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2011年重庆理科数学高考试卷+答案


2011 年重庆理科数学高考试卷及答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

i 2 ? i3 ? i 4 ? 1? i
1 1 ? i 2 2
B. ?

A. ? 2. “ x ?? ?

1 1 ? i 2 2

C.

1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

”是“ x ? ?? ? ? ”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要

A.充分而不必要条件 C.充要条件 3.已知 lim(
x ??

? ax ?? ? ) ? ? ,则 a ? x ?? ?x
B. 2
5

A. ??

C.3
6

D .6

4. (1 ? 3x)n (其中n ? N且n≥6) 的展开式中 x 与x 的系数相等,则 n= A.6 B.7 C.8 D .9

= In(2 ? x) 在其上为增函数的是 5.下列区间中,函数 f(x)
A. (- ?,1 ] B. ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

C. ? 0,

? 3 ? 2
2

?
2

D . ?1, 2 ?

6.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足 (a ? b) ? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为 A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

7.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= A.

1 4 ? 的最小值是 a b
C.

7 2
2 2

B.4

9 2

D .5

8.在圆 x ? y ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D . 20 2

9.高为

2 的四棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,点 S、A、B、C、D 均在半径为 1 的同 4

一球面上,则底面 ABCD 的中心与顶点 S 之间的距离为 A.

2 4

B.

2 2

C.1

D. 2

1

10.设 m,k 为整数,方程 mx 2 ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,则 m+k 的最小值 为 A.-8 B.8 C.12 D .13 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位置上 11.在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ 12.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ 13.将一枚均匀的硬币投掷 6 次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________ 14.已知 sin ? ?

1 ? ?? ? cos ? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 2 ? 2?

cos 2? 的值为__________ ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

15.设圆 C 位于抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半径能 取到的最大值为__________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 13 分) 设 a ? R , f ? x ? ? cos x ? a sin x ? cos x ? ? cos 2 ? 数 f ( x) 在 [

?? ? ? x ? 满足 ?2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0 ? ,求函 ? 3?

? 11?

, ] 上的最大值和最小值. 4 24

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 8 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望

2

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设 f ( x) ? x? ? ax ? ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b ,其中常数 a, b ? R . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e? x ,求函数 g ( x) 的极值.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 如题(19)图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC ? 平面 ACD , AB ? BC , AD ? CD ,

?CAD ? ??? . (Ⅰ)若 AD ? ? , AB ? ?BC ,求四面体 ABCD 的体积; (Ⅱ)若二面角 C ? AB ? D 为 ??? ,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分. ) 如题(20)图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? . ?

uu u r

uuur

uuu r

3

率之积为 ?

? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF? ? PF? 为定值?若存在,求 ?

F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分, (I )小问 5 分, (II )小问 7 分) 设实数数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,满足 S n?1 ? an?1 S n (n ? N )
*

(I )若 a1 , S2 ? 2a2 成等比数列,求 S 2 和 a 3 ; (II )求证:对 k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ?

4 3

4

参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 50 分. 1—5 CADBD 6—10 ACBCD 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 25 分. 11.74 12. 3 13.

11 32

14. ?

14 2

15. 6 ? 1

三、解答题:满分 75 分. 16. (本题 13 分) 解: f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x

?
由 f (?

a sinx 2? 2

c oxs 2 .

?
3

) ? f (0)得 ?

3 a 1 ? ? ? ?1, 解得a ? 2 3. 2 2 2

因此 f ( x) ? 当 x ?[

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2x ?

?
6

).

, ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为增函数, 4 3 6 3 2 ? 11? ? ? 3? ]时, 2 x ? ? [ , ], f ( x) 为减函数, 当 x ?[ , 3 24 6 2 4 ? 11? ? ]上的最大值为f ( ) ? 2. 所以 f ( x)在[ , 4 4 3 ? 11? ) ? 2, 又因为 f ( ) ? 3, f ( 4 24 ? 11? 11? ] 上的最小值为 f ( ) ? 2. 故 f ( x)在[ , 4 24 24
5

? ?

?

? ?

17. (本题 13 分) 解:这是等可能性事件的概率计算问题.
2 (I )解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 C4 ? 22 种,

从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验. 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则 P( A) ?

1 . 3

从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的 概率为

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(II )ξ的所有可能值为 1,2,3. 又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?
P(? ? 3) ?
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A3 4 ? ( 或 P ( ? ? 3) ? ? ). 9 9 34 34

综上知,ξ有分布列 ξ P 从而有 1 2 3

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27
3 2 2

18. (本题 13 分) 解: (I )因 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1, 故 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b. 令 x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? .

3 2

6

3 2 5 x ? 3x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? (? ) ? ?3, 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为 2 5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1),即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2
因此 f ( x) ? x3 ? (II )由(I )知 g ( x) ? (3x2 ? 3x ? 3)e? x , 从而有 g ?( x) ? (?3x2 ? 9 x)e? x . 令 g ?( x) ? 0, 得 ? 3x 2 ? 9 x ? 0, 解得x1 ? 0, x2 ? 3. 当 x ? (??,0)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(??,0) 上为减函数; 当 x ? (0,3)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x) 在(0,3)上为增函数; 当 x ? (3, ??) 时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(3, ??) 上为减函数; 从而函数 g ( x)在x1 ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3, 在x2 ? 3 处取得极大值 g (3) ? 15e?3 . 19. (本题 12 分) (I )解:如答(19)图 1,设 F 为 AC 的中点,由于 AD=CD ,所以 DF⊥AC. 故由平面 ABC⊥平面 ACD ,知 DF⊥平面 ABC, 即 DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高, 且 DF=ADsin30°=1,AF=ADcos30°= 3 . 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF= 2 3 ,AB=2BC, 由勾股定理易知 BC ? 故四面体 ABCD 的体积

2 15 4 15 , AB ? . 5 5

1 1 1 4 15 2 15 4 V ? ? S?ABC ? DF ? ? ? ? ? . 3 3 2 5 5 5
(II )解法一:如答(19)图 1,设 G,H 分别为边 CD ,BD 的中点,则 FG//AD ,GH//BC,从 而∠FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角. 设 E 为边 AB 的中点,则 EF//BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB.又由(I )有 DF⊥平面 ABC, 故由三垂线定理知 DE⊥AB. 所以∠DEF 为二面角 C—AB—D 的平面角,由题设知∠DEF=60° 设 AD ? a, 则DF ? AD ? sin CAD ?

a . 2

在 Rt ?DEF中, EF ? DF ? cot DEF ?

a 3 3 ? ? a, 2 3 6
7

从而 GH ?

1 3 BC ? EF ? a. 2 6
1 a BD ? , 2 2

因 Rt△ADE≌Rt△BDE,故 BD=AD=a,从而,在 Rt△BDF 中, FH ? 又 FG ?

1 a AD ? , 从而在△FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理得 2 2

cos FGH ?

FG 2 ? GH 2 ? FH 2 GH 3 ? ? 2 FG ? GH 2 FG 6 3 . 6

因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为

解法二:如答(19)图 2,过 F 作 FM⊥AC,交 AB 于 M,已知 AD=CD , 平面 ABC⊥平面 ACD ,易知 FC,FD,FM 两两垂直,以 F 为原点,射线 FM,FC,FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F—xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD ,∠CAD=30°,易知点 A,C,D 的坐标分别为

A(0, ? 3, 0), C (0, 3, 0), D(0, 0,1), 则 AD ? (0, 3,1).
显然向量 k ? (0, 0,1) 是平面 ABC 的法向量. 已知二面角 C—AB—D 为 60°, 故可取平面 ABD 的单位法向量 n ? (l , m, n) , 使得 ? n, k ?? 60 , 从而n ?

1 . 2

由n ? AD, 有 3m ? n ? 0, 从而m ? ? 由l 2 ? m2 ? n 2 ? 1, 得l ? ? 6 . 3

3 . 6

设点 B 的坐标为 B( x, y, 0);由AB ? BC , n ? AB, 取l ?

6 ,有 3

? 4 6 ? x 2 ? y 2 ? 3, , x ? 0, ?x ? ? ? ? 9 ? 解之得 , (舍去) ? 6 ? ? 3 x? ( y ? 3) ? 0, ?y ? ? 3 ? ?y ? 7 3 ,? 6 ? 3 ? 9 ?
易知 l ? ?

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3

8

因此点 B 的坐标为 B( 从而

4 6 7 3 4 6 2 3 ,? , 0). , , 0). 所以 CB ? ( 9 9 9 9

cos ? AD, CB ??

AD ? CB | AD || CB |

? 3 ?1 (

3(?

2 3 ) 9

??

4 6 2 2 3 2 ) ? (? ) 9 9
3 . 6

3 . 6

故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 20. (本题 12 分) 解: (I )由 e ? 解得 a ? 2, c ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c
2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2
(II )设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

OP ? OM ? 2ON 得
( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 上,所以
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4,

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4 x2 ? 4 x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4 x (2 ? 2 y2 ) ? 4 x1( x2 ?

y 2 1 y2 )

? 2 0 ? 4x( y1 y2 ) . 1 x2 ? 2
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

kOM ? kON ?
2

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, x1 x2 2
2

所以 x ? 2 y ? 20.

9

所以 P 点是椭圆

x2 (2 5) 2

?

y2 ( 10) 2

? 1 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1,F2,则由椭圆

的定义|PF1 |+|PF2 |为定值,又因 c ?

(2 5)2 ? ( 10)2 ? 10 ,因此两焦点的坐标为

F1 (? 10,0), F2 ( 10,0).
21. (本题 12 分) (I )解:由题意 ?
2 ? S2 ? ?2a1a2 ,

? S2 ? a2 S1 ? a1a2 ,

2 得S2 ? ?2S2 ,

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0.因此S2 ? ?2. 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3

(II )证法一:由题设条件有 Sn ? an?1 ? an?1 Sn , 故 Sn ? 1, an ?1 ? 1且an ?1 ? 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n?1 , Sn ? 1 an?1 ? 1

ak ?1 Sk ?1 ak ?1 ? Sk ?2 ak ?1 ? 1 ak2?1 ak ? ? ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? Sk ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
因 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? (ak ?1 ? ) ?
2 2



1 2

3 2 ? 0且ak ?1 ? 0 ,由①得 ak ? 0 4

要证 ak ?
2

2 ak 4 4 ?1 ? , ,由①只要证 2 3 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3
2 2

即证 3ak ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1),即(ak ?1 ? 2) ? 0. 此式明显成立. 因此 ak ?

4 (k ? 3). 3
2 ak ? ak , 2 ak ? ak ? 1

最后证 ak ?1 ? ak . 若不然 ak ?1 ?

10

又因 ak ? 0, 故

ak ? 1,即(ak ? 1)2 ? 0. 矛盾. a ? ak ? 1
2 k

因此 ak ?1 ? ak (k ? 3). 证法二:由题设知 Sn?1 ? Sn ? an?1 ? an?1 Sn , 故方程 x 2 ? Sn?1 x ? Sn?1 ? 0有根Sn 和an?1 (可能相同).
2 因此判别式 ? ? Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 0.

又由 Sn ? 2 ? Sn ?1 ? an ? 2 ? an ? 2 Sn ?1得an ? 2 ? 1且S n ?1 ?
2 an 4an ? 2 2 ?2 因此 ? ? 0,即3an ? 2 ? 4an ? 2 ? 0 , 2 an ? 2 ? 1 (an ? 2 ? 1)

an? 2 . an? 2 ? 1

解得 0 ? an ? 2 ? 因此 0 ? ak ? 由 ak ?

4 . 3

4 (k ? 3). 3

Sk ?1 ? 0 (k ? 3) ,得 Sk ?1 ? 1
Sk Sk ?1 S ? ak ? ak ( ? 1) ? ak ( 2 k ?1 ? 1) Sk ? 1 ak Sk ?1 ? 1 Sk ?1 ?1 Sk ?1 ? 1 S
2 k ?1

ak ?1 ? ak ?

??

ak ?? ? Sk ?1 ? 1

ak ? 0. 1 2 3 ( Sk ?1 ? ) ? 2 4

因此 ak ?1 ? ak

(k ? 3).

11


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