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高一数学必修一第三单元测试


高一数学必修一第三单元测试
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.二次函数 f(x)=2x +bx-3(b∈R)的零点个数是( A.0 B.1 C.2 D.4 解析:∵Δ=b +4×2×3=b +24>0, ∴函数图象与 x 轴有两个不同的交点,从而函数有 2 个零点. 答案:C 1 2.函数 y=1+ 的零点是(

/>2 2 2

)

x

)

A.(-1,0) B.-1 C.1 D.0 1 解析:令 1+ =0,得 x=-1,即为函数零点.

x

答案:B 3.下列给出的四个函数 f(x)的图象中能使函数 y=f(x)-1 没有零点的是( )

解析:把 y=f(x)的图象向下平移 1 个单位后,只有 C 图中图象与 x 轴无交点. 答案:C 4.若函数 y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(-2,2)上仅有 一个实数根,则 f(-1)·f(1)的值( A.大于 0 B.小于 0 C.无法判断 D.等于零 )

解析:由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部. 答案:C 1 x 5.函数 f(x)=e - 的零点所在的区间是(

x

)

1 A.(0, ) 2 3 C.(1, ) 2

1 B.( ,1) 2 3 D.( ,2) 2

1 1 1 解析:f( )= e-2<0, f(1)=e-1>0,∵f( )·f(1)<0,∴f(x)的零点在区间( ,1)内. 2 2 2 答案:B 6.方程 log1x=2 -1 的实根个数是(
2

x

)

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

解析:方程 log1x=2 -1 的实根个数只有一个,可以画出 f(x)=log1x 及 g(x)=2 -1 的图象,两
2 2

x

x

曲线仅一个交点,故应选 B. 答案:B 7.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=0.1x -11x+3000,若每台产品 的售价为 25 万元,则生产者的利润取最大值时,产量 x 等于( A.55 台 B.120 台 C.150 台 D.180 台 解析:设产量为 x 台,利润为 S 万元,则 S=25x-y=25x-(0.1x -11x+3000) =-0.1x +36x-3000 =-0.1(x-180) +240,则当 x=180 时,生产者的利润取得最大值. 答案:D 8.已知α是函数 f(x)的一个零点,且 x1<α<x2,则( A.f(x1)f(x2)>0 B.f(x1)f(x2)<0 C.f(x1)f(x2)≥0 D.以上答案都不对 )
2 2 2 2

)

解析:定理的逆定理不成立,故 f(x1)f(x2)的值不确定. 答案:D 9.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每月用水不超过 8 吨, 按每吨 2 元收取水费,每月超过 8 吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费 20 元,则该职工这个月实 际用水( )

A.10 吨 B.13 吨 C.11 吨 D.9 吨 解析:设该职工该月实际用水为 x 吨,易知 x>8. 则水费 y=16+2×2(x-8)=4x-16=20, ∴x=9. 答案:D 10.某工厂 6 年来生产甲种产品的情况是:前 3 年年产量的增大速度越来越快,后 3 年年产量保 持不变,则该厂 6 年来生产甲种产品的总产量 C 与时间 t(年)的函数关系图象为( 答案:A 11.函数 f(x)=|x -6x+8|-k 只有两个零点,则( A.k=0 B.k>1
2

)

)

C.0≤k<1 D.k>1,或 k=0 解析:令 y1=|x -6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出 两函数图象可得选 D. 答案:D 12.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:
2

x y=2x

0.2 1.149

0.6 1.516

1.0 2.0

1.4 2.639

1.8 3.482

2.2 4.595

2.6 6.063

3.0 8.0

3.4 10.55

… …

6

y=x2

0.04
x
2

0.36

1.0

1.96 )

3.24

4.84

6.76

9.0

11.56



那么方程 2 =x 的一个根所在区间为( A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)

解析:设 f(x)=2 -x ,由表格观察出 x=1.8 时,2 >x ,即 f(1.8)>0; 在 x=2.2 时,2 <x ,即 f(2.2)<0. 综上知 f(1.8)·f(2.2)<0,所以方程 2 =x 的一个根位于区间(1.8,2.2)内. 答案:C
x
2

x

2

x

2

x

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间(2,4)上的实数根时,取中点 x1=3,则下一个有根区间 是__________. 解析:设 f(x)=x -2x-5,则 f(2)<0,f(3)>0,f(4)>0,有 f(2)f(3)<0,则下一个有根区间是 (2,3). 答案:(2,3) 1 1 2 14.已知函数 f(x)=ax -bx+1 的零点为- , ,则 a=__________,b=__________. 2 3 1 1 b 1 1 1 解析:由韦达定理得- + = ,且- × = .解得 a=-6,b=1. 2 3 a 2 3 a 答案:-6 1 15.以墙为一边,用篱笆围成一长方形的场地,如图 1.已知篱笆的总长为定值 l,则这块场地面 积 y 与场地一边长 x 的关系为________. 解析:由题意知场地的另一边长为 l-2x, 则 y=x(l-2x),且 l-2x>0,即 0<x< . 2 答案:y=x(l-2x)(0<x< ) 2 16.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每过滤一次可 1 使杂质含量减少 ,至少应过滤________次才能达到市场要求?(已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771) 3 1 n 解析:设过滤 n 次才能达到市场要求,则 2%(1- ) ≤0.1% 3 2 n 0.1 2 即( ) ≤ ,∴nlg ≤-1-lg2, 3 2 3 ∴n≥7.39,∴n=8. 答案:8 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 70 分)
3 3

l

l

17.(10 分)已知二次函数 f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为 x=2,且 f(x)的两个零点 的平方和为 10,求 f(x)的解析式. 解:设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0).由题意知:c=3,- =2. 2a 设 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,则 x1+x2=10,
2 2 2 2

b

b 2 2c 6 2 ∴(x1+x2) -2x1x2=10,∴(- ) - =10,∴16- =10, a a a
∴a=1.代入- =2 中,得 b=-4.∴f(x)=x -4x+3. 2a 18.(12 分)求方程 x +2x=5(x>0)的近似解(精确度 0.1). 解:令 f(x)=x +2x-5(x>0). ∵f(1)=-2,f(2)=3, ∴函数 f(x)的正零点在区间(1,2)内. 取(1,2)中点 x1=1.5,f(1.5)>0.取(1,1.5)中点 x2=1.25,f(1.25)<0. 取(1.25,1.5)中点 x3=1.375,f(1.375)<0. 取(1.375,1.5)中点 x4=1.4375,f(1.4375)<0.取(1.4375,1.5). ∵|1.5-1.4375|=0.0625<0.1, ∴方程 x +2x=5(x>0)的近似解为 x=1.5(或 1.4375). 19.(12 分)要挖一个面积为 800 m 的矩形鱼池,并在四周修出宽分别为 1 m,2 m 的小路,试求鱼 池与路的占地总面积的最小值. 800 解:设所建矩形鱼池的长为 x m,则宽为 m,于是鱼池与路的占地面积为
2 2 2 2

b

2

x

y=(x+2)(
当 x= 20

800 1600 400 20 2 +4)=808+4x+ =808+4(x+ )=808+4[( x- ) +40].

x

x

x

x

x

,即 x=20 时,y 取最小值为 968 m .
2

2

答:鱼池与路的占地最小面积是 968 m . 20.(12 分)某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产的年利润分别为 P 和 Q(万元),这两项利

x 10 润与投入的资金 x(万元)的关系是 P= ,Q= x,该集团今年计划对这两项生产共投入资金 60 万元, 3 3
其中投入养殖业为 x 万元,获得总利润 y(万元),写出 y 关于 x 的函数关系式及其定义域.

x 10 解:投入养殖加工生产业为 60-x 万元.由题意可得,y=P+Q= + 60-x, 3 3
由 60-x≥0 得 x≤60,∴0≤x≤60,即函数的定义域是[0,60]. 21. (12 分)已知某种产品的数量 x(百件)与其成本 y(千元)之间的函数关系可以近似用 y=ax +bx +c 表示,其中 a,b,c 为待定常数,今有实际统计数据如下表: 产品数量 x(百件) 成本合计 y(千元) (1)试确定成本函数 y=f(x); (2)已知每件这种产品的销售价为 200 元,求利润函数 p=p(x); 6 104 10 160 20 370
2

(3)据利润函数 p=p(x)确定盈亏转折时的产品数量.(即产品数量等于多少时,能扭亏为盈或由盈 转亏) 解:(1)将表格中相关数据代入 y=ax +bx+c, 36a+6b+c=104 ? ? 得?100a+10b+c=160, ? ?400a+20b+c=370 1 1 2 解得 a= ,b=6,c=50.所以 y=f(x)= x +6x+50(x≥0). 2 2
2

1 2 (2)p=p(x)=- x +14x-50(x≥0). 2 1 2 (3)令 p(x)=0,即- x +14x-50=0, 2 解得 x=14±4 6,即 x1=4.2,x2=23.8, 故 4.2<x<23.8 时,p(x)>0;x<4.2 或 x>23.8 时,p(x)<0, 所以当产品数量为 420 件时,能扭亏为盈; 当产品数量为 2380 件时由盈变亏. 22.(12 分)某企业常年生产一种出口产品,根据需求预测:进入 21 世纪以来,前 8 年在正常情况 下,该产品产量将平衡增长.已知 2000 年为第一年,头 4 年年产量 f(x)(万件)如表所示:

x f(x)

1 4.00

2 5.58

3 7.00

4 8.44

(1)画出 2000~2003 年该企业年产量的散点图; (2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型,并求之. (3)2006 年(即 x=7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响,年产量应减少 30%,试根据所建立 的函数模型,确定 2006 年的年产量应该约为多少? 解:(1)散点图如图 2:
?a+b=4 ? (2)设 f(x)=ax+b.由已知得? ? ?3a+b=7



3 5 解得 a= ,b= , 2 2 3 5 ∴f(x)= x+ . 2 2 检验:f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1;

f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1.
3 5 ∴模型 f(x)= x+ 能基本反映产量变化. 2 2 3 5 (3)f(7)= ×7+ =13, 2 2 由题意知,2006 年的年产量约为 13×70%=9.1(万件),即 2006 年的年产量应约为 9.1 万件.


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