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杭州下城培训机构新王牌教育 1.1正弦定理和余弦定理习题课

时间:2016-02-28


§1.1 正弦定理和余弦定理 习题课

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题型分类 深度剖析
题型一 正弦定理的应用
【例1】 (1)在△ABC中,a= 3 ,b= 2 ,B=45°. 求角A、C和边c;

(2)在△ABC中,a=8,B=60°,C=75°.求边b 和c; (3)在△ABC中,a,b,

c分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知
b sin B 的值. c 思维启迪 已知两边及一边对角或已知两角及

ac-bc,求∠A及

ac ? b

2

,且a2-c2=

一边,可利用正弦定理解这个三角形,但要注 意解的个数的判断.
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题型二

余弦定理的应用

【例2】 在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C cos B b ?? . 的对边,且 cos C 2a ? c

(1)求角B的大小;
(2)若b= 13,a+c=4,求△ABC的面积.
思维启迪

由 cos B ? ? b , 利用余弦定理 cos C 2a ? c

转化为边的关系求解.
2 2 2 a ? c ? b 解 (1)由余弦定理知: cos B ? , 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab
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知能迁移2 已知△ABC中,三个内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且 2S=(a+b)2-c2,求tan C的值. 解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C.

所以,absin C=2ab(1+cos C),
即sin C=2+2cos C,

C C 2 C 所以2 sin cos ? 4 cos , 2 2 2 C 化简得 : tan ? 2. 2 C 2 tan 2 ? ? 4. 从而 tan C ? 3 2 C 杭州下城培训机构新王牌教育 1 ? tan 2

题型三

三角形形状的判定

【例3】 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=
(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.
思维启迪 利用正弦定理、余弦定理进行边角

互化,转化为边边关系或角角关系.
解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)]

=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为:
2Bcos Bsin A sin2Acos Asin B =sin 杭州下城培训机构新王牌教育

知能迁移3

在△ABC中,已知2sin Acos B=
) B.等腰三角形 D.正三角形 因为在△ABC中,A+B+C=π ,

sin C,那么△ABC一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 解析 方法一

即C=π -(A+B),所以sin C=sin(A+B).
由2sin Acos B=sin C, 得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.

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题型四

正、余弦定理的综合应用

【例4】 (12分)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,
C的对边,且满足(2a-c)cos B=bcos C. (1)求角B的大小; (2)若b=

7,a+c=4,求△ABC的面积.

思维启迪 (1)用正弦定理,将边用角代换后求解. (2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.



(1)在△ABC中,由正弦定理得:

a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C,

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知能迁移4

(2008·辽宁理,17)在△ABC中,

内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2,C ? ? . 3 (1)若△ABC的面积等于 3 ,求a、b的值; (2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的 面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4. 又因为△ABC的面积等于 3 , 1 所以 absin C= 3 ,所以ab=4. 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?a ? 2, 联立方程组? 解得? b ? 2. ? 4, ? ?ab 杭州下城培训机构新王牌教育

11.在△ABC中,角A、B、C 所对边长分别为a、b、c, c 1 设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和 ? ? 3, 求角A b 2 和tan B的值.

1 ? 即cos A ? , 又0 ? A ? ? ,? A ? . 2 3 c 1 sin C 1 又 ? ? 3, ? ? 3, b 2 sin B 2 2? C ?? ? A? B ? ? B, 3 2? 1 ? sin( ? B) ? ( ? 3) sin B, 3 2 3 1 1 整理得 cos B ? sin B ? sin B ? 3 sin B. 2 2 2 1 1 ? cos B ? sin B,杭州下城培训机构新王牌教育 则 tan B ? . 2 2
2 2 2 b ? c ? a 1 由b2+c2-bc=a2,得 ? , 2bc 2

12.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, A? B 7 已知a+b=5,c= 7 ,且 4 sin 2 ? cos 2C ? . 2 2 (1)求角C的大小;
(2)求△ABC的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°,

A? B 7 ? cos 2C ? , 2 2 7 2C 得4 cos ? cos 2C ? , 2 2 1 ? cos C 7 2 ?4? ? (2 cos C ? 1) ? , 2 2 由4 sin 2
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