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《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》教案10(新人教A版必修4)正切函数的图象和性质


正切函数的图象和性质
(一)教材分析: 学习正切函数的图象和性质,主要包括:定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等, 以及具体的应用。 (二)素质教育目标: 1. 知识目标: (1)用单位圆中的正切线作正切函数的图象; (2)用正切函数图象解决函数有关的性质; 2. 能力目标: (1)理解并掌握作正切函数图象的方法; (2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 3.

德育目标:培养研究探索问题的能力; (三)教学三点解析: 1. 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 2. 教学难点:性质的研究; 3. 教学疑点:正切函数在每个单调区间是增函数,并非整个定义域内的增函数; (四)教学过程设计 1.设置情境 前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,但常见的三角函数还有正切函数,今天 我们来探讨一下正切函数的图象,以及它具有哪些性质。 2.探索研究 由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。 下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 y ? tan x 图象. (1)用正切线作正切函数图象 1 分析一下正切函数 y ? tan x 是否为周期函数? ○

f (x ? ? ) ?

t a x? n?( ?

s i n x? (? ? ) ) ? c ox s? (? ? )

xs i n ? x? t f a xn xc o s

( )

∴ y ? tan x 是周期函数, ? 是它的一个周期. 我们还可以证明,? 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一 个周期上的图象,下面我们利用正切线画出函数 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象. ? 2 2?

作法如下: ①作直角坐标系,并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.

②把单位圆右半圆分成 8 等份,分别在单位圆中作出正切线. ③描点。 (横坐标是一个周期的 8 等分点,纵坐标是相应的正切线). ④连线.

图1

根据正切函数的周期性,我们可以把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x ,

( x ? R , x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 的图象,并把它叫做正切曲线(如图 1).

图2

(2)正切函数的性质 请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单 调性. ①定义域: ? x | x ? k? ? ②值域: R

? ?

?

? ,k ?Z? 2 ?

③周期性:正切函数是周期函数,周期是 ? . ④奇偶性: tan(? x) ? ? tan x ,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点 O 对称. ⑤单调性:由正切曲线图象可知:正切函数在开区间 (? 增函数. 强调:a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 b.正切函数在每个单调区间内都是增函数 c. 每个单调区间都包括两个象限:四、一或二、三 3.例题分析 【例 1】求函数 y ? tan( x ?

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), k ? Z 内都是

?
4

) 的定义域.

分析:我们已经知道了 y ? tan z 的定义域,那么 y ? tan( x ? 系呢?令 z ? x ?

?
4

) 与 y ? tan z 有什么关

?
4

,我们把 y ? tan( x ?

?
4

) 说成由 y ? tan z 和 z ? x ?

?
4

复合而成。此时

我们称 y ? tan( x ?

?
4

) 为复合函数,而把 y ? tan z 和 z ? x ?

?
4

为简单函数

解:令 z ? x ?

?
4

,那么函数 y ? tan z 的定义域是 ? z | z ?

? ?

?

? ? k? , k ? Z ? 2 ?



x?

?
4

? z ? k? ?

?
2

,可得

x ? k? ?

?
4

所以函数 y ? tan( x ?

?
4

) 的定义域是 {x | x ? k? ?

?
4

, k ? Z}

解题回顾:这种解法可称为换元法,因此复合函数可通过换元法来求得。 练习 1:求函数 y ? tan( 2 x ?

?
4

) 的定义域。(学生板演。)

【例 2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:

(1) (2) tan( ?





11? 13? ) 与 tan( ? ) . 4 5

分析:比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。 比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应 的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决.类比得到比较两个正切函数值的大 小的解法 解:(1)? 90 ? 167 ? 173 ? 180
? ? ? ?



∵ y ? tan x ,在 (90? , 270? ) 上是增函数
? ?

∴ tan167 ? tan173 (2)∵ tan( ?

11? 11? ? ) ? ? tan ? = tan 4 4 4

tan( ?

13? 13? 2? ) ? ? tan ?t an 5 5 5



∵0<

? 2? ? ? ? ?? < < ,函数 y ? tan x , x ? ? ? , ? 是增函数, 5 4 2 ? 2 2?
2? 11? 13? ) ? tan(? ) . 即 tan(? 5 4 5



tan

?
4

< tan

解题回顾:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到 y ? tan x 的同一 单调区间内,利用 y ? tan x 的单调递增性来解决. 练习 2:比较大小:

(1) tan138? _____tan143?
(2) tan( ?

(学生口答)(<)

13 17 ? ) _____ tan( ? ? ) (学生板演)(>) 4 5

【例 3】求 f ( x) ? tan2 x 的周期

3.总结提炼 (1)这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质 (2)正切函数的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得一个周期上图象后,再利 用周期性把该段图象向左右延伸、平移。 (3)正切函数的性质. 4.布置作业:作业:苏大资料“12.正切函数的图象与性质”.


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