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2009年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)


2009 年全国高中数学联合竞赛试题 (第一试)
一、 填空题 (每小题 7 分, 共 56 分)
x ? ,且 f (n) (x) = ? 1. 若函数 f (x) = ? f? ( f? (? f (x) ? )) . 则 f (99) (1) = ? ? ?1 + x 2 n个 .

2. 已知直线 l : x + y - 9 = 0

和⊙ M : 2x2 + 2y2 - 8x - 8y - 1 = 0,点 A 在 l 上, B 、 C 为⊙ M 上的两点 . 在 △ ABC 中, ∠ BAC = 45°, AB 过圆心 M . 则点 A 的横坐标范围为 . y≥0 ? ? 3. 在坐标平面上有两个区域 M 、 N , M 为 ? y≤x , N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ≤ x ≤ t + 1 所 ? ? y≤2-x 确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1. 则 M 和 N 的公共部分的面积是函数 f (x) = . 1 1 1 1 4. 使不等式 ? + ? + ? + ? < a - 2007 ? 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 a 的值 n+1 n+2 2n + 1 3 为 . 2 2 y x 5. 椭圆 ? +? = 1 ( a > b > 0 )上任意两点 P 、 Q,若 OP ⊥ OQ,则 ? OP ? ? ? OQ ? 的最小值为 . a2 b2 6. 若方程 lg kx = 2lg ( x + 1 )仅有一个实根,则 k 的取值范围是 . 7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和 ,最后一 行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行 . 则最后一行的数是 数表示) . 8. 某车站每天早上 8 : 00 ? 9 : 00、 9 : 00 ? 10 : 00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者 到站的时间是相互独立的,其规律见下表 . 一旅客 8 : 20 到站 . 则他候车时间的数学期望为 (精确到分) . 到站时刻 概 率 8 : 10 ? 9 : 10 1 ? 6 8 : 30 ? 9 : 30 1 ? 2 8 : 50 ? 9 : 50 1 ? 3 (可以用指

二、 解答题 (共 44 分)
y2 x2 x2 9. ( 14 分 ) 设直线 l : y = kx + m ( k 、 m ∈ Z ) 与椭圆 ? + ? = 1 交于不同的两点 A 、 B, 与双曲线 ? 16 12 ?? 4 ? ?? ? y2 ? = 1 交于不同的两点 C 、 D. 问: 是否存在直线 l,使得向量 AC + BD = 0?若存在,指出这样的直线 12 有多少条;若不存在,请说明理由 . 10. ( 15 分)已知 p 、 q ( q ≠ 0 )是实数,方程 x2 - px + q = 0 有两个实根 α 、 β,数列{an }满足 a1 = p, a2 = p2 - q, an = pan-1 - qan-2 ( n = 3, 4, ? ) . (1)求数列{an}的通项公式 (用 α、 β 表示) ; 1 (2)若 p = 1, q = ? ,求{an}的前 n 项和 . 4 ? ? ? 11. ( 15 分)求函数 y = ?x + 27 + ?13 - x + ?x 的最大值和最小值 .


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