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天津市高三第三次月考(有详细答案) 理科数学试题


天津高三数学三月考试卷(理科)
一、选择题: 1. i 是虚数单位,复数 A. i

3 ? 2i 等于( 2 ? 3i

) C. 12 ? 13i D. 12 ? 13i

B. ? i )

2.下列说法错 误 的是( . .

A.命题“若 x 2 ? 3x ?

2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”
2

B.命题 p “ ,则 ?p “ : ?x ? R, 使得x2 ? x ? 1 ? 0” : ?x ? R, 均有x2 ? x ? 1 ? 0” C.若“ p且q ” 为假命题,则 p, q 至少有一个为假命题 D.若 a ? 0, 则“a ? b ? a ? c” 是“ b ? c ”的充要条件 3.把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 所有点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin ? 2 x ?

?

?

? ?

? ?

? 个单位长度,再把所得图象上 3
)

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是( 2
B. y ? sin ?

? ?

?? ?,x ? R 3? ?? ?,x ? R 3?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ? ? ?? ? ?,x ? R 3 ?

C. y ? sin ? 2 x ?
2 2

? ?

D. y ? sin ? 2 x ?

4. 直线 l 与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? a ? 0,(a ? 3) 相交于 A, B 两点, 若弦 AB 的中点为 (?2,3) , 则直线 l 的方程为( A.x ? y ? 3 ? 0
2

) B.x ? y ? 1 ? 0 C.x ? y ? 5 ? 0 D.x ? y ? 5 ? 0

5.已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线

x2 ? y 2 ? 1, (a ? 0) 交于 A, B 两点,点 F 为抛物线的 a2

焦点,若△ FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是 A. 3 B. 6 C. 2 D. 3

6.已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an ,使得 am ? an ? 4a1 ,

1 4 ? 的最小值为( m n 3 5 A. B. 2 3


) C.

25 6

D.不存在

7 .在锐角 ?ABC 中 ?A ? 2?B, ? B 、 ?C 的对边长分别是 b 、 c , 则 ( ) A. ( , )

b 的取值范围是 b +c

1 1 4 3

B. ( , )

1 1 3 2

C. ( , )

1 2 2 3

D. ( , )

2 3 3 4

8.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上不恒为 0 的函数,且对于任意的实数 a , b 满足 f (2) ? 2 ,

f (ab) ? af (b) ? bf (a) , an ?

f (2n ) f (2n ) ? , ( n ? N ), b ? , (n ? N ? ) ,考察下列结论: n n 2 n
③数列 ?an ? 为等差数列 ④数列 ?bn ? 为等比数列,其中

① f (0) ? f (1) ② f ( x ) 为奇函数 正确的个数为( A. 1 二、填空题: ) B. 2

C. 3

D. 4

?y ? x ? 9.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2, 则目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为__________. ?y ? 0 ?
10.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频 率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1: 2 : 3 ,第 2 小组的 频数为 12 ,则抽取的学生人数是 .

频率 组距

0.0375 0.0125 50 55 60 65 70 75 体重

11.如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图,如果直角三角形的直角边长均为 1, 那么这个几何体的体积为 .

12. 如图, 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使平面 ABD ? 平面 CBD ,E 是 CD 的中点, 那么异面直线 AE 、 BC 所成的角的正切值为 。

13 . 已 知 △ ABC 内 接 于 以 O 为 圆 心 , 1 为 半 径 的 圆 , 且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 , 则

??? ?

??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ? OC ? AB ? ________

14.如果关于实数 x 的方程 ax ?
2

1 ? 3 x 的所有解中,仅有一个正数解,那么实数 a 的取值 x

范围为______________________ 三、解答题:

,x ? R 15.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的单调区间及最值 8 2

?π π? ? ?

16.四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , AB ∥ CD ,

AD ? CD ? 1, ?BAD ? 120? , PA ? 3, ?ACB ? 90?
(1)求证: BC ⊥平面 PAC ;

(2)求二面角 D ? PC ? A 的平面角的余弦值; (3)求点 B 到平面 PCD 的距离。

x2 y 2 17.双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,坐标原点到直线 AB 的 a b
距离为

3 ,其中 A(a,0), B(0,?b). 2

(1)求双曲线的方程; (2)若 B1 是双曲线虚轴在 y 轴正半轴上的端点,过点 B 作直线交双曲线于点 M , N ,求

B1 M ? B1 N 时,直线 MN 的方程.

18.设函数 f ( x) ? a( x ? ) ? ln x (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若函数 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 g ( x ) ?

1 x

e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取 x

值范围。

19 .19.如图,在直角坐标系 xOy 中有一直角梯形 ABCD , AB 的中点为 O , AD ? AB ,
AD ∥ BC , AB ? 4 , BC ? 3 , AD ? 1 ,以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C .

(1)求椭圆的标准方程; (2)若点 E ? 0,1? ,问是否存在直线 l 与椭圆交于 M , N 两点且 ME ? NE ,若存在,求出直线
l 的斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.

y
C

D
A
O

?E

B

x

20.已知数列 ?an ? 的相邻两项 an , an?1 是关于 x 的方程 x2 ? 2n x ? bn ? 0,(n ? N ? ) 的两根,且

a1 ? 1
(1)求证:数列 ?an ? ? 2n ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)若 bn ? mSn ? 0 对任意的 n ? N 都成立,求 m 的取值范围。
?

? ?

1 3

? ?

试卷参考答案 一、选择题 1.A 9.4 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.D

10.48 11.

1 3

12. 2 13. ?

1 5

14. (??, 0] ? ?2?

三、解答题(共 6 题,80 分) 15.解:

f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 ?T ? ? ? ? 3 ? f ( x)在( , ? )上 ?   在( ? , )上 ? 8 8 8 2 f ( x) ? 2 f ( x) ? 0
max min

?

16.解: (1)PA⊥面 ABCD ∵BC⊥AC ∴BC⊥面 PAC (2)建立如图空间直角坐标系 ∴PA⊥BC

? A(0, 0, 0) P(0, 0, 3) C ( ??? ? ? AP ? (0, 0, 3)

3 1 3 1 , , 0)  D( , ? , 0) 2 2 2 2 ???? 3 1 AC ? ( , , 0) 2 2

??? ? 3 1 ? PD ? ( , ? , ? 3) 2 2 ? 设面PAC法向量n ? ( x, y, z )

? ?n ? AC ? 0 ?? ? ?n ? AP ? 0 ? n ? ( 3,?3,0)

? 3 1 x? y ?0 ? ?? 2 2 ? 3z ? 0 ?

设面PDC法向量m ? ( x, y, z)
? ?m ? DC ? 0 ?? ? ?m ? DP ? 0 ?y ? 0 ? ?? 3 1 x ? y ? 3z ? 0 ?? 2 ? 2

? m ? (2,0,1)
? cos ? n, m ??
5 5

2 3 2 3? 5

?

5 5

? cos? ?
(3)

d? ?

| m ? PB | |m|

3 15 ? 5 5
x y ? ?1 a b

17.设直线: 解: (1)

?b ? 3 ? ?a ? 3 ?a ?? ? ab 3 ?b ? 3 ? ? 2 2 2 ? ? a ?b x2 y2 ? 双曲线: ? ?1 3 9
(2)

? A1 (? 3 ,0) ? k PA1 ? ? k1 k 2 ? y0

A2 ( 3 ,0)设P( x0 , y 0 ) k PA2 ? y0 x0 ? 3

x0 ? 3

2 2 y0 3x0 ?9 ? ?3 2 2 x0 ? 3 x0 ? 3

(3)B(0,-3) ∴设直线 l:y=kx-3

B1(0,3)

M(x1 , y1)

N(x2 , y2)

? y ? kx ? 3 ?? 2 2 ?3 x ? y ? 9
∴3x2-(kx-3)2=9 (3-k2)x2+6kx-18=0

? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ?
2

6k k ?3
2

y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 6 ?

18 k ?3
2

18 k ?3

y1 y 2 ? k 2 ( x1 x 2 ) ? 3k ( x1 ? x 2 ) ? 9

? B1 M ? ( x1 , y1 ? 3) B1 N ? ( x2 , y 2 ? 3)

? B1 M ? B1 N ? 0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 3( y1 ? y 2 ) ? 9 ? 0 18 54 ?9? 2 ?9 ? 0 k ?3 k ?3
2

k2=5

? k ? ? 5 代入(1)有解

?lMN : y ? ? 5x ? 3
18.解: (1)

1 ? ln x x 1 1 ? f / ( x) ? 1 ? 2 ? x x / ? k ? f (1) ? 1 ? f (1) ? 0 a ? 1 f ( x) ? x ? ? 切线 : y ? x ? 1
(2)

a 1 ax2 ? x ? a ? ? x2 x x2 ? f / ( x)在(0,??)上 ? f / ( x) ? a ?

? f / ( x) ? 0在(0, ?)上恒成立
∴ax2-x+a≥0

x 1? x2 1 a? 1 x? x a? 1 1 1 ? (x ? ) ? 2 ? ? 1 2 x x? x 1 ?a ? 2
(3) 在[1,e]上至少存在一点 x0 使 f(x0)≥g(x0)

则f ( x) ? g ( x) x ? [1, e]
max min

e 在[1, e]上 ? x ? g ( x) ? 1 g ( x) ? e g ( x) ?
min max

? g ( x) ? [1, e] 令h( x) ? ax 2 ? x ? a
1 当a ? 时 2 f ( x)在[1,e ]上 ?

1 ? f ( x ) ? f (e) ? a (e ? ) ? 1 e max

? f ( x) ? f (1) ? 0
min

? g ( x) ? 1
min

1 ? a (e ? ) ? 1 ? 1 e 2e ?a ? 2 e ?1
1 当0 ? a ? 时 2

1 1 1 f ( x) ? a( x ? ) ? ln x ? ( x ? ) ? ln x x 2 x 1 ? a ? 时f ( x) ? 2 1 1 1 1 ?[ ( x ? ) ? ln x]max ? [ (e ? ) ? 1)] ? 1 2 x 2 e ? f ( x) ? 1不合题意舍
当 a<0 时

h( x) ? ax2 ? x ? a x ? [1, e]
? h(1) ? 2a ? 1 ? 0 ? f / ( x) ? 0 ? f ( x)在[1, e]上 ? a ? 0时 f ( x) ? ? ln x ? f ( x) ? f (1) ? 0 ? 1
max

∴不合题意(舍)

? 综上 :a ? [
19.解: ∵AB=4, ∴CA+CB=8 ∴a=4 ∵c=2

2e ,?? ) e ?1
2

BC=3,

∴AC=5

∴b2=12

? 椭圆:

x2 y2 ? ?1 16 12

(2)设直线 l:y=kx+m 设 M(x1, y1) N(x2, y2)

? y ? kx ? m ?? 2 2 ?3x ? 4 y ? 48 ? 0
? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8km x ? 4m 2 ? 48 ? 0 ? ? 64k 2 m 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 48) ? 0 ?16k 2 ? 12 ? m 2
? x1 ? x 2 ? ? 8km 3 ? 4k 2 4m 2 ? 48 x1 x 2 ? 3 ? 4k 2

设 MN 中点 F(x0, y0)

? x0 ?

x1 ? x 2 ? 4km ? 2 3 ? 4k 2 3m y 0 ? kx0 ? m ? 3 ? 4k 2
∴EF⊥MN

∵|ME|=|NE| ∴kEF·k=-1

3m ?1 3 ? 4k 2 ? k ? ?1 ? 4km 3 ? 4k 2
∴m=-(4k2+3)代入① ∴16k2+12>(4k2+3)2 ∴16k4+8k2-3<0

?

1 1 ?k? 2 2

当 k=0 时符合条件,k 不存在(舍)

1 1 ? k ? (? , ) 2 2
20.解: (1)∵an+an+1=2n

1 1 ? a n ?1 ? ? 2 n ?1 ? ?(a n ? ? 2 n ) 3 3

1 a n?1 ? ? 2 n ?1 3 ? ?1 1 n an ? ? 2 3
1 ? ? ? ?a n ? ? 2 n ?是GP 3 ? ?
2 1 ? , q ? ?1 3 3 1 ? a n ? [2 n ? (?1) n ] 3 ? a1 ?
(2)Sn=a1+a2+……+an

1 ? [(2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? ((?1) ? (?1) 2 ? ? ? (?1) n )] 3 1 2(1 ? 2n ) (?1)(1 ? (?1) n ) ? [ ? ] 3 1? 2 1?1 1 ?1 ? (?1) n ? [2n ?1 ? 2 ? ] 3 2 ? 2n ?1 2 ? n偶 ? ? 3 3 ? ? n ?1 ? 2 ? 1 n奇 ? 3 ? 3
(3)bn=an·an+1

1 bn ? [2 n ? (?1) n ][2 n ?1 ? (?1) n ?1 ] 9 1 ? [2 2 n ?1 ? (?2) n ? 1] 9 ? bn ? m s n ? 0

1 1 (?1) n ? 1 ? [22 n?1 ? (?2)n ? 1] ? m ? [2n ?1 ? 2 ? ]?0 9 3 2
∴当 n 为奇数时

1 2 n ?1 m [2 ? 2 n ? 1] ? (2 n ?1 ? 1) ? 0 9 3 1 ? m ? (2 n ? 1)对? n ? 奇数都成立 3
∴m<1 当 n 为偶数时

1 2 n ?1 m [2 ? 2 n ? 1] ? (2 n ?1 ? 2) ? 0 9 3 1 2 n ?1 2m n [2 ? 2 n ? 1] ? (2 ? 1) ? 0 9 3 1 m ? (2 n ?1 ? 1)对? n ? 偶数都成立 6 3 ?m ? 2
综上所述,m 的取值范围为 m<1


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