、对称性等. 因为 f(x)的图象的相邻两对称中心的距离为 π,所以
-7-

T 2 π =π,T=2π= ,所以 ω=1. 2 ?

π π 所以 f(x)=Asin(x+φ).由 f(x+ )=f(-x),得 Asin(x+ +φ)=Asin(-x 2 2
π π +φ),∴x+ +φ=-x+φ+2kπ 或 x+ +φ=π-(-x+φ)+2kπ. 2 2

π π π 又|φ|< ,令 k=0,得 φ= .∴f(x)=Asin(x+ ). 2 4 4 π π π 则 y=f( -x)=Asin( x+ )=Acosx,A>0,所以选 D. 4 4 4 π (思维拓展)由 f(x+ )=f(-x)求得 φ 是解答本题的关键. 2

10.A 令,

f ? 3x ? 1? ? f ? x ? ? 4

等价于 g(3x+1)+g(x) > 0,且 g(x)= -g(-x),所以 g(x)为奇函数,易知 g(x)在定义域内单调递增, g(3x+1))> -g(x), 即 g(3x+1))> g(-x),由奇函数性质 3x+1>-x,x >- 11.A[解析] 作出不等式组所对应的平面区域,如图中阴影部分所示.

由目标函数 z=-mx+y 得 y=mx+z,当直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最大时, z 最大,直线 y=mx+z 在 y 轴上的截距最小时,z 最小. ∵目标函数 z=-mx+y 的最大值为-2m+10,最小值为-2m-2, ∴当直线 y=mx+z 经过点 A(2,10)时,z 取得最大值,经过点 C(2,-2)时,z 取得最小值, ∴直线 y=mx+z 的斜率 m 不小于直线 x+y=0 的斜率,不大于直线 2x-y+6=0 的斜率, 即-1≤m≤2.

12.法一由题意存在 x0 ? (??,0) 满足 f ( x0 ) ? g (? x0 ) 得 e 0 ? ln(? x0 ? a ) ?
x

1 ?0 2

1 x 因为 y ? e , y ? ? ln(? x ? a) 在定义域内都是单调递增的 2 1 x 所以 h( x ) ? e ? ln( ? x ? a ) ? 在定义域内都是单调递增的, 2
令 h( x ) ? e 0 ? ln( ? x0 ? a ) ?
x

又因为 x 趋近于 ?? 时函数 h(x)<0 且 h( x) ? 0 在 x ? (??, 0) 上有解

-8-

x 当 a ? 0 时,当 x 趋近于 a 时, h ? x ? ? e ? ln ? ? x ? a ? ? 0 当 a ? 0 时, h ? 0 ? ? e ? ln ? 0 ? a ? ?

1 趋近于 ?? ,所以符合题意. 2

1 ? 0 ? ln a ? ln e ? a ? e , 2

综上 a ?

e ,故选 B.【考点定位】指对数函数 方程 单调性
x

法二由题意存在 x0 ? (??,0) 满足 f ( x0 ) ? g (? x0 ) 得 e 0 ? ln(? x0 ? a ) ? 即e 0 ?
x

1 ?0 2

1 1 ? ln(? x0 ? a) ,分别作出 y ? e x ? , y ? ln(? x ? a ) 的图像,利于图像数形结合 2 2

13

14

﹣2

15

6

16 2015

13 解析: P ( A) ?

P( AB) 1 2 1 ? . , P ( AB ) ? , P( B | A) ? 5 10 P( A) 4

14. 解答: 解:函数 f(x)的导函数 f '(x)=x3﹣3x+2,令 x3﹣3x+2=0, 即(x+2) (x2﹣2x+1)=0,解得 x=﹣2 或 x=1, x<﹣2 时,f '(x)<0,1>x>﹣2 时,f '(x)>0,x=﹣2 是函数的极值点. 当 x>1 时,f '(x)=x3﹣3x+2>0,x=1 不是函数的极值点 15.取 A 为特殊点,A 取四个顶点任意一个皆可。 16 解析:由已知得,的通项公式为 2n+2,①, , ……,,n 式累加得,

所以, =[2016(]
,,[2016(]

=[2016(1-]=2015
17 解:(I)法 1:由正弦定理得 sin C ?

c 2 3 3 sin B ? ? ? b 7 2 7
?
2

又? 在?ABC中, b ? c,? C ? B,? 0 ? C ?

? cos C ? 1 ? sin 2 C ? 1 ?

3 2 ? 7 7

?cos ?BAC ? cos ?? ? B ? C ? ? ? cos ? B ? C ? ? ?(cos B cos C ? sin B sin C)
? 3 3 1 2 7 ? ? ? ? 2 7 2 7 14
-9-

法 2:在 ?ABC 中,由余弦定理得

AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC cos?ABC 1 ? a ? 3 a ?1 ? 0 ? 7 ? 4 ? a2 ? 2 ? 2 ? a ? 2

?

??

?

解得 a ? 3 (a ? ?1 已舍去)

? cos?BAC ?
(II)法 1:? AD ?

AB2 ? AC 2 ? BC 2 4?7 ?9 7 ? ? 2 AB ? AC 2 ? 2 ? 7 14

2 1 1 AB ? AC ? AD ? AB ? AC 2 4

?

?

?

?

2

?

2 2 1? ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? ? ? 4?

1? 7 ? 13 ?? ? ? 4 ? 7 ? 2 ? 2 ? 7 ? ? 4 4? 14 ? ?

? AD ?

13 2

法 2:在 ?ABC 中,由余弦定理得 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC cos?BAC

? 4 ? 7 ? 2? 2? 7 ?

7 ? 9 ? BC ? 3 ? BD ? 3 14 2 13 2

在 ?ABD 中,由余弦定理得 AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD ? cos?ABD…

? 4?

9 3 1 13 ? 2? 2? ? ? 4 2 2 4

? AD ?

法 3:设 E 为 AC 的中点,连结 DE ,则 DE ?

1 AB ? 1 , 2

AE ?

1 1 AC ? 7 2 2

在 ?ADE 中,由余弦定理得 AD2 ? AE2 ? DE 2 ? 2 AE ? DE ? cos?AED

7 7 7 13 13 ? ?1? 2? ? 1? ? ? AD ? 4 2 14 4 2

解: (1)∵在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . ∴在 50 人中,喜爱打篮球的有 列联表补充如下: 喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 5 25 男生20 15 25 女生10 20 50 合计30 (2)∵ ∴有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (3)从 10 位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件有 5× 3× 2=30 种, 如下: (A1, B1, C1) , (A1, B1 , C2) , (A1, B2,C1) , (A1,B2,C2) , (A1,B3,C1) , (A1,B3,C2) , (A2,B1,C1) , (A2,B1,C2) ,
- 10 -

=30,∴男生喜爱打篮球的有 30﹣10=20,

(A2,B2,C1) , (A2,B2,C2) , (A2,B3,C1) , (A2,B3,C2) , (A3,B1,C1) , (A3,B1, C2) , (A3,B2,C1) , (A3,B3,C2) , (A3,B2,C2) , (A3,B3,C1) , (A4,B1,C1) , (A4, B1,C2) , (A4,B2,C1) , (A4,B2,C2) , (A4,B3,C1) , (A4,B3,C2) , (A5,B1,C1) , (A5,B1,C2) , (A5,B2,C1) , (A5,B2,C2) , (A5,B3,C1) , (A5,B3,C2) , 基本事件的总数为 30,用 M 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 表示“B1,C1 全被选中”这一事件, 由于 由(A1,B1,C1) , (A2,B1,C1) , (A3,B1,C1) , (A4,B1,C1) , (A5,B1,C1)5 个基本事件组成,∴ ∴由对立事件的概率公式得 , .

19(1)证明:因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB 。

由 PA ? 底面 ABCD ,得 PA ? AD ,

又 ?BAD ? 90? ,即 BA ? AD ,

? AD ? 平面 PAB,所以 AD ? PB , ? PB ? 平面 ADMN , ? PB ? DM 。
(2)解:由 AD ? AB ? 2BC ? 2 ,得底面直角梯形 ABCD 的面积

BC ? AD 1? 2 ? AB ? ?2 ? 3, 2 2 由 PA ? 底面 ABCD ,得四棱锥 P ? ABCD 的高 h ? PA ? 2 , 1 1 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积 V ? Sh ? ? 3 ? 2 ? 2 。 的体积= 3 3 S?
由 M , N 分别为 PC , PB 的中点,得 MN // BC ,且 MN ?

1 1 BC ? , 2 2

又 AD // BC ,故 MN // AD ,由(1)得 AD ? 平面 PAB ,又 AN ? 平面 PAB , 故 AD ? AN ,? 四边形 ADMN 是直角梯形, 在 Rt ?PAB 中, PB ?

PA2 ? AB2 ? 2 2 , AN ?

1 PB ? 2 , 2

1 1 1 5 2 。 ? 截面 ADMN 的面积 S ? ( MN ? AD) ? AN ? ( ? 2) ? 2 ? 2 2 2 4
20. 解:(1) 设抛物线的焦点为 F (0,

p p ) ,则直线 l : y ? x ? , 2 2

- 11 -

p ? ?y ? x ? 由? 2 ,得 x 2 ? 2 px ? p 2 ? 0 ? x 2 ? 2 py ?

? x1 ? x2 ? 2 p ,? y1 ? y2 ? 3 p ,

? | MN |? y1 ? y2 ? p ? 4 p ? 16 ,? p ? 4 ? 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 8 y
2 (2) 设动圆圆心 P( x0 , y0 ), A( x1 ,0), B( x2 ,0) ,则 x0 ? 8 y0 , 2 且 圆 P : ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? x0 ? ( y0 ? 4)2 , 令 y ? 0 , 整 理 得 : 2 x2 ? 2x0 x ? x0 ?16 ? 0









x1 ? x0 ? 4, x2 ? x0 ? 4



( x0 ? 4) 2 ? 16 | DA | ? ? | DB | ( x0 ? 4) 2 ? 16
当 x0 ? 0 时,

2 x0 ? 8 x0 ? 32 16 x0 , ? 1? 2 2 x0 ? 8 x0 ? 32 x0 ? 8 x0 ? 32

| DA | ? 1, | DB |

当 x0 ? 0 时,

| DA | 16 32 ? 1? ,? x0 ? 0 ,? x0 ? ?8 2 , 32 | DB | x 0 x0 ? 8 ? x0

| DA | 16 ? 1? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 ,? 2 ? 1 ? 1 | DB | 8?8 2
所以

| DA | 的最小值为 2 ? 1 . | DB |
1 2 x ?1 x ?1 x ?1 ? ln x ? , ? ??x ? ? ? . ? 2 2 x ?1 x ?1 x ?x ? 1? x ? ?x ? 1?
2

21 解: (Ⅰ) ? ( x) ? f ? x ? ?

∵ x ? 0 且 x ? 1 ,∴ ?? ? x ? ? 0 ∴函数 ? ( x) 的单调递增区间为 ?0,1?和?1 , ? ?? . (Ⅱ)∵ f ?( x) ?
1 1 ,∴ f ?( x0 ) ? , x0 x

∴ 切线 l 的方程为 y ? ln x0 ?

1 1 ( x ? x0 ) , 即 y ? x ? ln x0 ? 1 , x0 x0
x



设直线 l 与曲线 y ? g ( x ) 相切于点 ( x1 , e 1 ) ,

1 1 ? ln x ,∴ x1 ? ? ln x0 ,∴ g ( x1 ) ? e 0 ? . x0 x0 ln x0 1 1 1 1 ∴直线 l 也为 y ? ? ? x ? ln x0 ? , 即 y ? x ? ? , ② x0 x0 x0 x0 x0 ln x0 1 x ?1 由①②得 ln x0 ? 1 ? ? ,∴ ln x0 ? 0 . x0 ? 1 x0 x0
∵ g ?( x) ? e x ,∴ e 1 ?
x

- 12 -

下证:在区间(1,+ ? )上 x0 存在且唯一 . 由(Ⅰ)可知, ? ( x) ? ln x ? 又 ? (e) ? ln e ?

x ?1 ( 1, +?) 在区间 上递增. x ?1

e ? 1 ?2 e2 ? 1 e2 ? 3 ? ? 0 , ? (e2 ) ? ln e2 ? 2 ? ?0, e ?1 e ?1 e ? 1 e2 ? 1

结合零点存在性定理,说明方程 ? ( x) ? 0 必在区间 (e, e 2 ) 上有唯一的根,这个根就是所求的唯 一 x 0 ,所以有且仅有一个 x 0 . 22.解答: (1)证明:因为∠A=∠TCB,∠ATB=∠TCB, 所以∠A=∠ATB,所以 AB=BT.又 AT 2=AB?AD,所以 AT 2=BT?AD. (2)解:取 BC 中点 M,连接 DM,TM. 由(1)知 TC=TB,所以 TM⊥BC.因为 DE=DF,M 为 EF 的中点,所以 DM⊥BC. 所以 O,D,T 三点共线,DT 为⊙O 的直径.所以∠ABT=∠DBT=90° . 所以∠A=∠ATB=45° .…(10 分)

? ? ? 1 ? a cos 3 ? 3 ? x ? a cos ? ? 23.(I)将 M (1, ,得 ? , ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 2 ? y ? b sin ? ? 3 ? b sin ? ? 3 ? 2
?a ? 2 ? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1. ,所以曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数) ,或 4 ?b ? 1 ? y ? sin ?
设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) ? y ? R ).
2 2 2

即?

将点 D(1,

?
3

) 代入 ? ? 2R cos? ,得 1 ? 2 R cos

?
3

,即 R ? 1 .

(或由 D(1,

?

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2
2 2

所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1. (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?
2

) 在在曲线 C1 上,

- 13 -

所以

?12 cos2 ?
4

? ?12 sin 2 ? ? 1 ,

2 ?2 sin 2 ?

4

2 ? ?2 cos2 ? ? 1 ,

所以

1

?12

?

1
2 ?2

?(

cos2 ? sin 2 ? 5 ? sin 2 ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? . 4 4 4

24(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ?, a, b ? M , ? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1

ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ? ab ? 1 ? a ? b
(Ⅱ) h ?

2 a

,h ?

a?b ab

,h ?

2 b

h3 ?

4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab ? ? ?8 ab ab ab

h ? ?2,???

- 14 -


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