nbhkdz.com冰点文库

3.2 立体几何中的向量方法(一)


3.2 立体几何中的向量方法(一)
教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能 解简单的立体几何问题. 教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程: 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是: ⑴如何把已知的几何条件 (如 线段、角度等)转化为向

量表示; ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表 式; ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论? 2. 通法分析:利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢? (1)利用性质 a· a=|a|2,可以解决线段的长或两点间的距离问题.

? ? a ?b (2)利用定义 a·b=|a||b|cos<a,b>或 cos<a,b>= ? ? ,可求两个向量的数量积 a ?b
? ?
? ?

或夹角问题;

(3)利用性质 a ∥ b ? a ? kb 可以解决线段或直线的平行问题; (4)利用性质 a⊥b ? a·b=0可以解决线段或直线的垂直问题; 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用 (向量逐渐成为 解决立体几何问题的重要工具) 二、新课: P 1、用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置 ⑴点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那么空间中任意一点 P 的位 置就可以用向量 OP 来表示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. 点 P 为向量 OP 的终点。 ⑵直线: 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向 确定,点 A 是直线 l 上一点,向量 a 表示直线 l 的方向(称为方向向量) ,在直

??? ?

??? ?

??? ?

? a

B A
??? ?

?

线 l 上取 AB ? a ,那么对于直线 l 上的任一点 P ,一定存在实数 t 使得 AP ? t AB ,这样 点 A 和 a 可以确定直线 l 的位置,而且还可以确定 l 上的任意一点,此方程称为直线的向量 方程 例1 (1).已知两点 A( 1 , ? 2,) 3 ,( B 2, 1, ?3 ),,求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.

??? ?

?

??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? 由OC ?( 1 ? t) OA ? tOB得 (0, y1 , z1 )?( 1 ? t) (1, ?2, 3) ? t (2,1, ?3) ? ( 0, y1 , z1 )? (1 ? t, ? 2 ? 3t, 3 ? 6t) ??? ? ? OC ?(0, ? 5, 9 )

1

12/4/2015

(, 1 2, 3 ),( B 2, 1, 2 ),(, P 1 1, 2 ) (2) .已知两点 A ,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA ? QB 取得最小值
时,点 Q 的坐标. 解:设 OQ ? ? OP ? (? ? ? ? ?? ) ∴ QA ? QB ? 6? ? ? 16? ??? , ∴当 ? ?

??? ???

???

??? ?

?? ? ?? ?

??? ??? ? 时, QA ? QB 取得最小值, ?

此时 Q( ,

4 4 8 , ) 3 3 3

⑶平面: ①空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两条相交直线来确定. 设这两条直线交于 O 点且它们的 方向向量分别为 a, b ,P 为平面 ? 上的任意一点,由平面向量基本定理知,存在有序实数对 ,这样,点 O 和向量 a, b 就能确定平面 ? 的位置。 ? x, y ? 使得 OP ? xa ? yb , ②除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的 位置. 平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于 平面 ? ,记作 n ⊥ ? ,如果 n ⊥ ? ,那 么 向 量 n 叫做平面 ? 的法向量. 给定一点 A 和一个向量 n ,那么过点 A,以向量 n 为法向量的平面是完全确定的. 所以,一点一向量可以确定一平面。 几点注意: 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n 是平面的法向量,向量 m 是与平面平行或在平面内,则有 n ? m ? 0 法向量的求法 例 2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平面 ACD1 的法向量 证:设正方体棱长为 1, 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz

? ?

??? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

??

? ??

???? ?

??? ? ???? ???? ?

???? ? ??? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) ,

2

12/4/2015

???? ? AD1 ? (?1,0,1) ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC ,
同理 DB1 ? AD1

???? ?

???? ?

又因为 AD1 ? AC ? A

所以 DB1 ? 平面 ACD ,从而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量. 练习.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向 量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) ∴?

???? ?

???? ?

?

?

??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 即? ?( x, y, z ) ? ( ?3,0, 2) ? 0 ? ?3 x ? 2z ? 0

3 ? y? x ? ? ? 4 ∴? 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6) ?z ? 3 x ? ? 2
∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量. 注:求平面的法向量的步骤 ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

?

?

?

?

? ? ? ?n ? a ? 0 ⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程组 ? ? ? ? ?n ? b ? 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 2、用直线的方向向量和平面的法向量表示空间线线、线面和面面的平行或垂直关系: 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置, 所以我们应该可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向 向量表示空间两直线平行、 垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗?你能用平面的法向量表 示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;

? ?

? ?

?

?

?

?

3

12/4/2015

线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv . 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合. 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ; 线面垂直
?

?

?

? ?

?

?

?

?

? n ?

b
? a

P

O

?

?

? ?

? ? ? ? l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0. 而且,若 u ? ? a1 , b1 , c1 ? , v ? ? a2 , b2 , c2 ? ,则 u ? v ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0

?

?

? ?

例 3 正方体 ABCD ? A 点 E, F 分别是 BB1 , CD 的中点, 求证:D1F ? 平面ADE 1B 1C1D 1 中, 证明:不妨设已知正方体的棱长为 1 个单位长度,设 DA ? i , DC ? j , DD1 ? k , 分别以 i, j , k 为坐标向量建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 AD ? (?1,0,0) , D1 F ? (0,

??? ? ?

????

?

???? ?

?

?? ?

??? ?

???? ?

???? ???? ? 1 AD ? D1 F ? (?1, 0, 0) ? (0, , ?1) ? 0 , 2
∴ D1F ? AD ,

1 , ?1) , 2

又 AE ? (0,1, ) , AE ? D1 F ? (0,1, ) ? (0, , ?1) ? 0 , ∴ D1F ? AE , AD ? AE ? A , 所以, D1 F ? 平面 ADE .

??? ?

1 2

??? ? ???? ?

1 2

1 2

三、课堂小结: 1、用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置 2、平面的法向量 3、用直线的方向向量和平面的法向量表示空间线线、线面和面面的平行或垂直关系:

4

12/4/2015

课堂练习 1:在空间直角坐标系中,已知 A(0, 2, 3), B (? 2,1, 6), C (1, ?1, 5) ,试求平面 ABC 的一个法向量. (1,1,1) 2.已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位法向量.

??? ?

??? ?

1 2 2 1 2 2 ( , ? ,) ? ) 或 (? , , 3 3 3 3 3 3

5

12/4/2015


【教案】3.2立体几何中的向量方法

【教案】3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2.2 向量法解决...2、直线与平面所成角的定义及范围? 3、二面角定义及范围? (和学生一起回忆...

3.2立体几何中的向量方法(一)

3.2 立体几何中的向量方法(一) 1.若 A(1,-2,3),B(2,5,6)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为 A.(1,-2,3) B.(2,5,6) C.(1,7,3)...

3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。主备人:汪相 课题(专题)...B α C D β A 提出疑惑 二 互动展示知识点一 用向量方法判定线面位置关系...

3.2立体几何中的向量方法(1)

3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。3.2 立体几何中的向量...(3)给一个定点和两个定方向(向量) ,能确定一个平面在空间的位置吗? 1 (4...

3.2 立体几何中的向量方法(一)

3.2 立体几何中的向量方法(一)_数学_高中教育_教育专区。立体几何中的向量方法 3.2 立体几何中的向量方法(一) 教学要求:向量运算在几何证明与计算中的应用....

3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法_数学_高中教育_教育专区。3.2 立体几何中的向量方法...的法向量 ,点Po 是平面 ?外一点,. P 是平面α 内任一点,则 PO 到平面...

3.2立体几何中的向量方法(2)

3.2立体几何中的向量方法(2)_数学_高中教育_教育专区。导学案 沾化区第一中学高二数学导学案 编制人: 王伟芳 审核人: 张延红 使用时间: 2015.10. §3.2 ...

3.2立体几何中的向量方法(1)

3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。§3.2 立体几何中的向量方法(1)学校___班级 一、选择题 1 ? 1.若平面 α、β 的法向量分别为 a...

3.2立体几何中的向量方法(1)

3.2立体几何中的向量方法(1)_数学_高中教育_教育专区。普通高中课程标准实验教科...m 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向...