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正、余弦定理的综合应用


1.1.3 正、余弦定理的综合应用

1.熟练掌握正弦定理、余弦定理及其公式的变形公式,并 能解决一些简单的三角形度量问题.

2.能够利用已知的数量关系判定三角形的形状.

1.三角形中边与角之间的关系.

(1)在△ABC 中,若最大角C为锐角,则cosC____0,△ABC >

>锐角 为________三角形. = 直角 (2)若最大角 C 为直角,则 cosC____0,△ABC 为________

三角形. < 钝角 (3)若最大角 C 为钝角,则 cosC____0,△ABC 为________
三角形.

钝角 练习1:在△ABC中,a2+b2<c2,则△ABC为____三角形.

两 两 2.三角形中有______条边相等或______个角相等的三角形 三 三 为等腰三角形,有______条边相等或______个角相等的三角形

为等边三角形.
等腰 练习2 :在△ABC 中,已知 cosA=cosB ,则△ABC为____

三角形.

1.在三角形 ABC 中,三个角 A,B,C 之间的关系是什么?
答案:A+B+C=π. 2.在三角形 ABC 中,任意一个角的正弦值都是正值吗? 那余弦值呢?

答案:三角形 ABC 中,任意一个角的正弦值都是正值,余
弦值可以为正,可以为负,可以为零.

3.在三角形ABC 中,已知三边 a,b,c,如何解这个三角 形呢?有几组解呢? 答案:已知三边 a,b,c,应用余弦定理求其中一角(如 A),

再由余弦定理或正弦定理求另一角(如 B),再由 A+B+C=π,
求角 C,在有解时只有一解. 注意:若已知条件及所求中含三边及一角四个元素,则由 余弦定理求解或由余弦定理列出等量关系求解,可省去讨论.

题型1

正、余弦函数的综合应用

例1:在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,

且 b2+c2=a2+bc.
(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b=1,求角 B 的大小.

自主解答:(1)由题知: b2+c2-a2 bc 1 cosA= 2bc =2bc=2, π 又∠A 是△ABC 的内角,∴∠A=3. a b (2)由正弦定理:sinA=sinB, 3 1× 2 b· sinA 1 ∴sinB= a = =2. 3 π 又∵b<a,∴B<A.又∠B 是△ABC 的内角,∴∠B=6.

【变式与拓展】 1.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已 bsinB的值. 知 b2=ac,且a2-c2=ac-bc,求角 A 的大小及 c 解:∵b2=ac,且 a2-c2=ac-bc, ∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC 中,由余弦定理,得 b2+c2-a2 bc 1 cosA= 2bc =2bc=2,∴A=60° . bsinA 在△ABC 中,由正弦定理,得 sinB= a . bsinB b2sinA 3 2 ∵b =ac,A=60° ,∴ c = ac =sinA= 2 .

题型2

三角函数公式的综合应用

例 2:在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对 的边,且 3a=2csinA. (1)确定角 C 的大小; 3 (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为 2 3 ,求 a+b 的值.

自主解答:(1)由 3a=2csinA 及正弦定理,得 a 2sinA sinA 3 = = ,∵sinA≠0,∴sinC= 2 . c sinC 3 π ∵△ABC 是锐角三角形,∴C= . 3

π (2)方法一:∵c= 7,C=3.由面积公式,得 1 π 3 3 2absin3 = 2 ,即 ab=6.① π 2 2 由余弦定理,得 a +b -2abcos3=7, 即 a2+b2-ab=7.② 由②变形,得(a+b)2=25,故 a+b=5. 方法二:前同方法一,联立①②得
?a2+b2-ab=7, ? ? ?ab=6 ? ?a2+b2=13, ? ?? ? ab=6. ?

消去 b 并整理,得 a4-13a2+36=0.解得 a2=4 或 a2=9.
?a=2, ? ∴? ?b=3 ? ?a=3, ? 或? ?b=2, ?

即 a+b=5.

【变式与拓展】
2.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 b2+c2=a2+ 3bc,求: (1)A 的大小;(2)2sinBcosC-sin(B-C)的值.

解:(1)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, b2+c2-a2 3bc 3 π 故 cosA= 2bc = 2bc = 2 ,所以 A=6. (2)2sinBcosC-sin(B-C) =2sinBcosC-(sinBcosC-cosBsinC) =sinBcosC+cosBsinC 1 =sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=2.

题型3

判断三角形的形状

例3:(1)在△ABC 中,acosA=bcosB,判断△ABC 的形状; (2)在△ABC 中,bcosA=acosB,判断三角形的形状.

自主解答:(1)方法一:由余弦定理,得
?b2+c2-a2? ?a2+c2-b2? ? ? ? ? acosA=bcosB?a· =b· ? ? 2bc ? 2ac ? ? ? ? ?

?a2c2-a4-b2c2+b4=0?(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. ∴a2-b2=0 或 c2-a2-b2=0. ∴a=b 或 c2=a2+b2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

a b 方法二:设sinA=sinB=k,由 acosA=bcosB,得 ksinA· cosA=ksinBcosB. ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B 或 2A=π-2B. π ∴A=B 或 A+B=2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 , (2)方法一:由余弦定理,得b· =a· 2bc 2ac
化简,得 a2=b2.∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. 方法二:bcosA=acosB?sinBcosA=sinAcosB ?sinBcosA-sinAcosB=0. ∴sin(B-A)=0.∴A=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 根据已知条件适当选取定理,这类问题主要体 现“边角互化”的思想,一类是通过正、余弦定理全部转化为 边,另一类全部转化为角.

【变式与拓展】
c cosC 3.已知:在△ABC 中,b=cosB,则此三角形为( C )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

3 例 4:在△ABC 中,AB= 2,BC=1,cosC=4. → → (1)求 sinA 的值;(2)求BC· 的值. CA

3 7 试解:(1)在△ABC 中,由 cosC=4,得 sinC= 4 . 14 AB BC 又由正弦定理sinC=sinA,得 sinA= 8 .

(2)由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· cosC, BC· 3 3 2 得 2=b +1-2b×4,即 b -2b-1=0,
2

1 解得 b=2 或 b=-2(舍去),所以 AC=2. → CA → → CA → 所以,BC· =BC· cos〈BC· 〉 CA· =BC· CA·cos(π-C)
? 3? 3 3 → CA → ?- ?=- ,即BC· =- . =1×2× 4 2 2 ? ?

→ → 易错点评:易把角 C 看成是BC与CA的夹角.

1.正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具,正

确选择适合试题特点的公式极为重要,当使用一个定理无法解
决问题时要及时考虑另外一个定理. 2.三角函数中的公式在解三角形时是不可或缺的,应该养 成应用三角公式列式化简的习惯.


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