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志鸿同步测控设计2015-2016学年北师大版数学选修2-2 4.2 微积分基本定理


§2 微积分基本定理

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HONGNAN JVJIAO

D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI

UIT

ANGYANLIAN

1.理解微积分基本定理的含义. 2.掌握基本函数的积分求法.

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1.函数的原函数 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F'(x),通常称 F(x)是 f(x) 的一个原函数. 2.微积分基本定理 如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数,即 f(x)=F'(x),则有 f(x)dx=F(b)-F(a).定理中的式子称为牛顿-莱布尼茨公式. 在计算定积分时,常常用记号 F(x) 来表示 F(b)-F(a),于是牛顿-莱布尼 茨公式也可写作


f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).

|



|



求导数运算与求原函数运算互为逆运算.在微积分基本定理中,函数 F(x)叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.因为 f(x)=(F(x)+c)',所以 F(x)+c 也是函数 f(x)的原函数. 若 f(x)在[-a,a]上连续,且为偶函数,则有 - f(x)dx=2 0 f(x)dx;若函数 f(x) 在[-a,a]上连续且为奇函数,则有
-

f(x)dx=0.
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【做一做 1-1】 A.-1 C.
1 2 1 2
2 1 dx= 1 2

2 1 dx 1 2

等于(

)

B.1

1 2

D.1
1 2

解析: = -

|1

2

-(-1)= .

答案:C

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【做一做 1-2】 (sin x+cos x)dx 等于( -π A.0 B.-1 C.1 D.2 π 解析: -π (sin x+cos x)dx =
π

π

)

sin xdx+ -π

π

=(-cos x)

|

π



cos xdx
π



+sin x

| -π

=0+0=0. 答案:A

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1.牛顿-莱布尼茨公式的几何意义是什么? 剖析:如图所示,对于函数 y=F(x),分割区间[a,b].

a=x0<x1<…<xn-1<xn=b. 在区间[xi-1,xi]上,由近似公式
n =1 i=1

Δ Δyi≈ ·Δxi=F'(xi)Δxi, Δ

于是 F(b)-F(a)= ∑ Δyi≈ ∑ F'(xi)Δxi. 将区间[a,b]无限细分,逼近,得 F(b)-F(a)= F'(x)dx.
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2.微积分基本定理的简单应用及需要注意的问题 剖析:(1)微积分基本定理提供了计算定积分的有效方法,避免了用定义 求解定积分的复杂运算,其应用十分广泛.常见的有求平面曲边梯形的面积、 变速运动物体的行程、变力所做的功等. (2)在解决上述问题时,可利用数形结合的方法,作出 y=f(x)的草图后再 求解. 如若 f(x)<0,则 f(x)dx<0,此时其相反数才是其平面图形的面积.

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题型一

题型二

题型三

题型一 由微积分基本定理求定积分

【例 1】 计算下列定积分: (1) (2) (1+x+x2)dx. 分析:直接应用微积分基本定理及其运算性质解决此题. 解:(1) =
2 1 2 1 2 1 3 1

+ -

1 1 2

dx;

+ -

xdx+

1 2 2 1 = x +ln x + 2 1 1 1 1 1 = ×(4-1)+ln 2+ -1 2 2

|

2 1 2 1 d xdx 1 1 2 2 2

1 1 2

dx

|

|

=1+ln 2. 1dx+
44 3
3 1

3 3 2 (1 +x+x )d x= 1 1 1 1 3 3 3 =x|1 + x2|1 + x3|1 2 3

(2)

xdx+

3 1

x2dx

=(3-1)+ (32-12)+ (33-13)= .
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1 2

1 3

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题型一

题型二

题型三

反思牛顿-莱布尼茨公式揭示了导数和定积分的内在联系,从而把被积函 数为连续函数的定积分计算问题化成了求被积函数的原函数问题,这就要 求熟练掌握导数的计算公式,学会逆运算.

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题型二

题型三

【变式训练 1】 求下列函数的定积分: (1) (2)
2 1 9 4


2 1 2

1 2 + dx;

(1+ )dx.
1 2 + dx 1 + 2 + 2 dx
2 1

解:(1) = =
2 1 2 1



x2dx+

2dx+

1 3 1 1 = ×(23-13)+2×(2-1)- -1 3 2 29 = . 6
2 2 = x3|1 +2x|1 +

2 1 dx 1 2 1 2 - |1

(2) =

2 3 2 = × 3 271 = . 6

9 4

(1+ )dx= + 2 |9 4
1 2 1 2

9 4

( +x)dx
2 × 3

9 × 3 + × 92 ?

4 × 2 + × 42
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1 2

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题型三

题型二

求分段函数的定积分

3 ,∈[0,1], 【例 2】 求函数 f(x)= ,∈(1,2),在区间[0,3]上的积分. 2 ,∈[2,3] 分析:f(x)在[0,3]上的积分可按照 f(x)的分段标准,分成[0,1],(1,2),[2,3]三 段的积分的和. 3 1 2 3 解:由积分性质知 0 f(x)dx= 0 f(x)dx+ 1 f(x)dx+ 2 f(x)dx =
4 1 2 3 = |0 + + |2 4 ln2 1 4 2 8 4 = + 2? + ? 4 3 3 ln2 ln2 5 4 4 =- + 2 + . 12 3 ln2
1 0

x3dx+

2 1 3 2 2 2 |1 3

dx+

3 2

2xdx

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题型一

题型二

题型三

反思 1.分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式. 2.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即按照原函数分段的 情况分就可以.

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【变式训练 2】 求定积分
2

4- 2 ,0 ≤ ≤ 2, 解:∵y=|x -4|= 2 -4,2 ≤ ≤ 3, 3 2 3 ∴ 0 |x2-4|dx= 0 (4-x2)dx+ 2 (x2-4)dx
3 2 3 = 4|0 + -4 |3 2 3 3 8 27 8 = 8- + -12 ? -8 3 3 3 23 = . 3

3 0

|x2-4|dx.

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题型三

定积分中的参数问题

【例 3】 已知 解: =
1 0 1 0

1 0

(3ax+1)(x+b)dx=0,a,b∈R,试求 a· b 的取值范围.

(3ax+1)(x+b)dx
1 2

[3ax2+(3ab+1)x+b]dx
1 2

= 3 + (3 + 1) 2 + |1 0 =a+ (3ab+1)+b=0. 即 3ab+2(a+b)+1=0. 设 a· b=t,∴a+b=3+1 . 2 3+1 x2+ x+t=0 2

∴a,b 为方程
2

的两个根.

(3+1) ∴Δ= 4 -4t≥0, 1 解得 t≤ 或 t≥1. 9 1 ∴a · b∈ -∞, ∪[1,+∞). 9
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反思求解定积分中的参数问题,其一般方法是根据题设条件,列出方程或 方程组,然后再求出参数的值或取值范围.

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1 0

【变式训练 3】 已知函数 f(x)是一次函数,其图像过点(3,4),且 f(x)dx=1,求 f(x)的解析式. 解:设 f(x)=kx+b(k≠0). ∵函数的图像过点(3,4), ∴3k+b=4. 1 1 ∵ 0 f(x)dx= 0 (kx+b)dx
2 + 2 ∴2+b=1.



=

|1 = +b, 0

2


6 5 2 5

由①②可得 k= ,b= .

∴f(x)=5x+5.

6

2

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1

2

3

4

5

6

1 A.-13 2 1 e

0 -1

(x-ex)dx 等于( B.-1
3 2

)

C.- + 解析:

1 e 1 2 -e 2

D.-

'=x-ex,利用微积分基本定理可解决.

答案:C

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1

2

3

4

5

6

2 由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围图形的面积是 解析:根据定积分的概念,得 答案:2ln 2 2-ln =2ln 2.
1 2

1 2

1 2 1 dx=ln 1 2

.

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1

2

3

4

5

6

3 计算定积分 答案:
2 3

1 -1

(x2+sin x)dx=

.

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1

2

3

4

5

6

4若


2 3 解析: 0 (2x-3x2)dx=(x2-x3)| =k -k =0,解得 k=1 或 k=0(舍去).故 k=1. 0 答案:1

0

(2x-3x2)dx=0(k≠0),则 k=

.

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1

2

3

4

5

6

5 求定积分: 1 (1) 0 4x3dx; (2) (3)
5 d ; 2 0
π 2

sin xdx.


分析:利用微积分基本定理解决,其中计算定积分 足 F'(x)=f(x)的函数 F(x). 解:(1)

f(x)dx 的关键是找到满

|0 =1-0=1; 5 5 d 5 (2) 2 =ln x| =ln 5-ln 2=ln ; 2 2 (3) 0 sin xdx=-cos x| 0
1 0

4x dx=x

3

4

1

π 2

π 2

=- cos -cos0 =1.

π 2

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1

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3

4

5

6

6 设 f(x)连续,且 f(x)=x+2 解:设 a= =
1 0

1 0

f(t)dt,求 f(x).

f(t)dt,则 f(x)=x+2a.
1 0

两端积分,得

f(x)dx=

1 2 1 + 2 |1 = +2a, 0 2 2 1 1 则 a= +2a,a=- . 2 2

1 0

(x+2a)dx

所以 f(x)=x-1.

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