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高中数学知识点:平面向量的公式的知识点总结

时间:2015-12-09


定比分点 定比分点公式(向量 P1P=λ 向量 PP2) 设 P1、P2 是直线上的两点,P 是 l 上不同于 P1、P2 的任意一点。则存在一个实数 λ , 使 向量 P1P=λ 向量 PP2,λ 叫做点 P 分有向线段 P1P2 所成的比。 若 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λ OP2)(1+λ );(定比分点向量公式) x=(x

1+λ x2)/(1+λ ), y=(y1+λ y2)/(1+λ )。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段 P1P2 的定比分点公式 三点共线定理 若 OC=λ OA +μ OB ,且λ +μ =1 ,则 A、B、C 三点共线 三角形重心判断式 在△ABC 中,若 GA +GB +GC=O,则 G 为△ABC 的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若 b≠0,则 a//b 的重要条件是存在唯一实数λ ,使 a=λ b。 a//b 的重要条件是 xy'-x'y=0。 零向量 0 平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b 的充要条件是 a b=0。

a⊥b 的充要条件是 xx'+yy'=0。 零向量 0 垂直于任何向量. 设 a=(x,y),b=(x',y')。

1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x',y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法 如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. 0 的反向量为 0 AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

4、数乘向量

实数λ 和向量 a 的乘积是一个向量,记作λ a,且∣λ a∣=∣λ ∣ ∣a∣。 当λ >0 时,λ a 与 a 同方向; 当λ <0 时,λ a 与 a 反方向; 当λ =0 时,λ a=0,方向任意。 当 a=0 时,对于任意实数λ ,都有λ a=0。 注:按定义知,如果λ a=0,那么λ =0 或 a=0。 实数λ 叫做向量 a 的系数,乘数向量λ a 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长 或压缩。 当∣λ ∣>1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ >0)或反方向(λ <0)上伸长为原来 的∣λ ∣倍; 当∣λ ∣<1 时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ >0)或反方向(λ <0)上缩短为原来 的∣λ ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λ a) b=λ (a b)=(a λ b)。 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ +μ )a=λ a+μ a. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ (a+b)=λ a+λ b. 数乘向量的消去律: ① 如果实数λ ≠0 且λ a=λ b, 那么 a=b。 ② 如果 a≠0 且λ a=μ a, 那么λ =μ 。

3、向量的的数量积

定义:已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB 称作向量 a 和向量 b 的夹角,记 作〈a,b〉并规定 0≤〈a,b〉≤π 定义: 两个向量的数量积(内积、 点积)是一个数量, 记作 a b。 若 a、 b 不共线, 则 a b=|a| |b| cos〈a,b〉;若 a、b 共线,则 a b=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示:a b=x x'+y y'。 向量的数量积的运算律 a b=b a(交换律); (λ a) b=λ (a b)(关于数乘法的结合律); (a+b) c=a c+b c(分配律); 向量的数量积的性质 a a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a b=0。 |a b|≤|a| |b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即:(a b) c≠a (b c);例如:(a b)^2≠a^2 b^2。 2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a b=a c (a≠0),推不出 b=c。 3、|a b|≠|a| |b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b 或 a=-b。

4、向量的向量积

定义:两个向量 a 和 b 的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作 a×b。若 a、b 不共线, 则 a×b 的模是:∣a×b∣=|a| |b| sin〈a,b〉;a×b 的方向是:垂直于 a 和 b,且 a、b 和 a×b 按这个次序构成右手系。若 a、b 共线,则 a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λ a)×b=λ (a×b)=a×(λ b); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量 AB/向量 CD”是没有意义的。

向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; ① 当且仅当 a、b 反向时,左边取等号; ② 当且仅当 a、b 同向时,右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 当且仅当 a、b 同向时,左边取等号; ② 当且仅当 a、b 反向时,右边取等号。


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