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3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


3.2.2基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则

可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f

( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1: (C ) ' ? 0; 公式2 : ( x n ) ' ? nx n ?1 ; 公式3 : (sin x) ' ? cos x; 公式4 : (cos x) ' ? ? sin x; 公式5 : (a x ) ' ? a x ln a(a ? 0); 公式6 : (e x ) ' ? e x ; 1 公式7 : (log a x) ' ? (a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8 : (ln x) ' ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:

? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函 数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平 方.即: ?

? f ( x) ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

由法则2:

?C ? f ( x)?? ? C ' f ( x) ? C ? f ?( x) ? C ? f ?( x)

例1:假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 (单位:元)与时间t(单位:年)有如下关系: p p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t .其中p0为t ? 0时的物价。假定某种商品 的p0 ? 1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度 大约是多少?(精确到0.01)

解:由导数公式:p '(t ) ? 1.05t p0 ln1.05
? p '(10) ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08(元/年)

答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。

思考:若某种商品的p0 ? 5,那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少? p '(t ) ? 1.05t p0 ln1.05, ? p '(10) ? 5 ? 0.08 ? 0.4

例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯 净度的提高,所需净化费用不断增加。已知1吨水净化 到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为: 5284 c(x)= (80 ? x ? 100). 100 ? x 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率; (1)90%; (2)98%.

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。 5284 5284'? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x) ' c '( x)=( )' ? 100 ? x (100 ? x)2 0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2

5284 c '( x) ? 2 (100 ? x) 5284 (1) ? c '(90) ? ? 52.84 2 (100 ? 90)
?纯净度为90%时,净化费用的瞬时变化率 是52.84元/吨。

5284 (2) ? c '(98) ? ? 1321 2 (100 ? 98)
?纯净度为98%时,净化费用的瞬时变化率 是1321元/吨。

题型一:导数公式及导数运算法则的应用
例2:求下列函数的导数:

(1) y ? x ? 2 x ? 3 1 2 (2) y ? ? 2 ; x x x (3) y ? ; 2 1? x (4) y ? tan x;
3

答案: (1) y? ? 3x2 ? 2;
1 4 ? 3; 2 x x 1 ? x2 (3) y? ? ; 2 2 (1 ? x ) (2) y? ? ?

(5) y ? (2 x ? 3) 1 ? x ; 1 (6) y ? 4 ; x (7) y ? x x ;
2 2

1 (4) y? ? ; 2 cos x 6 x3 ? x (5) y? ? ; 1 ? x2
(6) y? ? ? (7) y? ? 4 ; 5 x

3 x; 2

练习: 求下列函数的导数: 5 3 2 2 (1)y=x -3x -5x +6; (2)y=(2x +3)(3x-2); x-1 (3)y= ; (4)y=x· tanx. x+1

解:(1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′ =(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′ =5x4-9x2-10x. 解:(2)法一:y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)· 3 =18x2-8x+9. 法二:∵y=(2x2+3)· (3x-2)=6x3-4x2+9x-6,
∴y′=18x2-8x+9.

x-1 (3)y= ; x+1

x-1 解:(3)法一:y′=( )′ x+1 ?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ = ?x+1?2 2 ?x+1?-?x-1? = 2. = 2 ?x+1? ?x+1? 2 x-1 x+1-2 =1- , 法二:∵y= = x+1 x+1 x+1 2 ∴y′=(1- )′=(- 2 )′ x+1 x+1 2 2′?x+1?-2?x+1?′ = 2. =- 2 ?x+1? ?x+1?

(4)y=x· x. tan
xsin x 解:(4)y′=(x· x)′=( tan )′ cos x ?xsin x?′cos x-xsin x?cos x?′ = cos2x
?sin x+xcos x?cos x+xsin x = cos2x
2

sin xcos x+x = . cos2x

练习:求下列函数的导数 x+3 1 1 2 x (1)y=x(x + + 3); (2)y=e sin x; (3)y= 2 . x x x +3 1 1 1 2 3 解:(1)∵y=x(x + + 3)=x +1+ 2, ∴y′=3x2- 23. x x x x
(2)y′=(exsin x)′=(ex)′sin x+ex(sin x)′

=exsin x+excos x

=ex(sin x+cos x).

x+3 ?x+3?′?x2+3?-?x+3??x2+3?′ (3)y′=( 2 )′= x +3 ?x2+3?2

x2+3-?x+3?×2x = ?x2+3?2

-x2-6x+3 = . 2 2 ?x +3?

题型二:导数的综合应用
例 4:已知直线 l1 为曲线 y=x +x-2 在点(1,0)处的切线, l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积.
2

解:(1)y′=2x+1. ∴直线 l1 的方程为 y=3x-3.
设直线 l2 过曲线 y=x +x-2 上的点 B(b,b +b-2),
2 2

则 l2 的方程为 y=(2b+1)x-b -2.
1 2 因为 l1⊥l2, 则有 2b+1=- ,b=- . 3 3 1 22 所以直线 l2 的方程为 y=- x- . 3 9

2

? (2)解方程组? 1 22 ?y=-3x- 9 , ?

?y=3x-3,

得?

1 ?x= , ? 6 5 ?y=-2 ?

.

1 5 所以直线 l1 和 l2 的交点坐标为 ( ,- ). 6 2
22 l1、l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(- ,0). 3
1 25 5 125 所以所求三角形的面积为 S= × ×|- |= . 2 3 2 12

练习:点 P 是曲线 y=e 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
解:根据题意设平行于直线 y=x 的直线与曲线 x y=e 相切于点(x0,y0),该切点即为与 y=x 距离最近的点,如图.
则在点(x0,y0)处的切线斜率为 1,
即 y′|x=x0=1.
x x ∴ex0=1,得 x0=0, ∵y′=(e )′=e ,

x

代入 y0=e ,得 y0=1, 即 P(0,1).

x0

2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2

例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1 4 t 4


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