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经典高考试题分类汇编:数列

时间:2017-10-13


2012 高考试题分类汇编:数列
一、选择题 1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A 2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , S n ? 2an ?1 ,,则 S n ? (A) 2 n ?1 【答案】

B
3 (B) ( ) n ?1 2 2 (C) ( ) n ?1 3

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ??? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? (

) C、14 D、21

A、0 【答案】D.

B、7

(B)2

(C) 4

(D)8

7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 a n ? cos A.1006 【答案】A. B.2012 C.503 D.0

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于 2

(D)

1 2 n ?1

8.【2102 高考北京文 6】已知为等比数列,下面结论种正确的是 (A)a1+a3≥2a2 【答案】B
2 2 (B) a12 ? a3 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2 ? 2a 2

3.【2012 高考新课标文 12】数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 【答案】D 4.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 【答案】B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.【2012 高考湖北文 7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给 定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x? ;②f(x)=2x;③ (x)=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ ;④f (B) 16 (C) 20 (D)24 (B)3660 (C)1845 (D)1830

9.【2102 高考北京文 8】某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记 录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为

(A)5(B)7(C)9(D)11 【答案】C

二、填空题 10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 ? 【答案】15

7. 【答案】C 6.【2012 高考四川文 12】设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,

11. 【2012 高考新课标文 14】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3+3S2=0, 则公比 q=_______ 【答案】 ? 2

【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 2 1 n ? n 4 4 1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

17.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 【答案】
1 4

.

12.【2012 高考江西文 13】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意 的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

【答案】11
1 为公比的等比数列,体 2

三、解答题 18.【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,

13.【2012 高考上海文 7】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 积分别记为 V1 , V2 ,..., Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】 (1) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2n 2 ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

8 【答案】 。 7 1 【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项, 为公比的等比数列, 8 1 1? n 8 8 = 8 (1 ? 1 ) ,∴ ∴ V1 + V2 +…+ Vn = 。 n 1 7 7 8 1? 8 1 14. 【 2012 高考上海文 14 】已知 f ( x) ? ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 1? x

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1 ,n∈N﹡. (2)由(1)知 anbn ? (4n ? 1) ? 2n ?1 ,n∈N﹡ 所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ? 11? 22 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2 n ?1 ,

an ? 2 ? f (an ) ,若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是
3 ? 13 5 【答案】 。 26

2Tn ? 3 ? 2 ? 7 ? 22 ? 11? 23 ? ... ? ? 4n ? 1? ? 2 n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ? 1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
1 ,S2=a3,则 2
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.

15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 , 则数列{an}的公比 q = _____________________. 【答案】2 16.【2102 高考北京文 10】已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? a2=______,Sn=_______。

19.【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

, n ? N *,
? ? ? 是等差数列; ? ?

(1)设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1

(2)设 bn ?1 ? 2 ?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an
b a ?b ? 1 ? n ,∴ an ?1 ? n n = an an 2 ? bn 2
2

若 a1 ? 2 ,则 又由 a n ?1 ?

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1

a n ? bn a n ? bn
2 2

【答案】解: (1)∵ bn ?1

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

即 a1 ?

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1





∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。
2?

?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N * ? ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2 2
2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 a ? ?? n ? ? ?

∴ bn =
2

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。



∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
? bn ?1 ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证明 an ?1 an ? an ?

2

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

∴ 1 < an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

? 2。 (﹡)

(2)根据基本不等式得到 1 < an ?1 ? 公比 q =1 。

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =
a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an ?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1

从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn ?1 ? 2 ? 最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。 20. 【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分)

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an ?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,常数 ? ? 0 ,且 ? a1an ? S1 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 ∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg 【解析】
1 } 的前 n 项和最大? an

3 an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 3 3 ? ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2 ?? an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ?
3 3 ? 3 3 ? ? ( ) n ?1 a1 ? d ?1 ? ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ? 2 ? . 2 2 ? 2 2 ?

整理得

3 ? 3 ? an ? ( ) n ?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n ?1 ? 1? 2 ? 2 ?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 由题意, an ? 4000,? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

21.【2012 高考湖南文 20】 (本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投 入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求 企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表示). 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,
a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ? 3 a1 ? d , 2

? 3 n ? ( ) ? 2 ? ?1000 ? 1000(3n ? 2n ?1 ) 2 ? ? 解得 d ? ? . n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2
故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 000元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析 解决实际问题的能力.第一问建立数学模型, 得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 只要把第一问中的 an ?1 ?
3 an ? d 迭代,即可以解决. 2 3 第二问, an ? d , 2

1000(3n ? 2n ?1 ) 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为4 3n ? 2n

22.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列, 且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12,(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值。

? 2a1 ? 2d ? 8 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? ?2a1 ? 4d ? 12
所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ?
a 2 k ? a1S k ? 2

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n) n ? ? n(1 ? n) 2 2

因 a1 , ak , S k ? 2 成等比数列,所以

从而 (2k ) 2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。 23.【2012 高考陕西文 16】已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若 a 3 =
1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4 1 . 2

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , a k , a k ? 2 , a k ?1 成等差数列。 【答案】 【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ? 1? d 求解;有时需要 利用等差数列的定义: an ? an ?1 ? c ( c 为常数)或等比数列的定义:
an ? c ' ( c ' 为常数, an ?1

c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数
列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段 24.【2012 高考湖北文 20】 (本小题满分 13 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. 1.求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前 n 项和。 20. 【答案】 讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分) 已知{错误!未找到引用源。 }是等差数列,其前 n 项和为错误!未找到引用源。 , {错误! 未找到引用源。 }是等比数列,且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2,错误! 未找到引用源。,错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=10 (I)求数列{错误!未找到引用源。 }与{错误!未找到引用源。 }的通项公式; (II)记错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 , (n 错误! 未找到引用源。,n>2) 。 【答案】

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 7 2 m ,得 n ? 7 2 m ?1 , 即 bm ? 7 2 m ?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?
7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

27.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a 2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【答案】

(注意:在试题卷上作答无效 ) .........

n?2 an 。 3

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和
Sm .

【答案】 (I)由已知得: ?

?5a1 ? 10d ? 105, ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

2? 2? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 得:当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值, 3 2? 得: xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 。 3 2n? 2n? 。 S n ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 3 3 f ?( x) ? 0 ? 2k? ?

当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin S n ? sin(?2k? ) ? 0 , 当 n ? 3k ? 1(k ? N * ) 时, sin S n ? sin
2? 3 , ? 3 2 4? 3 , ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin S n ? sin

得: 当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin S n ? 0 , 当 n ? 3k ? 1(k ? N * ) 时, sin S n ?
3 , 2
3 。 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin S n ? ? 28.【2012 高考安徽文 21】 (本小题满分 13 分)
x 设函数 f(x) = + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {x n } . 2

(Ⅰ)求数列 {x n } 的通项公式; (Ⅱ)设 {x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】 【解析】 (I) f ( x) ?
x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 2 3

【2012 高考上海文 23】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小 题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ) ,即 bk 为 a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3, 5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? (2) 设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列, 满足 ak ? bm ? k ?1 ? C( C 为常数,k ? 1, 2,..., m ) , 求证:bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )
?1 ? ( 3 )设 m ? 100 ,常数 a ? ? ,1? ,若 an ? an 2 ? (?1) ?2 ?
n ( n ?1) 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,求

(b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 )
【答案】

【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,数列 ?S n ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2S n ? n 2 , n ? N* . (1)求 a1 的值;

(2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2 S1 ? 1 。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1 ,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, S n ? Tn ? Tn ?1 ? 2S n ? n 2 ? [2S n ?1 ? (n ? 1) 2 ] ? 2S n ? 2S n ?1 ? 2n ? 1 , 所以 S n ? 2S n ?1 ? 2n ? 1 所以 S n ?1 ? 2S n ? 2n ? 1 ① ②

② ? ①得 an ?1 ? 2an ? 2 , 所以 an ?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即
an ?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) , an ? 2 a2 ? 2 ? 2。 a1 ? 2

【2012 高考江西文 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 S n ? kc n ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ? k (c n ? c n ?1 ) 则 an ? S n ? S n ?1 ? k (c n ? c n ?1 )
a6 ? k (c 6 ? c 5 ) , a3 ? k (c 3 ? c 2 )

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n ?1 , 所以 an ? 3 ? 2n ?1 ? 2 , n ? N* 。 【2102 高考福建文 17】 (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项 的值相等的概率。

a6 c 6 ? c5 ? ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c 2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c 3 ? c 2
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2n (n ? N * )









(2) nan ? n 2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)
?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n2n ?1 Tn ? 2 ? (n ? 1)2n ?1

(1)-(2)得


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