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山东省实验中学2017届高三第一次诊断性考试数学(文)试题


山东省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试

数学试题(文科)
2016.9 说明:试题分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷为第 1 页至第 2 页,第 II 卷为第 3 页至第 5 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上。书 写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

/>
第I卷

(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项 符合题意) ......
2 (1)设集合 A ? x 4 x ? 1 , B ? x ln x ? ? , 则 A ? B ?

?

?

?

?

(A) ? ?

? 1 1? , ? ? 2 2?

(B) ? 0, ?

? ?

1? 2?

(C) ? ,1? (D) ? 0, ? ?2 ? ? 2?

?1 ?

?

1?

(2)己知复数 z ? (A)第一象限

2i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 1? i
(B)第二象限
x

(C)第三象限 ” ,则 ? p 是

(D)第四象限

0 (3)己知命题 p: “ ?x0? 3 0 , ? 2

(A) ?x0 ? 0,3 0 ? 2
x

(B) ?x ? 0,3x ? 2 (D) ?x ? 0,3 ? 2
x

(C) ?x ? 0,3 ? 2
x

(4)向量 a ? ? ?1,1? , b ? ?1, 0 ?, 若 a ? b ? 2a ? ? b ,则 ? = (A)2 (B) ?2 (C)3 (D) ?3

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

? x ? y ? 0, ? (5)若变量 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 0. ?
(A)0 (B)1 (C)

3 2

(D)2

(6)执行如图所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出 的 n 值为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (7)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ?x ? ? ? f ? x ? ,

f ?3 ? x ? ? f ? x ? ,则 f ? 2019? ?
(A) ?3 (C)1 (8)函数 f ? x ? ? sin ? x ? (B)0 (D)3

? ?

??

? ? 的图象同左平移 3 个单位, 6?
1 , 那么所得图象 2
(D) x ? ?

再将图象上各点的横坐标缩短为原来的 的一条对称轴方程为 (A) x ?

?
3

(B) x ?

?
4

(C) x ? ?

?
4

?
2

(9) 已 知 直 线 l : kx ? y ? 2 ? 0 ? k ? R? 是 圆 C : x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 9 ? 0 的 对 称 轴 , 过 点

A? 0, k ? 作圆 C 的一条切线,切点为 B,则线段 AB 的长为
(A)2 (B) 2 2 (C)3
2

(D) 2 3

ln x ? ? x ? b ? 1 ? (10)己知函数 f ? x ? ? , 2 ,使得 f ? x ? ? ? x ? f ? ? x ? , ?b ? R ? .若存在 x ? ? ? x ?2 ? ?
则实数 b 的取值范围是 (A)

? ??, 2 ?

(B) ? ??,

? ?

3? ? 2?

(C) ? ??,

? ?

9? ? 4?

(D)

? ??,3?

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) (11)已知函数 f ? x ? ? ?

?log 5 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

? ,则 f ? ?

? 1 ?? f ? ? ? ? __________. ? 25 ? ?
x

?1? (12)在区间 ? ?1, 2? 上任取一个数 x,则事件“ ? ? ? 1 ”发生的概率为__________. ?2?
(13)己知 m ? 0, n ? 0, 2m ? n ? 4,则

1 2 ? 的最小值为______________. m n

(14)已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的体积为 36,点 E,F 分别为棱

B1B, C1C 上的点(异于端点),且 EF//BC,则四棱锥 A1 ? AEFD 的
体积为_____________. (15)已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三 a 2 b2

角形 AF1F2 的一边 AF1 与双曲线左支交于点 B, 且 AF 则 1 ? 4BF 1 , 双曲线 C 的离心率为___________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (16)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 已知 cos 2 A ? ? (I)求 a 的值; (II)若角 A 为锐角,求 b 的值及 ?ABC 的面积.

????

????

1 , c ? 3,sin A ? 6 sin C . 3

(17)(本小题满分 12 分) 某汽车公司为了考查某 4S 店的服务态度, 对到店维修 保养的客户进行回访调查,每个用户在到此店维修或 保养后可以对该店进行打分,最高分为 10 分.上个月 公司对该 4S 店的 100 位到店维修保养的客户进行了调 查,将打分的客户按所打分值分成以下几组: 第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第 四组[6,8),第五组[8,10] ,得到频率分布直方图 如图所示. (I)求所打分值在[6,10]的客户的人数: (II)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取 6 名客户进行深入调查,之后将从这 6 人中随机抽取 2 人进行物质奖励,求得到奖励的人来自不同组的概率.

(18)(本小题满分 12 分)

已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 d=2 , 前 n 项 的 和 为 Sn . 等 比 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? a1 ,

b2 ? a4 , b3 ? a13 .
(I)求 an , bn 及数列 ?bn ? 的前 n 项和 Bn ; (II)记数列 ?

?1? ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn . ? Sn ?

(19)(本小题满分 12 分) 在四棱锥 A—BCDE 中, 底面 BCDE 为菱形, 侧面 ABE 为等边三角形, 且侧面 ABE ? 底面 BCDE, O,F 分别为 BE,DE 的中点. (I)求证:AO⊥CD; (II)求证:平面 AOF⊥平面 ACE.

(20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ?

mx 2 2 , 曲线 y ? f ? x ? 在点 e , f ? e ? 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 垂直(其 ln x

?

?

中 e 为自然对数的底数). (I)求 f ? x ? 的解析式及单调递减区间: (II)是否存在常数 k,使得对于定义域内的任意 x, f ? x ? ? 出 k 的值;若不存在,请说明理由.

k ? 2 x 恒成立,若存在,求 ln x

(21)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点相同, F1 , F2 为椭 2 a b

圆的左、右焦点,M 为椭圆上任意一点, ?MF 1F2 面积的最大值为 1. (I)求椭圆 C 的方程; (II)直线 l : y ? kx ? m ? m ? 0? 交椭圆 C 于 A,B 两点. (i)若直线 AF2与BF2 的斜率分别为 k1 , k2 , 且k1 ? k2 ? 0 ,求证:直线 l 过定点,并求出该定 点的坐标; (ii)若直线 l 的斜率是直线 OA,OB 斜率的等比中项,求△AOB 面积的取值范围.

山东省实验中学 2017 届高三第一次诊断性考试 数学(文科)答案
1 4 1 3
13+1 3

1-10

DBBCC CBDDC

11-15

2

12

(16)解:(Ⅰ) 在 ?ABC 中, 因为 c ? 3,sin A ? 6 sin C ,

a c ? ,解得 a ? 3 2 . ???????4 分 sin A sin C 1 ? 2 (Ⅱ) 因为 cos 2 A ? 2cos A ? 1 ? ? , 又 0 ? A ? , 3 2
由正弦定理 所以 cos A ?

3 6 , sin A ? 3 3

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 . 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍).

1 5 2 . S?ABC ? bc sin A ? 2 2

???????12 分

(17)解:(Ⅰ)由直方图知,所打分值在 ?6,10? 的频率为 0.175 ? 2+0.150 ? 2=0.65 . 所以所打分值在 ?6,10? 的客户的人数 为 0.65 ? 100=65 人……………….4 分 (Ⅱ)由直方图知,第二、三组客户人数分别为 10 人和 20 人,所以抽出的 6 人中,第二 组有 2 人,设为 A,B;第三组有 4 人,设为 a,b,c,d. 从中随机抽取 2 人的所有情况如下: AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 种. ……………… 8 分 其中 ,两人来自 不同组 的情况有 : Aa , Ab , Ac , Ad , Ba , Bb , Bc , Bd 共 有 8 种, 所以,得到奖励的人来自不同组的概率为 ………………………10 分

8 . 15

……………………12 分

2 (18)解: (Ⅰ)因为等差数列{ an }的公差 d ? 2 ,由题知: b2 ? b1b3 ,

所以 a1 (a1 ? 24) ? (a1 ? 6) ,解之得 a1 ? 3
2

得 an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 ,

设等比数列{ bn }的公比为 q ,则 q ?

b2 a4 ? ? 3 ,所以 bn =3n. b1 a1
???????????????6 分

于是 S n ?

3 ? (1 ? 3n ) 3 n ? (3 ? 1) 1? 3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn ? n(n ? 2) ,所以 因此 Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) Sn n(n ? 2) 2 n n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ?1 n n?2
1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n? 1 n? 2 3 n ?2 3 ??????12 分 ? ? 4 n 2? ( n 1? )( 2)

?

(19)证明:(Ⅰ)因为 ?ABE 为等边三角形, O 为 BE 的中点, 所以 AO ? BE . 又因为平面 ABE ? 平面 BCDE ,平面 ABE ? 平面 BCDE ? BE ,

AO ? 平面 ABE ,所以 AO ? 平面 BCDE .
又因为 CD ? 平面 BCDE , 所以 AO ? CD .???????????????????????6 分 (Ⅱ)连结 BD ,因为四边形 BCDE 为菱形, 所以 CE ? BD . 因为 O, F 分别为 BE, DE 的中点, 所以 OF // BD ,所以 CE ? OF . 由(Ⅰ)可知, AO ? 平面 BCDE . 因为 CE ? 平面 BCDE ,所以 AO ? CE . 因为 AO ? OF ? O ,所以 CE ? 平面 AOF . 又因为 CE ? 平面 ACE , 所以平面 AOF ? 平面 ACE .???????????????????12 分 (20)解:(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0,1? ? ?1 , +?? .
2 又由题意有: f ?(e ) ?

f ?( x) ?

m(ln x ? 1) , (ln x) 2

2x m 1 ? ,所以 m ? 2, 故 f ( x) ? . ln x 4 2

此时, f ?( x) ?

2(ln x ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? e , (ln x) 2

所以函数 f ( x) 的单调减区间为 (0,1) 和 (1, e) .?????????????5 分 (Ⅱ)要 f ( x) ?

2x k k 2x k ? ?2 x ? ? ?2 x . ? 2 x 恒成立,即 ln x ln x ln x ln x ln x

①当 x ? (0,1) 时, ln x ? 0 ,则要: k ? 2 x ? 2 x ? ln x 恒成立, 令 g ? x ? ? 2 x ? 2 x ? ln x ,则 g ? ? x ? ?

2 x ? ln x ? 2 x

令 h ? x ? ? 2 x ? ln x ? 2 ,则 h? ? x ? ?

x ?1 ?0 x
h( x ) ? 0, x

所以 h( x) 在 (0,1) 内递减,所以当 x ? (0,1) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,故 g ?( x) ? 所以 g ( x) 在 (0,1) 内递增, g ( x ) ? g (1) ? 2 .故 k ? 2 . ②当 x ? (1,??) 时, ln x ? 0 ,则要: k ? 2 x ? 2 x ? ln x 恒成立, 由①可知,当 x ? (1,??) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 (1,??) 内递增, 所以当 x ? (1,??) 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,故 g ?( x) ?

h( x ) ? 0, x

所以 g ( x) 在 (1,??) 内递增, g ( x ) ? g (1) ? 2 .故 k ? 2 . 综合①②可得: k ? 2 ,即存在常数 k ? 2 满足题意. ??????????????13 分 (21)解: (Ⅰ)由抛物线的方程 y ? 4 x 得其焦点为 ?1,0 ? ,所以的椭圆中 c ? 1 ,
2

当点 M 为椭圆的短轴端点时, ?MF 1F2 面积最大,此时 S ?

1 ? 2c ? b ? 1 ,所以 b ? 1 . 2

M 为椭圆上任意一点, ?MF1F2 面积的最大值为1 . ,F 1 , F2 为椭圆的左、右焦点.
所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ??????????????4 分 2

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 (Ⅱ)联立 ? 2 得 ?1+2k ? x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ?
?= 1 6 k 2 m 2 ? ?4 2 k 2 ? ??1 m 2 2 ?? ?2 8 ? 2k 2 ? m 2 ? 1? ? 0 ,得 1 ? 2k 2 ? m2 (*)

设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?

4km 2m 2 ? 2 , , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k1 ? (i)

y2 kx ? m kx ? m kx2 ? m y1 kx ? m ? 1 ? 2 + =0 , , k2 ? , 由 k1 + k2 =0 , 得 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

2m2 ? 2 ? 4km ? 所以 2kx1x2 ? ? m ? k ?? x1 +x2 ? ? 2m ? 0 ,即 2k ? ? ?m ? k ?? ? ? 2m ? 0 , 2 2 ? 1 ? 2k ? 1 ? 2k ?
得 m ? ?2k . 故直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,因此直线 l 恒过定点,该定点坐标为 ? 2,0 ? ??????????????9 分

(ii)因直线 l 的斜率是直线 OA , OB 斜率的等比中项,所以 kOA ? kOB ? k ,即
2

y1 y2 ? k2 . x1x2

(kx1 ? m)(kx2 ? m) 4k 2 m 2 2 2 ? k 得 , 得 km ? x1 ? x2 ? ? m ? 0 , 所以 ? ? m 2 ? 0 ,又 m ? 0 , 2 1 ? 2k x1 x2
所以 k ?
2

1 2 , 代入(*) ,得 0 ? m ? 2 . 2

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 = 3 2 ? m2 .
设 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 为 d , 则 d ?

?

?

m 1? k 2

?

2m 3



所 以
2

S?AOB

2m 1 1 2 2 ? m2 ? 2 ? m2 ? 2 ? ? AB ? d ? 3 ? 2 ? m2 ? = m2 ? 2 ? m2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2 2 3 ?
2 2

当且仅当 m ? 2 ? m ,即 m ? 1? ? 0,2? 时, ?AOB 面积取到最大值
2

2 . 2

故 ?AOB 面积的取值范围为 ? 0,

? ? ?

2? ?. 2 ?

??????????????14 分


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