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浙江省杭州市学军中学2014届高三(高考模拟)数学(文)试题


学军中学 2014 届高考适应性考试数学文科试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷满分 1 50 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中

发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 k n-k 的概率 Pn(k)= C k (k=0,1,2,?,n) n p (1-p) 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

一、选择题(大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求 的.) 1.已知复数 z ? A.l

1 ? 3i ,则 z 的实部为( 1? i
B.2

) C . -2 D. -1

2.设全集 U ? R ,集合 M ? {x | ?2 ? x ? 1}, N ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 N ? (CU M ) 等于( ) B. {x | 1 ? x ? 3} C. {x | ?2 ? x ? 0}

A. {x | 0 ? x ? 1}

{x | x ? ?2或x ? 3} D.

3.设 a, b ? R , 则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的( ) A.充分不必要条 件 B.必要不充分条件 C.充要 条件 D.既不充分也不必 要条件 ?, 4. 已知m , 则下列命题正确的是 ( ?, n 是两条不同的直线, ? 为三个不同的平面, A.若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ∥ ? ; B.若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ? ; C.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ; D.若 m ∥ n , m ⊥ ? , n ⊥ ? ,则 ? ∥ ? . 5.设向量 a ? ? sin ? ,cos 2? ? , b ? ?1 ? 2sin ? , ?1? , ? ? ? 的值为( A. ? ) B. ? D. )



? ? 3? , ?2 2

8 ? 则 tan? ?,若a ? b ? ? , 5 ?

4 3 C. 3 4 x ?x 6.函数 y ? (e ? e ) ? sin x 的图象大致是(

3 4

4 3

7.把函数 y ? sin( 2 x ?

? ? ) 的图象向右平移 个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到 6 3


原来的 2 倍,则所得图象对应的函数解析式是( A. y ? sin x B. y ? sin 4 x

C. y ? sin( 4 x ?

8 .若规定 E= ?a1 , a2 ...a10 ? 的子集 ak1 , ak2 ...akn ( 1 ? n ? 10 )为 E 的 k 级子集,其中

k = 2 k1 ?1 + 2 k2 ?1 +? + 2 kn ?1 ,那么集合 ? a1,a2,a5,a7,a8
B.23
2 2

?

?

? ) 3

D. y ? sin( x ?

? ) 6

?将是 E 的 M 级子集,则 M
D. 522

为( ) A.18 9. 已知双曲线

C.211

x y ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均与圆 C:x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相 2 a b
) B.

切,则该双曲线离心率等于( A.

3 2

6 2

C.

3 5 5

D.

5 5

10.已知函数 f ( x) ? ?

? 1? | x ? 1|, x ?[?2,0] ,若方程 f ( x) ? x ? a 在区间 [?2, 4] 内有 3 个 ?2 f ( x ? 2), x ? (0, ??)
( )

不等实根,则实数 a 的取值范围是

{a | ?2 ? a ? 0} A.

{a | ?2 ? a ? 0} B.

C .{a | ?2 ? a ? 0 或 1 ? a ? 2}

D. ?a | ?2 ? a ? 0 或 a ? 1}

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 某四棱台的三视图如图所 示,则该四棱台的体积是
1
2 2

正视图

侧视图

1
1
俯视图 第 5 题图

12.按右上图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k =

13.2014 年“五一”期间,高速公路车辆较多。某调查公 司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每 间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名 驾驶员进行询 问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段: 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到 引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。后得到如图 5 的频率分布直 方图。 若从车速在错误!未找到引用源。的车辆中任抽取 2 辆,则车速在错误!未找到引用源。 的车辆至少有一辆的概率

? 3x ? y ? 0 ? ? 14.已知点 A(3, 3) ,O 为坐标原点,点 P( x, y )的坐标 x, y 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 ?y ? 0 ? ?
向量 OP 在向量 OA 方向上的投影的取值范围是 15. 若 a, b, c ? 0 ,且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为 16. 设 F1 , F2 分别是双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的左、右焦点,A 是双曲线上在第一象限 内的点, b2

若|AF2|=2 且 ?F1 AF2 ? 45? , 延长 AF2 交双曲线右支于点 B,则Δ F1AB 的面积等于_ 17. 同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak : (1)所有元素都是正整数; (2)最小元素为 1;
? (3)最大元素为 2 014; (4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 的等差数

?

?

列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 18.(本题满分 14 分)

B? 3 设 △ ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 长 分 别 为 a,b,c , 且 a c o s , b sin A ? 4 . (1)求边长 a ; (2)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .
[来源:学。科。网]

19.(本题满分 14 分) 设正项数列 { an } 为等比数列,它的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 a1+ S2= a3. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
[来源:学科网]

(Ⅱ)已知 { an } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn.
n

b

20. (本题满分 15 分) 如图 1, 在等腰直角三角形 ABC 中 , ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC, AB 上的 点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥

A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 . (Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ;
C D O . E B

(Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

A?

C A 21. (本题满分 15 分) 图 1 已知函数 f ( x ) ? ? D

O E 图2

B

1 3 1 2 x ? ax ? 3 x , g ( x) ? x ln x 3 2
[来源:学。 科。网]

(Ⅰ)当 a=4 时,求函数 f(x)的单调区间;

(Ⅱ)求函数 g(x)在区间 [t , t ? 1](t ? 0) 上的最小值;

[来源:学科网]

' (Ⅲ)若存在 x1 , x 2 ? [ , e]( x1 ? ? x 2 ) ,使方程 f ( x) ? 2 g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围(其

1 e

中 e=2.71828?是自然对数的底数)

22. (本题满分 14 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1: x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛 物线 C1 上点 P 处的切线与圆 C2: x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q. (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1 ,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求
S1 的最小值. S2

y

F

P

O Q

x

学军中学 2014 届高三第九次月考答案 数学(文科)答案

[来源:学科网 ZXXK]

19.解:(Ⅰ)设在等比数列 ?an ? 中,公比为 q , ∵ a1 ? S2 ? a3 ∴ 2a1 ? a2 ? a3 ∴ 2a1 ? a1q ? a1q2

解得 q ? 2 或 q ? ?1(舍), 所以 an ? 2n?1

20.解(Ⅰ) 在图 1 中,易得 OC ? 3, AC ? 3

2, AD ? 2 2

连结 OD, OE ,在 ?OCD 中,由余弦定理可得

OD ? OC 2 ? CD2 ? 2OC ? CD cos 45? ? 5
2 2 2 由翻折不变性可知 A?D ? 2 2 , 所以 A?O ? OD ? A?D ,所以 A?O ? OD ,

OE ? O , 所以 A?O ? 平面 BCDE . ( Ⅱ) 传统法:过 O 作 OH ? CD 交 CD 的延长线于 H ,连结 A?H , 因为 A?O ? 平面 BCDE ,所以 A?H ? CD , 所以 ?A?HO 为二面角 A? ? CD ? B 的平面角.
理可证 A?O ? OE , 又 OD 结合图 1 可知, H 为 AC 中点,故 OH ?

3 2 30 ,从而 A?H ? OH 2 ? OA?2 ? 2 2

所以 cos ?A?HO ?

15 OH 15 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值为 . ? 5 A?H 5

②当 0 ? t ?

1 ? 1? 时,在区间 ?t , ? 上 g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为减 函数, e ? e?

在区间 ? , t ? 1? 上 g? ? x ? ? 0 , g ? x ? 为增函数,∴ g ? x ?min ? g ? ? ? ? (III) 由 f ? ? x ? ? 2g ? x ? 可得 ? x ? ax ? 3 ? 2 x ln x
2

?1 ?e

? ?

?1? ?e?

1 e

[来源:学.科.网]

∴ a ? x ? 2 ln x ?

3 , x 3 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ,则 h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? , x x x x2

令 h( x) ? x ? 2 ln x ?

?


1 h( x) 在 ( ,1) 上单调递减;在(1,e)单调递增, e 1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2, h(1) ? 4, h(e) ? e ? 2 ? , e e e
∴实数 a 的取值范围为 ? 4, e ? 2 ? ? e

1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0 e e
22.解(1)?

? ?

3? ?

y?

1 2 x , 2p

?

y? ?

1 x, p

?

1 x0 ? 1, x0 ? p, p

p ? P ( p, ) 2
[来源:学科网 ZXXK]

?

p?

p ? 2 ? 0, 2

? p ? 2 2 , 抛物线 C1 : x 2 ? 4 2 y

2 x0 x 2 ? 0 ( x ? x0 ) ,即 2x0 x ? 2 py ? x0 (2)点 P 处的切线方程为: y ? ?0, 2p p
2 | ? x0 |

此切线与圆

C 2 相切,?

4x ? 4 p
2 0

2

? 1,

4 2 x0 ? 4 x0 ? 4 p2

2 2 ? 2 4 ? x0 ?2 x0 x ? 2 py ? x0 ? 0 2 2 2 3 4 2 ? ( 4 x ? 4 p ) x ? 4 x x ? x ? 4 p ? 0 ? Q ( , ) ? 0 0 0 由 ?x 2 ? y 2 ? 1 x0 2 p ? 2 x0 ? p2 2 x0 ?2 |, x0

?

| PQ |? 1 ? k 2 | x P ? xQ |?

p

|

又 F 到直线 PQ 的距离为 d ?

2 | ? p 2 ? x0 |

4x ? 4 p
2 0

2

?

1 2 x0 ? p 2 , 2

?

S1 ?

2 ( x 2 ? p 2 ) | x0 ?2| 1 1 p , S 2 ? | OF || xQ |? | PQ | d ? 0 ? 2 2 | x0 | 2 4p | x0 |

?

4 2 4 p 2 ? x0 ? 4 x0 ? 0 ?| x0 |? 2

?

2 2 2 2 2 ? p 2 )(x0 ? 2) x0 ( x0 ? 2) x0 ?4 S1 ( x0 4 ? ? ? ? 2 ?3? 2 2 ?3 2 2 S2 2 2p ( 2 x0 ? 4) x0 ? 4

2 当且仅当 x0 ? 4 ? 2 2 时取“=” ,此时, p ?

2?2 2

?

(

S1 ) min ? 2 2 ? 3 S2

学军中学 2014 届高三第九次月考 数学(文科)答卷
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 13. 15. 17. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. 12. 14. 16.

[来源:Zxxk.Com]

19.

20. C D O . E C A 图1 D O E 图2 B B

A?

21.

22.

y

F

P

O Q

x


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