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重庆高考试题分类整理(数学理)06排列组合与概率(理)


排列组合与概率(理)
一、选择题 1、 (2004 理 11)某校高三年级举行一次演讲赛共有 10 位同学参赛,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其它 班有 5 位, 若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序, 则一班有 3 位同学恰好被排在一起 (指演讲序号相连) , 而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为: ( ) A

1 10

r />B

1 20

C

1 40

D

1 120
( )

2、 (2005 理 8)若 ( 2 x ? A.4

1 n 1 1 ) 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为-5,则 n 等于 x x x
B.6
n

C.8

D.10 )

? 1 ? ? 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为( 3、 (2006 理 5)若 ? 3 x ? ? ? x? ?
(A)-540 (B)-162 (C)162 4、 (2006 理 6)为了了解某地区高三学生 的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年 龄为 17.5 岁-18 岁的男生体重(kg) ,得 到频率分布直方图如下: 根 据 上 图 可 得 这 100 名 学 生 中 体 重 在 (D)540

?56.5,64.5?的学生人数是(



(A)20 (B)30 (C)40 (D)50 5、 (2006 理 8)将 5 名实习教师分配到高 一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最 多 2 名,则不同的分配方案有( ) (A)30 种 (B)90 种 (C)180 种 (D)270 种 6、 (2007 理 4)若 ( x ?

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x



A、10 B、20 C、30 D、120 7、 (2007 理 6)从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中至少 有 2 张价格相同的概率为( ) A、

1 4

B、

79 120
2

C、

3 4

D、 )

23 24

8、 (2008 理 5)已知随机变量 ? 服从正态分布 N(3,a ),则 P( ? ? 3) =( (A)

1 5
2

(B)

1 4

(C)

1 3


(D)

1 2

9、 (2009 理 3) ( x ? A.16

2 8 ) 的展开式中 x 4 的系数是( x
B.70 C.560

D.1120

10、 (2009 理 6)锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征 完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为(
-1-



A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

11、 (2010 理 9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天. 若 7 位员 工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( A、504 种 B、960 种 C、1008 种
5 6



D、1108 种 )

12、 (2011 理 4) (1 ? 3x)n (其中n ? N且n≥6) 的展开式中 x 与x 的系数相等,则 n=( A.6 二、填空题
3 13、 (2004 理 13)若在 (1 ? ax)5 的展开式中 x 的系数为 ?80 ,则 a ? _______

B.7

C.8

D.9

14、 (2005 理 15)某轻轨列车有 4 节车厢,现有 6 位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能 的,则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0,1,2,3 的概率为 . 15、 (2007 理 15)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选 课方案有__________种.(以数字作答) 16、 (2008 理 16)某人有 4 种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多) ,要在如图 所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡 不同色, 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种 (用数字作 答). 17、 (2009 理 13)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 18、 2010 理 13) ( 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 则该队员每次罚球的命中率为_____________. 19、 (2011 理 13) 将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________。 三、解答题 20、 (2004 理 18)设一汽车在前进途中要经过 4 个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 (禁止通行) 的概率为 数,求: (1) ? 的概率的分布列及期望 E ? ; (2 ) 停车时最多已通过 3 个路口的概率
王新敞
奎屯 新疆

16 , 25

3 ,遇到红灯 4

1 假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进,? 表示停车时已经通过的路口 4
王新敞
奎屯 新疆

-2-

21、 (2005 理 18)在一次购物抽奖活动中,假设某 10 张券中有一等奖券 1 张,可获价值 50 元的奖品;有 二等奖券 3 张,每张可获价值 10 元的奖品;其余 6 张没有奖,某顾客从此 10 张券中任抽 2 张,求: (Ⅰ)该顾客中奖的概率; (Ⅱ)该顾客获得的奖品总价值 ? (元)的概率分布列和期望 E? .

22、 (2006 理 18)某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层载 有 5 位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 的人数,求: (I)随机变量 ? 的分布列; (II)随机变量 ? 的期望;

1 ,用 ? 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯 3

23、 (2007 理 18)某单位有三辆汽车参加某种事故保险.单位年初向保险公司缴纳每辆 900 元的保险金, 对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次).设这三辆 车在一年内发生此种事故的概率分别为 1/9、1/10、1/11,且各车是否发生事故相互独立.求一年内该单位 在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率; (Ⅱ)获赔金额 ? 的分布列与期望.

-3-

24、 (2008 理 18)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每 一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人 连胜两局或打满 6 局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为 (Ⅰ) 打满 3 局比赛还未停止的概率; (Ⅱ)比赛停止时已打局数 ? 的分别列与期望 E ? .

1 ,且各局胜负相互独立.求: 2

25、 (2009 理 17)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望.

-4-

26、 (2010 理 17)在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在 一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2,?,6) ,求: (Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (Ⅱ)甲、乙两单位之间的演出单位个数 ? 的分布列与期望.

27、 (2011 理 17)某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望

-5-

排列组合与概率(理)参考答案
一、选择题 1、D 2、B 二、填空题 13、-2 14、 3、A 4、C 5、B 6、B 7、C 8、D 9、D 10、C 11、C 12、B

45 128

15、25

16、216

17、36

18、

3 5

19、

11 32

三、解答题 20、解: (I) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4 用 AK 表示“汽车通过第 k 个路口时不停(遇绿灯), ”

3 (k ? 1,2,3,4), 且A1 , A2 , A3 , A4 独立. 4 1 故 P (? ? 0) ? P ( A1 ) ? , 4
则 P(AK)=

?? ? 3 1 3 ?? ? 3 1 9 P(? ? 1) ? P( A1 ? A2 ) ? ? ? P(? ? 2) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? ( )2 ? , 4 4 16 4 4 64 ?? ? 3 1 27 3 81 P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( )3 ? , P(? ? 4) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A4 ) ? ( )4 ? 4 4 256 4 256
从而 ? 有分布列:

?

0

1

2

3

4

81 256 1 3 9 27 81 525 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 4 16 64 256 256 256 81 175 ? (II) P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 4) ? 1 ? 256 256 175 答:停车时最多已通过 3 个路口的概率为 . 256
P 21、解法一: (Ⅰ) P ? I ?
2 C6 2 15 2 ? 1? ? ,即该顾客中奖的概率为 . 2 3 45 3 C10

1 4

3 16

9 64

27 256

(Ⅱ) ? 的所有可能值为:0,10,20,50,60(元).

且P(? ? 0) ? P(? ? 50) ?

C62 1 C1C1 2 C2 1 ? , P(? ? 10) ? 3 2 6 ? , P(? ? 20) ? 3 ? , 2 2 C10 3 C10 5 C10 15

1 1 C1 C6 2 C1C1 1 ? , P(? ? 60) ? 1 2 3 ? . 2 C10 15 C10 15

?

0

10

20

50

60

-6-

P 故 ? 有分布列:

1 3

2 5

1 15

2 15

1 15

从而期望 E? ? 0 ?

1 2 1 2 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 16. 3 5 15 15 15

1 1 2 (C4 C6 ? C4 ) 30 2 解法二: (Ⅰ) P ? ? ? , 2 45 3 C10

(Ⅱ) ? 的分布列求法同解法一 由于 10 张券总价值为 80 元, 即每张的平均奖品价值为 8 元, 从而抽 2 张的平均奖品价值 E? =2×8=16 元) ( . 22、解: (1) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,5。 由等可能性事件的概率公式得

25 32 ? . 35 243 C52 ? 23 80 P(? ? 2) ? ? . 35 243 C 4 ? 2 10 P(? ? 4) ? 5 5 ? 3 243 P(? ? 0) ?
从而, ? 的分布列为

1 C5 ? 24 80 . 35 243 3 C5 ? 22 40 P(? ? 3) ? ? 5 3 243 1 1 P(? ? 5) ? 5 ? 3 243

P(? ? 1) ?

?
P

0

1

2

3

4

5

32 243

80 243

80 243

40 243

10 243

1 243

(II)由(I)得 ? 的期望为

E? ? 0 ?

32 80 80 40 ?1 ? ? ? 2 ? ? 3 4 ? 243 243 243 243 405 5 ? ? 243 3

?

10 1 5? ? 243 243

23、解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ? 1,2,3 . 由题意知 A1 , A2 , A3 独立,且 P ( A1 ) ? (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

1 1 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 9 10 11

8 9 10 3 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? ? ? ? . 9 10 11 11

, , (Ⅱ) ? 的所有可能值为 0,90001800027000.
-7-

P(? ? 0) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ?

8 9 10 8 ? ? ? , 9 10 11 11

P(? ? 9000 ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 9 10 8 1 10 8 9 1 242 11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 45

P(? ? 18000 ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 ) ? P( A1 )P( A2 )P( A3 )
? 1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 . P(? ? 27000 ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? ) 9 10 11 990

综上知, ? 的分布列为

?
P 求 ? 的期望有两种解法: 解法一:由 ? 的分布列得

0

9000

18000

27000

8 11

11 45

3 110

1 990

?? ? 0 ?

29900 8 11 3 1 ? ? 2718 .18 ? 9000 ? ? 18000 ? ? 27000 ? 11 11 45 110 990

24、 解:令 Ak , Bk , Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比 赛还未停止的概率为

P( A1C2 B3 ) ? P( B1C2 A3 ) ?

1 1 1 ? ? . 23 2 3 4

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且

1 1 1 ? ? , 22 22 2 1 1 1 P(? ? 3) ? P( A1C2C3 ) ? P( B1C2C3 ) ? 3 ? 3 ? . 2 2 4 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A1C2 B3 B4 ) ? P( B1C2 A3 A4 ) ? 4 ? 4 ? . 2 2 8 1 1 1 P(? ? 5) ? P( A1C2 B3 A4 A5 ) ? P( B1C2 A3 B4 B5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 1 1 1 P(? ? 6) ? P( A1C2 B3 A4C5 ) ? P ( B1C2 A3 B4C5 ) ? 5 ? 5 ? , 2 2 16 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1 B2 ) ?
-8-

故有分布列

?
P

2

3

4

5

6

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16

从而 E? ? 2 ?

1 1 1 1 1 47 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? (局). 2 4 8 16 16 16

25、解:设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P ( Ak ) ? C k 2 ( ) k ( ) 2? k , P( Bl ) ? C l 2 ( )l ( ) 2?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P ( B0 ) ? , 4 P ( A0 ) ?

4 , P ( A2 ) ? 9 1 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? 2 P ( A1 ) ?

4 . 9 1 . 4 4 1 2 ? ? 9 2 9
.

(Ⅰ) 所求概率为 P( A2 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? (Ⅱ) 解法一:

? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A0 ? B0 ) ? P( A0 ) ? P( B0 ) ? ? ? , 9 4 36 1 1 4 1 1 P(? ? 1) ? P( A0 ? B1 ) ? P( A1 ? B0 ) ? ? ? ? ? , 9 2 9 4 6 1 1 4 1 4 1 13 P(? ? 2) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B0 ) ? ? ? ? ? ? = , 9 4 9 2 9 4 36 4 1 4 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? . 9 4 9 2 3 4 1 1 P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? . 9 4 9
综上知 ? 有分布列

?
P

0 1/36

1 1/6

2 13/36

3 1/3

4 1/9

从而, ? 的期望为 E? ? 0 ? 解法二:

1 1 13 1 1 7 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? (株) 36 6 36 3 9 3

-9-

分布列的求法同上 令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则 ?1 : B(2, ),? 2 : B(2, ) 故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ?

2 3

1 2

2 4 3 3

1 7 ? 1 从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ? 2 3

26、解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数. (Ⅰ)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数” ,则 A 表示“甲、乙的序号为偶数” ,由等可能 性事件的概率计算公式得

P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

C32 1 4 ? 1? ? . 2 5 5 C6

(Ⅱ) ? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且

P(? ? 0) ?

5 1 4 4 3 1 ? , P(? ? 1) ? 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? , 6 C2 3 C6 15 C6 5 2 2 1 1 ? , P(? ? 4) ? 2 ? . 2 C6 15 C6 15

P(? ? 3) ?

从而知 ? 有分布列

?
P
所以,

0
1 3

1
4 15

2
1 5

3
2 15

4
1 15

1 4 1 2 1 4 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 3 15 5 15 15 3
27、解:这是等可能性事件的概率计算问题.
2 (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 22 种,从而恰

有 2 人申请 A 片区房源的概率为
2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P ( A) ?

1 . 3

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

2 8 2 1 P4 (2) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

- 10 -

3 1 ? , 4 27 3 1 3 2 2 C32 (C2 C4 ? C4 C2 ) 14 C32 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? ? (或P(? ? 2) ? ? ) 27 27 34 34 P(? ? 1) ?
P(? ? 3) ?
1 2 1 C3 C4 C2 4 C 2 A3 4 ? (或P(? ? 3) ? 4 4 3 ? ). 9 9 34 3

综上知,ξ 有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

- 11 -


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