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曲线与方程


第八节

曲线与方程

一、曲线与方程的定义 在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合 或轨迹 )上的点与一个二元方程 f (x ,y)= 0 的实数解建立了如下的关 系: 1.曲线上的点的坐标都是 这个方程的解 ; 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线(图

形).

1.方程 x2+xy=x 的曲线是( A.一个点 C.两条直线

) B.一条直线 D.一个点和一条直线

解析:方程变为 x(x+y-1)=0, ∴x=0 或 x+y-1=0. 故方程表示直线 x=0 或直线 x+y-1=0. 答案:C

2.方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是(

)

解析:方程 x2+y2=1 表示以原点为圆心,半径为 1 的单位圆, 而约束条件 xy<0 则表明单位圆上点的横、 纵坐标异号, 即单位圆位 于第二或第四象限的部分. 答案:C

3.若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第 二象限内,则 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(1,+∞) ) B.(-∞,-1) D.(2,+∞)

解析: 曲线 C 化为(x+a)2+(y-2a)2=4, 表示以(-a,2a)为圆心, 以 2 为半径的圆.要使曲线上的所有点均在第二象限内,则需 a>0, ? ? ?2a>2, ∴a>2. ? ?a>2, 答案:D

三、圆锥曲线的共同特征 共同特征:圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直 线的距离之比为定值 e.当 0<e<1 时, 圆锥曲线是 椭圆 ; 当 e>1 时,
双曲线 ;当 e=1 时,圆锥曲线是 抛物线. 圆锥曲线是

4.设 k>1,则关于 x,y 的方程(1-k)x2+y2=k2-1 表示的曲线 是( ) A.长轴在 y 轴上的椭圆 B.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 y 轴上的双曲线 D.实轴在 x 轴上的双曲线 y2 x2 解析: 原方程可化为 2 - =1.∵k>1, ∴k2-1>0, k+1>0, k - 1 k+ 1 ∴方程表示实轴在 y 轴上的双曲线. 答案:C

四、求动点的轨迹方程的一般步骤 1. 建系 ——建立适当的坐标系. 2. 设点 ——设轨迹上的任一点 P(x,y). 3. 列式 ——列出动点 P 所满足的关系式.
代换 ——依条件式的特点,选用距离公式、斜率公式等转化 4.

为 x,y 的方程式,并化简.
证明 ——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 5.

5.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 ) B.椭圆 D.抛物线

解析:由题意可知点 P 到直线 x=-2 的距离等于它到点(2,0)的 距离,所以点 P 的轨迹是抛物线. 答案:D

6.已知实数 m,n 满足 x2+y2=1,则 P(m+n,m-n)的轨迹方 程是________. x+ y ? ?m= 2 , ? ?m+n=x, 解析:令? 得? x- y ? ?m-n=y, ?n= , 2 ? 又∵m2+n2=1,得 x2+y2=2. 答案:x2+y2=2

考点一

用直接法求轨迹方程

已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距 离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. 【思路点拨】 在建立坐标系时,一般应当充分利用已知条件 中的定点、定直线等,这样可以使问题中的几何特征得到更好的表 示,从而使曲线方程的形式简单一些. 【自主试解】 如图所示,取直线 l 为 x 轴,过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 y 轴,建 立坐标系 xOy.

设点 M(x,y)是曲线上任意一点,作 MB⊥x 轴,垂足为 B,那 么点 M 属于集合 P={M||MF|-|MB|=2}. 由两点间的距离公式,点 M 适合的条件可表示为 x2+?y-2?2-y=2,① 将①式移项后两边平方,得 x2+(y-2)2=(y+2)2, 1 化简得 y= x2. 8 因为曲线在 x 轴的上方,所以 y>0. 虽然原点 O 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线, 1 2 所以曲线的方程应是 y= x (x≠0). 8

变式 1:已知两点 A ( -3,0),B (3,0),点 M 为直角坐 → → → → 标平面内的动点,且满足|AB |· |AM |+AB · BM =0,则动点 M (x ,y)的轨迹方程为( A.y2=12x C .y2=6x ) B.y2=-12x D.y2=-6x

1.两个定点的距离为 6,点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26,则点 M 的轨迹是________. 解析:建立如图所示的平面直角坐标系, A(-3,0),B(3,0),设 M(x,y),由题设知 [ ?x+3?2+y2]2+[ ?x-3?2+y2]2=26, 化简得 x2+y2=4, 所以点 M 的轨迹是半径为 2 的圆. 答案:半径为 2 的圆.

考点二

用定义法求轨迹方程

已知两个定圆 O1 和 O2, 它们的半径分别是 1 和 2, 且|O1O2| =4.动圆 M 与圆 O1 内切,又与圆 O2 外切,建立适当的坐标系,求 动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线. 【思路点拨】 建立适当的直角坐标系,再寻求动点 M 满足的

几何条件,最后由定义法求轨迹方程. 【自主试解】 如图所示,以 O1O2 的中

点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴建立平面 直角坐标系.由|O1O2|=4, 得 O1(-2,0)、O2(2,0).设动圆 M 的半径为 r,则

由动圆 M 与圆 O1 内切, 有|MO1|=r-1; 由动圆 M 与圆 O2 外切, 有|MO2|=r+2. ∴|MO2|-|MO1|=3. 又∵3<|O1O2|=4, ∴点 M 的轨迹是以 O1、 O2 为焦点, 实轴长为 3 的双曲线的左支. 3 7 2 2 2 ∴a= ,c=2,∴b =c -a = . 2 4 4x2 4y2 ∴点 M 的轨迹方程为 - =1(x<0). 9 7

变式 2:

已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆

C 与直线 MN 切于点 B, 过 M、 N 与圆 C 相切的两直线相 交于点 P ,求 P 点的轨迹方程. y2 x 2 3.已知双曲线 - =1 的两个焦点分别为 F 1 、F 2, 则 2 3 满足△ PF 1F 2 的周长为 6 + 2 ( ) x 2 y2 A. + =1 4 9 x 2 y2 C. + =1(x ≠0) 4 9 x 2 y2 B. + =1 9 4 x 2 y2 D. + =1(x ≠0) 9 4 5 的动点 P 的轨迹方程为

2.已知圆的方程为 x2+y2=4,若拋物线过点 A(-1,0)、B(1,0) 且以圆的切线为准线,则拋物线的焦点轨迹方程是________. 解析:设拋物线焦点为 F,过 A、B、O 作准线的垂线 AA1、BB1、 OO1, 则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4, 由拋物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA| +|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故 F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长 为 4 的椭圆(去掉长轴两端点). x2 y2 答案: + =1(y≠0) 4 3

考点三

用代入法求轨迹方程

例 3:已知直线 l:2x +4y+3=0,P 为 l 上的动点,O 为 → → 坐标原点,若 2OQ=QP,则 Q 的轨迹方程为________.

2 2 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 例 4:如图,设 P 是圆

P 在 x 轴上的摄影,M 为 PD 上一点,且

MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程

4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 C 所截线

段的长度

1.已知椭圆 9x 2+2y2=18 上任一点 P,由 P 向 x 轴作垂线 → =2MQ →, 段 PQ,垂足为 Q,点 M 在线段 PQ 上,且PM 则 点 M 的轨迹方程为______________. 2. 如图所示,一动圆与圆 x 2+y2+6x +5=0 外切,同时与 圆 x 2+y2-6x -91=0 内切,求动圆圆心 M 满足的方程, 并说明它是什么样的曲线.

3.M 是抛物线 y2=x 上一动点,以 OM 为一边(O 为原点),作 正方形 MNPO,求动点 P 的轨迹方程. 解析:设动点 P(x,y),M(x0,y0) ∵正方形 MNPO, ∴|OM|=|OP|,OP⊥OM.
2 2 2 2 x + y = x + y ? 0 0 ? ① ∴有? y y0 ② =-1 ? x0 ? x·

又点 M(x0,y0)在抛物线 y2=x 上,
2 ∴y0 =x0.③

x 0x 由②得:y0=- y 代入③,
2 x2 0x 得 x0= 2 , y

y2 ∴x0= 2④ x
2 2 将③代入①,得 x2 0+x0=x +y ⑤

y4 y2 将④代入⑤,得: 4+ 2=x2+y2, x x 化简,得 y2=x4. ∴x2=± y(y≠0)为所求方程.

从高考试题来看,求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之 一,是高考中的一个热点题型,一般与平面向量相结合,多考查直 接法与定义法. 从形式上看多为解答题,难度中等,注意逻辑思维能力,运算 能力的考查,预测 2013 年仍以直接法、定义法为主进行考查.

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