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湖南省长沙县实验中学、汝城县第一中学2014届高三11月联考数学(理)试题 Word版含答案


长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人:曾福旺 审题人:张 旭
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、 数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将

所选答案填在答题卡对应位置。 1. 已知集合 A={1, 2, a-1}, B={0, 3, a2+1}, 若 A? B ?{ 则实数 a 的值为 ( ) 2 } , A.0 B.± 1 C.-1 D.1 2. A ? {x || x ? 1|? 1, x ? R}, B ? {x | log 2 x ? 1, x ? R}, 则 “x∈A”是“x∈B”的( A.充分非必要条件 非必要条件 3.已知 {a n } 是等比数列,对任意 n ? N *, an ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? 36, ,则 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 )

D .既非充分也

a2 ? a5 等于(
A.36

) B.± 6 C.-6 D.6

?x ? 1 ? 4.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于( ?y ? x ?
A.9 B.5 C.3



D.2 C B

5.如图,平面内的两个单位向量 OA, OB ,它们的夹角是 60° , OC 与 OA 、

OB 向量的夹角都为 30? ,且| OC |= 2 3 ,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? ? ?
值为( A.2 ) B.4 C. 2 3 D. 4 3

O

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,正视图和俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为 ( ) A. 2 3 C.4 B. 3 D.2

A 第 5 题图

7. 已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 1 , 且 an , an ?1 是函数 f ( x) ? x ? bn x ? 2 的两个零点, 则 b10
2 n

等于( A.24

) B.32 C.48 D.64

8.若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象 上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则称 P, Q 是一个“和谐点对”。函数 y ? 函数 y ? 2sin πx( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是( A.4 B.6 C .8 ) D.10
1 1? x

的图象与

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分(第 14、15 题第一空 2 分,第二空 3 分) ,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.复数
4+3i 1+2i
a 1

的虚部是



10.若

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 x
2



11 . 若 关 于 x 的 不 等 式 m ? x ? 1? ? x ? x 的 解 集 为 x 1 ? x ? 2 , 则 实 数 m 的 值 为 。
2

?

?

12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ??) ,则 为 。

c?2 a?2 的最小值 ? a c

13.在平面几何里有射影定理:设△ ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB2=BD· BC.拓展到空间,在四面体 A—BCD 中,DA⊥面 ABC,点 O 是 A 在面 BCD 内 的射影,且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,△ ABC,△ BOC,△ BDC 三者面 积之间关系为 .

14. 定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:(1) 2*2014 ? 1 ;(2) (2n ? 2)*2014 ?

3 ? [(2n)*2014] ,则 2012*2014 ?
15.若函数 y ? f ( x), x ? D 同时满足下列条件, (1)在 D 内为单调函数; (2)存在实数 m ,

n . 当 x ? [m, n] 时 , y ? [m, n] , 则 称 此 函 数 为 D 内 的 等 射 函 数 , 设
f ( x) ? ax ? a ? 3 (a ? 0, 且a ? 1) 则: ln a
(填增函数或减函数);(2)当 f ( x) 为 R 内的等 .

(1) f ( x) 在(-∞,+∞)的单调性为 射函数时, a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ ABC 的面积 S 满足 S ?

3 bc cos A 。 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, 用 x 表示 c ,并求 c 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)已知 x=1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e (a ? R) 的一个极值点,
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ? [0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 , ACC1 A1 均为 正方形,∠ BAC = 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: A1 D ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面 A1 DC ; (Ⅲ)求二面角 D ? A1C ? A 的余弦值.
?

19.(本小题满分 13 分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查 研 究 后 , 发 现 一 天 中 环 境 综 合 放 射 性 污 染 指 数 f ( x) 与 时 刻 x 的 关 系 为

f ( x) ?

x 2 1 ? a ? 2a ? , x ? [0, 24] ,其中 a 是与气象有关的参数,且 a ? [0, ] ,若用 x ?1 3 2
2

每天 f ( x) 的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a) 。 (Ⅰ)令 t ?

x , x ? [0, 24] ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

20. (本小题满分 13 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ? an ?1 ? 4n, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和.数列 {bn } 前 n 项的积为 Tn ,且 Tn ? 2
n ( n ?1) 2

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在常数 a,使得 {S n ? a} 成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理 由; (Ⅲ)是否存在 m ? N * ,满足对任意自然数 n ? m 时, bn 出 m 的值;若不存在,说明理由。

? Sn 恒成立,若存在,求

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ?

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3 3 ( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P, 且点 P 关于直线 x ? 的对称点在 y ? f ( x) 的图 2
(Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x ? 1) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G ( x) ? ?

象上,求 m 的值;

? f ( x), x ? 2 ,曲线 y ? G( x) 上是否存在两点 P、Q,使 ? g ( x), x ? 2

△ OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

汝城县第一中学 2014 届高三年级十一月份联考理科数学 长沙县实验中学
长沙县实验中学高三数学备课组组稿 命题人:曾福旺 审题人:张 旭
时量:120 分钟 满分:150 分 (考试范围:集合与常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、解三角形、平面向量、 数系的扩充与复数的引入、数列、不等式、推理与证明、立体几何) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡对应位置。 1. 已知集合 A={1, 2, a-1}, B={0, 3, a2+1}, 若 A? B ?{ 则实数 a 的值为 ( C ) 2 } , A.0 B.± 1 C.-1 D.1 2. A ? {x || x ? 1|? 1, x ? R}, B ? {x | log 2 x ? 1, x ? R}, 则 “x∈A”是“x∈B”的( B ) A.充分非必要条件 非必要条件 3.已知 {a n } 是等比数列,对任意 n ? N *, an ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? 36, ,则 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D .既非充分也

a2 ? a5 等于( D )
A.36 B.± 6 C.-6 D.6

?x ? 1 ? 4.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于( C ) ?y ? x ?
A.9 B.5 C.3 D.2 C B

5.如图,平面内的两个单位向量 OA, OB ,它们的夹角是 60° , OC 与 OA 、

OB 向量的夹角都为 30? ,且| OC |= 2 3 ,若 OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? ? ?
值为( B ) A.2 B.4 C. 2 3 D. 4 3

O

6.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,正视图和俯视图如图所示, 则其侧视图的面积为 ( A ) A. 2 3 C.4 B. 3 D.2

A 第 5 题图

7. 已知数列 {an },{bn } 满足 a1 ? 1 , 且 an , an ?1

b x? 2 的 两 个 零 是 函 数 f ( x) ? x ? n
2 n

第 6 题图

点,则 b10 等于(D) A.24 B.32 C.48 D.64

8.若直角坐标系中有两点 P, Q 满足条件: (1) P, Q 分别在函数 y ? f ( x ) 、 y ? g ( x ) 的图象 上, (2) P, Q 关于点(1,0)对称,则称 P, Q 是一个“和谐点对”。函数 y ? 函数 y ? 2sin πx( ?2 ? x ? 4) 的图象中“和谐点对”的个数是( A ) A.4 B.6 C .8 D.10
1 1? x

的图象与

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分(第 14、15 题第一空 2 分,第二空 3 分) ,共 35 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 9.复数
4+3i 1+2i
a 1

的虚部是 -1 。

10.若

?

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 2 x
2



11.若关于 x 的不等式 m ? x ? 1? ? x ? x 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,则实数 m 的值为 2 。 12.已知二次函数 f ( x) ? ax ? x ? c( x ? R) 的值域为 [0, ??) ,则
2

?

?

c?2 a?2 的最小值 ? a c

为 10 。 13.在平面几何里有射影定理:设△ ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影,则 AB2=BD· BC.拓展到空间,在四面体 A—BCD 中,DA⊥面 ABC,点 O 是 A 在面 BCD 内 的射影,且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,△ ABC,△ BOC,△ BDC 三者面 积之间关系为
2 S? A B C? S ? OBC ?

? S

. D BC

14. 定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质:(1) 2*2014 ? 1 ;(2) (2n ? 2)*2014 ?

3 ? [(2n)*2014] ,则 2012*2014 ? 31005
15.若函数 y ? f ( x), x ? D 同时满足下列条件, (1)在 D 内为单调函数; (2)存在实数 m ,

n . 当 x ? [m, n] 时 , y ? [m, n] , 则 称 此 函 数 为 D 内 的 等 射 函 数 , 设
ax ? a ? 3 f ( x) ? (a ? 0, 且a ? 1) 则: ln a
(1) f ( x) 在(-∞,+∞)的单调性为 增函数 函数时, a 的取值范围是 (0,1) ? (1,2) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (填增函数或减函数);(2)当 f ( x) 为 R 内的等射

16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,△ ABC 的面积 S 满足 S ?

3 bc cos A 。 (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 3 ,设角 B 的大小为 x, 2

用 x 表示 c ,并求 c 的取值范围. 解 : ( 1 ) 在

?ABC







S?

3 2

1 b c c o s ? A b sc i n , A 得 2

t aA ? n

3 ………………………… 3分
∴A? 由

∵0? A?? ( 2 )

?
3

………………………………5 分

a ? 3, A ?

?
3















a c ? ? sin A sin C

3 ? 2 ,………………………………7 分 3 2

∴ c ? 2sin C ? 2sin(? ? A ? B) ? 2sin( ……9 分 ∵ ∴0 ?

2? ? x) ………………………………………… 3
2? 3

A?

?
3



0? x?

2? 2? ………………………………………10 分 ?x? 3 3 2? 2? ∴ , 0 ? sin( ? x) ? 1 0 ? 2sin( ? x) ? 2 3 3
……………………………12 分





c?(

0

,

2

]

17. (本小题满分 12 分)已知 x=1 是函数 f ( x) ? (ax ? 2)e (a ? R) 的一个极值点,
x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)当 x1 , x2 ? [0, 2] 时,证明: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

18. (本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A1 , ACC1 A1 均为 正方形,∠ BAC = 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证: A1 D ⊥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: AB1 // 平面 A1 DC ; (Ⅲ)求二面角 D ? A1C ? A 的余弦值. (Ⅰ)证明:因为侧面 ABB1 A1 , ACC1 A1 均为正方形, 所以 AA1 ? AC , AA1 ? AB , 所 以 柱.
?

AA1 ?

平 面

ABC

, 三 棱 柱

A B ? C1

1

A 是 C 三 棱 1B 直

………………………1 分 因为 A1 D ? 平面 A1 B1C1 ,所以 CC1 ? A1 D , 又因为 A1 B1 ? A1C1 , D 为 B1C1 中点, 所以 A1 D ? B1C1 . 因为 CC1 ? B1C1 ? C1 , 所以 A1 D ? 平面 BB1C1C . …………………4 分 y C A x O B ………………………3 分 C11 ……2 分 z D A1 B1

(Ⅱ)证明:连结 AC1 ,交 A1C 于点 O ,连结 OD , 因为 ACC1 A1 为正方形,所以 O 为 AC1 中点, 又 D 为 B1C1 中点,所以 OD 为 ?AB1C1 中位线, 所以 AB1 // OD , …………………6 分

因为 OD ? 平面 A1 DC , AB1 ? 平面 A1 DC ,

所以 AB1 // 平面 A1 DC .

……………………8 分
?

(Ⅲ)解: 因为侧面 ABB1 A1 , ACC1 A1 均为正方形, ?BAC ? 90 , 所以 AB, AC , AA1 两两互相垂直,如图所示建立直角坐标系 A ? xyz . 设 AB ? 1,则 C (0,1 , 0), B(1, 0, 0), A1 (0, 0,1), D( , ,1) .

???? ? 1 1 ???? A1D ? ( , , 0), A1C ? (0,1 , ? 1) , 2 2
………9 分 设平面 A1 DC 的法向量为,则有 取,得.

1 1 2 2

…………………………

…………………………10 分

又因为平面,所以平面的法向量为, 设二面角的平面角为,则 ∴ …………………11 分 所以,二面角的余弦值为. …………………………………12 分 19.(本小题满分 13 分)湖南省环保研究所对长沙市中心每天环境放射性污染情况进行调查 研究后, 发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻 x 的关系为, 其中 a 是与气象有关的参 数,且,若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作。 (Ⅰ)令,求 t 的取值范围; (Ⅱ)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

20. (本小题满分 13 分)已知数列满足:是数列的前 n 项和.数列前 n 项的积为,且 (Ⅰ)求数列,的通项公式; (Ⅱ)是否存在常数 a,使得成等差数列?若存在,求出 a,若不存在,说明理由; (Ⅲ)是否存在,满足对任意自然数时,恒成立,若存在,求出 m 的值;若不存在,说 明理由。 解: (Ⅰ)由题知,∴,∴ 即数列隔项成等差数列, …………………………1 分 又 ∴当 n 为奇数时, , 当 n 为偶数时, …………………………2 分 ∴对一切 ……………………………………………………3 分 又,当时,且时满足上式, ∴对一切 ……………………………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,数列成等差数列,∴ ∴…………………7 分 若存在常数 a,使得成等差数列,则在时恒成立 即 ∴不存在常数 a 使数列成等差数列 …………………………9 分 (Ⅲ) (3)存在 m=4 使得当时,恒成立, 即当时, ,下面用用数学归纳法证明:略………………………13 分 21. (本小题满分 13 分)设函数,其中. ( I )若函数图象恒过定点 P,且点 P 关于直线的对称点在的图象上,求 m 的值; (Ⅱ)当时,设,讨论的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线上是否存在两点 P、Q,使△ OPQ(O 为原点)是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且斜边的中点在 y 轴上?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在, 说明理由. 解:( I ) 令,则,即函数图象恒过定点 P (2,0) ………………(1 分) ∴P (2,0)关于直线的对称点为(1,0) ………………………………(2 分) 又点(1,0)在的图象上,∴,∴…………………(3 分) (Ⅱ) ∵且定义域为………………………(4 分) ∴…………………(5 分) ∵x>0,则 x+1>0 ∴当 m≥0 时,此时在(0,+∞)上为增函数。………………………(6 分) 当 m<0 时,由得,由得 ∴在上为增函数,在上为减函数。………………………(7 分) 综上,当 m≥0 时,在(0,+∞)上为增函数。 当 m<0 时,在上为增函数,在上为减函数。………………(8 分)


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