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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第八章 立体几何 第6讲 空间坐标系与空间向量课件 理


第6讲 空间坐标系与空间向量

空间向量及其运算.

(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意
义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数

量积判断向量的共线与垂直.

1.

空间向量的概念 在空间,既有大小又有方向的量,叫做空间向量,记作 a
→ .空间向量可以在空间内自由平行移动. 或AB 2.空间向量的运算 → +BC → =AC → (三角形法则: (1)加法: AB 首尾相连, 指向终点). → -AC → =CB → (三角形法则: (2)减法: AB 共点出发, 指向被减).

(3)数乘向量:λa(λ∈R)仍是一个向量,且λa与a共线, |λa|=|λ||a|. (4)数量积:a· b=|a||b|cos〈a,b〉,a· b是一个实数.

3.空间向量的运算律
(1)交换律:a+b=b+a;a· b=b· a.

(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c);(λa)· b=λ(a· b)(λ∈R)
[注意:(a· b)c=a(b· c)一般不成立]. (3)分配律: λ(a+b)=λa+λb(λ∈R);a· (b+c)=a· b+a· c.

4.空间向量的坐标运算
→ =xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP → 的坐标,也 (1)若OP 叫做点 P 的坐标. (2)设 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 a± b=(x1± x2,y1± y2,z1± z2 ) ;

(λx1,λy1,λz1) λa=_________________ ;
a· b=x1x2+y1y2+z1z2; x1x2+y1y2+z1z2 cos〈a,b〉= 2 2 2 2 2 2. x1+y1+z1 x2+y2+z2

(3)设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
2 2 2 则|M→ 1M2|= ?x1-x2? +?y1-y2? +?z1-z2? .

(4)对于非零向量a与b,设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,

z2),那么有
a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2; a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.

1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互 相垂直,则 k 值是( D ) A.1 1 B. 5 3 C. 5 7 D. 5

2.a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则a+b 与a -b 的夹角为( D )
A.0° B.30°

C.60°

D.90°

→ 1-AB → +BC → 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,向量表达式DD 化简后的结果是( A ) →1 A.BD → B.D 1B → C.B 1D →1 D.DB

→ 1=AA →1, → 1-AB → =AA →1-AB → =BA →1, 解析: 如图 D39, ∵DD DD →1+BC → =BD →1,∴DD → 1-AB → +BC → =BD →1. BA

图 D39

→ =DC → ,则 4.如图 861,在四棱柱的上底面 ABCD 中,AB 下列向量相等的是( D ) → 与CB → A.AD → 与OC → B.OA → 与DB → C.AC → 与OB → D.DO

图 8-6-1

→ =DC →, → |=|DC → |, 解析: ∵AB ∴|AB AB∥DC, 即四边形 ABCD → =OB → .故选 D. 为平行四边形.由平行四边形的性质知,DO

考点 1 空间向量的线性运算
例1:如图 8-6-2,已知空间四边形 OABC 中,点 M 在线段

OA 上,且 OM=2MA,点 N 为 BC 的中点,点G在线段 MN 上, → =a,OB → =b,OC → =c,试用向量 a,b,c 表 且 MG=3GN.设OA
→. 示向量OG

图 8-6-2

思维点拨:利用三角形法则转化.

→ =OM → +MG → 解:OG 2→ 3 → =3OA+4MN 2→ 3 → → =3OA+4(ON-OM) 2→? 2 → 3?1 → → =3OA+4?2?OB+OC?-3OA? ? ? 2 3 1 1 3 3 =3a+8(b+c)-2a=6a+8b+8c.

【规律方法】(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则
或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向 量.

(2)向量的线性运算有一个常用的结论:如果点B 是线段AC
1 → → → 的中点,那么OB=2(OA+OC).此结论常用于与中点相关的运
算.

【互动探究】
→1=a, 1.如图 863, 在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中, 设AA → =b,AD → =c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试 AB 用 a,b,c 表示以下各向量: →; (1)AP → (2)A 1N; → +NC →1. (3)MP

图 8-6-3

解:(1)∵P 是 C1D1 的中点, 1 → → → → → → ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+2D1C1 1→ 1 =a+c+2AB=a+c+2b. → → → → (2)∵N 是 BC 的中点,∴A 1N=A1A+AB+BN= 1→ 1→ 1 -a+b+2BC=-a+b+2AD=-a+b+2c. (3)∵M 是 AA1 的中点, → =MA → +AP → ∴MP

1 ? 1 1 1→ → 1 ? =2A1A+AP=-2a+?a+c+2b?=2a+2b+c. ? ? 1→ → → → → 又NC1=NC+CC1=2BC+AA1 1→ → 1 =2AD+AA1=2c+a,
? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? → +NC →1=? a + b + c a + c ∴MP + ?2 ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

3 1 3 =2a+ b+ c. 2 2

考点 2 空间向量的数量积运算
→1与AC → 例 2:如图 864,已知正方体 ABCDA1B1C1D1,求BC

夹角的大小.

图 8-6-4

解:不妨设正方体的棱长为 1, →1· → =(BC → +CC →1)· → +BC →) BC AC (AB → +AA →1)· → +AD →) =(AD (AB →· → +AD → 2+AA →1· → +AA →1· → =AD AB AB AD → 2+0+0=AD → 2=1, =0+AD →1|= 2,|AC → |= 2, 又∵|BC →1· → BC AC 1 1 → → ∴cos〈BC1,AC〉= = =2. →1||AC →| 2× 2 |BC →1,AC → 〉∈[0,π], ∵〈BC π π → → → → ∴〈BC1,AC〉=3.∴BC1与AC夹角的大小为3.

【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一 个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面中 的角的大小.

a· b (2)由两个向量的数量积定义, 得 cos 〈a,b〉 =|a||b|, 求 〈a,b〉
的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出〈a,b〉

的余弦值,进而求〈a,b〉的大小.在求 a· b 时注意结合空间图形,
把 a,b 用基向量表示出来,进而化简得出 a· b 的值.

【互动探究】

2.如图 865,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠ABC=90° , AB=BC=1, AA1= 2, 求异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值.

图 8-6-5

→1=BA → +AA →1=BA → +BB →1,AC → =BC → -BA →, 解:∵BA →· → =BB →1· → =BB →1· → =0, 且BA BC BA BC →1· → =-BA →2=-1. ∴BA AC → |= 2,|BA →1|= 1+2= 3, 又|AC →1· → -1 BA AC 6 → → ∴cos〈BA1,AC〉= = =- 6 . →1||AC →| 6 |BA 6 则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为- 6 .

考点 3 空间向量的坐标运算 例3:已知正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别为BB1,

C1D1 的中点,建立适当的坐标系,求平面 AMN 的法向量.
思维点拨:在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂

直.

解:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为坐标轴建立 空间直角坐标系.如图 D40.

图 D40
设棱长为 1,则
? ? ? ? 1? 1 A(1,0,0),M?1,1,2?,N?0,2,1?. ? ? ? ? ?

? 1? → ∴AM=?0,1,2?,

? ? 1 → AN=?-1,2,1?. ? ?

设平面 AMN 的法向量 n=(x,y,z), 1 ? → AM=y+2z=0, ?n· ∴? 1 ?n· → AN=-x+2y+z=0. ? 令 y=2,得 x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4). ∴(-3,2,-4)为平面 AMN 的一个法向量.

【规律方法】本题的关键就是在平面AMN 内找两个相交向 量分别与法向量垂直,向量的坐标为向量的运算、夹角与距离 提供了运算基础,关键是建立适当的坐标系,确定点与向量的 坐标.

【互动探究】
3.(2014年广东)已知向量 a=(1,0,-1),则下列向量中与 a

成 60°夹角的是( B )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

●易错、易混、易漏● ⊙向量夹角不明致误

例题:如图866,在120°的二面角αlβ中,A∈l,B∈l, AC?α ,BD?β ,且AC⊥AB , BD⊥AB,垂足分别为 A , B. 已 知AC=AB=BD=6,试求线段CD的长.

图 8-6-6

正解:∵AC⊥AB,BD⊥AB, →· → =0,BD →· → =0. ∴CA AB AB 又∵二面角 αABβ 的平面角为 120° , → ,BD → 〉=60° ∴〈CA . → |2=(CA → +AB → +BD → )2 ∴CD2=|CD → 2+AB → 2+BD → 2+2(CA →· → +CA →· → +BD →· →) =CA AB BD AB =3×62+2×62×cos60° =144. ∴CD=12.

【失误与防范】(1)求解时,易混淆二面角的平面角与向量
→ ,BD → 〉=60° → ,BD → 〉=120° 夹角的概念,把〈CA 易错解为〈CA ,

此处应结合图形,根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正 确地转化为向量夹角. (2)对所用的公式要熟练,变形时运用公式要正确并注意符

号等细节,避免出错.


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