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2014年广东省高中数学竞赛(高数联预赛)试题参考答案


2014 年广东省高中数学竞赛试题参考答案
题 号 (考试时间:2014 年 6 月 21 日上午 10:00-11:20) 二 一 9 10 11 合 计

得 分 评卷人 复核人 注意事项:
1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1. 设集合 A ? x ax ? 2 ? 0 , B ? ?? 1,2?, 满足 A ? B , 则实数 a 的所有可能取值为 解:当 A ? ? 时, a ? 0 ;当 A ? ? 时, A ? ?? ? , ? 故应填 ?1, 0, 2 . 2.袋中装有大小、 形状相同的 5 个红球,6 个黑球, 7 个白球,现在从中任意摸出 14 个球, 刚好摸到 3 个红球的概率是 . 解: P ?
3 11 C5 C13 13 13 ? ,故应填 . 14 51 C18 51

?

?



? 2? ? a?

2 ? ?1 或 2 ,即 a ? 2 或 ?1 a

?1 3 ? ? 3.复数 ? ? ? 2 2 i? ? ?
6n

6n

?n ? N ? ? 的值是



6n ?1 3 ? ? ?? ? 解: ? ? cos ? i sin ? ? cos 2n? ? i sin 2n? ? 1 ,故应填1 . ? 2 2 i? ? ?? 3 3? ? ? ?

?1 ? x ? y ? 3, 2 4.已知 ? 则 2 x ? 3 y 的最大值是 ?? 1 ? x ? y ? 1.
解:令 2 x ? 3 y ? ?3b ,则 y ?
2

y



2 2 x ?b 3

当 x ? 2, y ? 1 时, 2 x ? 3 y
2

?

?

max

? 5 ,故应填 5 .

O

x

b

5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 14, a1a2 a3 ? 343,则数列 ?an ? 的通项公式为 .

7 ? 2 ? ? a2 ? a3 ? 14, ? a1q ? a1q ? 14, ?a1 ? , 解: ? ,即 ? ,解之 ? 3 3 3 ? a1a2 a3 ? 343. ? ? ?a1 q ? 343. ?q ? 3.
7 an ? a1q n ?1 ? ? 3n ?1 ? 7 ? 3n ? 2 ,故应填 an ? 7 ? 3n?2 . 3
6.已知 ? 为锐角,向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?1,?1? 满足 a ? b ?

2 2 ,则 3

5? ? ? sin?? ? ?? 12 ? ?
解: 0 ?



? 2 2 ?? 2 ? ? a ? b ? cos ? ? sin ? ,即 cos ? ? ? ? ? ,且 0 ? ? ? 4 3 4? 3 ?

?? ?? 4 5 ? ? . sin ? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 4? 4? 9 3 ? ?
5? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 12 ? 4? 6? 4? 6 4? 6 ? ? ? ??
? 5 3 2 1 15 1 15 1 ? ? ? ? ? ,故应填 ? . 3 2 3 2 6 3 6 3
2 2

7.若方程 x ? xy ? 2 y ? x ? a ? 0 表示两条直线,则 a 的值是 解:令 x ? xy ? 2 y ? x ? a ? ? x ? y ? m?? x ? 2 y ? n ? ,则
2 2



1 ? ?m ? 3 ?m ? n ? 1 ? 2 2 ? ? ? n ? 2m ? 0 ,解之 ? n ? ,故应填 . 3 9 ? ? mn ? a ? 2 ? ?a ? 9 ?
8. 已知

?

2 ?1

?

21

? a?b 2, 其中 a 和 b 为正整数, 则 b 与 27 的最大公约数是
n n



解:令 an

?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ?
2 2

,则 an?1 ? 2an ? an?1 , a1 ? 1, a2 ? 2 ,

2 2 ? 3? ? 23 ? mod 27 ? , a3n ? an 8an ? 3 ? ?1? , b ? a21 ? a7 ? 8a7 n

?

?

?b,27? ? ? a21,27? ? ? 23,27? ? 1 ,故应填1 .
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9. (本题满分 16 分) 得分 评卷人 矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 4 , E , F 分别在 AD, BC 上, 且 AE ? 1, BF ? 3 , 将四边形 AEFB 沿 EF 折起, 使点 B 在 平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.求二面角 A ? DE ? F 的大小. B

A

E

D

A

B

F

C

H E F C D

解:如图 1 ,延长 FE、 BA 相交于点 O , 连结 OH ,过 A 作 AG ? OH , 垂足为 G , 则

AG ? 平面CDEF ,过 G 作 GQ ? EH ,垂足为 Q ,连结 AQ ,则由三垂线定理可得
AQ ? EH , ?AQG 为二面角 A ? DE ? G 的平面角. ?AGE 与 ?BHF 关于点 O 位似,
位似比为

1 , GH ? 2OG , BH ? 3 AG . 3
B

O G

A

A Q

E H P

D

O E

G

Q P

H D F C

B

F

C

图1

图2

如图 2, BP ?

OF 3 9 1 , PH ? PE ? BE 2 ? BP 2 ? 5 ? ? ; ? 2 2 2 2

如图 1, BH ?

BP 2 ? PH 2 ?

9 1 2 2 ? ? 2 , AG ? ,又图 2 知 GQ ? , 3 3 2 2


即 AG ? GQ ,于是 ?AQG ?

?

4 3? 故二面角 A ? DE ? F 的大小为 . 4
10. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 过椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 25 16

A、B 两点,已知 AB ? 8 ,试求直线 AB 的方程.

? x12 y12 ? ?1 ? ? 25 16 解:令 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 AB 的斜率为 k ,则 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? 25 16
两式相减并整理得 k

y1 ? y2 16 ?? x1 ? x2 25
10 3 ? 25 ? 3 ? 25 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? 得 x1 ? x2 ? 3 5? 3 ? 5? 3 ?

由 8 ? AB ? AF ? BF ?

32 y1 ? y2 ? 2 5 2 又k ? ? 15k 解得 k ? ? x1 ? x2 10 5 ?6 ?3 3 2 32 ? 8 不合题意, 若 k 不存在,则 AB ? 5
故所求直线 AB 的方程为 y ? ?

2 5 ? x ? 3? . 5

11. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 数 a 的取值范围. 已知不等式 ?1 ?

? ?

1? ? n?

n?a

? e 对任意正整数 n 都成立,试求实

? 1? 解:由 ?1 ? ? ? n?

n?a

? e得a ? n?

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? n?

,令 f ? x ? ? x ?

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? x?

? x ? 0 ? ,则

1 ? 1 x2 1? 1 x , f '? x? ? 1? ? 1? 1? 1? 2? 2 2? ln ?1 ? ? 1? ? ? x ? x ? ln ? ? x? ? x?
利用不等式 0 ? ln ?1 ? 从而 f ? x ? ? x ?

1

? ?

1? ?? x?

1 x ?x
2

? x ? 0? 得 f ' ? x? ? 0 ,
1 1 ,则 x ? , x t ?1

1 ? 1? ln ?1 ? ? ? x?

? x ? 0 ? 是减函数,令 t ? 1 ?

1 ?1 1 ? ln t ? t ? 1 1? t ? 1 t lim f ? x ? ? lim ? ? ? lim ? lim ? lim ? x ??? t ?1 t ? 1 ln t ? t ?1 t ln t ? ln t t ?1 ln t ? 1 ? 1 t ?1 t ln t ? t ? 1 ? t ?1 1 ? lim ?? . t ?1 ln t ? 1 ? 1 2 1 故实数 a 的取值范围为 a ? ? . 2


n? n?a ? e 对任意正整数 n 都成立,试求实 2014 年广东省高中数学竞赛试题参考答案题 号 (考试时间:2014 年 9 月 21 日上午 10:00-11:20) 二一 9...

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