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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 《不等式》


数学

川(理)

§7.1 不等关系与不等式
第七章 不等式

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1.在学习不等式的性质时,要特别注意 下面几点

1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的 不等关系是普遍存在的,我们 用数学符号 >

、<、≥、≤、≠ 连接两个数或代数式以表示它 们之间的不等关系,含有这些 不等号的式子,叫做不等式.

(1)不等式的性质是解、证不等式的基础,对 任意两实数 a、b 有 a-b>0?a>b,a-b=0 ?a=b,a-b<0?a<b,这是比较两数(式)大 小的理论根据,也是学习不等式的基石. (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性 质,并注意在解题中灵活、准确地加以应用. (3)不等式的传递性:若 a>b,b>c,则 a>c, 这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注 意不等式的方向,否则易产生这样的错误: 为证明 a>c,选择中间量 b,在证出 a>b,c>b 后,就误认为能得到 a>c. (4)同向不等式可相加,但不能相减,即由 a>b,c>d,可以得出 a+c>b+d,但不能得 出 a-c>b-d.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理 2.两个实数比较大小的方法
难点正本 疑点清源 2.理解不等式的思想和方法
(1)作差法是证明不等式的最基 本也是很重要的方法,应引起 高度注意,要注意强化. (2)加强化归意识,把比较大 小问题转化为实数的运算. (3)通 过复 习要强 化不等 式 “运算”的条件.如 a>b、 c>d 在什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强化函数的性质在大小比 较中的重要作用,加强知识 间的联系.
思想方法 练出高分

?a-b>0?a > b ? ?a-b=0?a = b (1)作差法? ? (a,b∈R); ? ?a-b<0?a < b
?a ?b>1?a > b ? ?a=1?a = b (2)作商法?b ? (a∈R,b>0). ? ?a<1?a < b ?b
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 2.理解不等式的思想和方法

3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性: a>b, b>c? a>c ; (3)可加性: a>b?a+c > b+c, a>b,c>d?a+c > b+d; (4)可乘性: a>b, c>0?ac > bc, a>b>0,c>d>0?ac > bd;
基础知识 题型分类

(1)作差法是证明不等式的最 基本也是很重要的方法,应引 起高度注意,要注意强化. (2)加强化归意识,把比较大 小问题转化为实数的运算. (3)通 过 复习 要 强化 不等 式 “运算”的条件.如 a>b、 c>d 在什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强 化 函数 的 性质 在大 小 比较中的重要作用,加强知 识间的联系.
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 2.理解不等式的思想和方法

(5)可乘方: a>b>0?an > bn(n∈N, n≥1); (6) 可 开 方 : a>b>0 ? (n∈N,n≥2). n a > n b

(1)作差法是证明不等式的最 基本也是很重要的方法,应引 起高度注意,要注意强化. (2)加强化归意识,把比较大 小问题转化为实数的运算. (3)通 过 复习 要 强化 不等 式 “运算”的条件.如 a>b、 c>d 在什么条件下才能推出 ac>bd. (4)强 化 函数 的 性质 在大 小 比较中的重要作用,加强知 识间的联系.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
a d> b c

解析

ab>ab2>a
D

D
D

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

不等式性质的应用
α+β π π 已知- <α<β< ,求 , 2 2 2
思维启迪 解析 探究提高

α-β 的取值范围. 2

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

不等式性质的应用
α+β π π 已知- <α<β< ,求 , 2 2 2
思维启迪 解析 探究提高

α-β 的取值范围. 2

不等式性质的应用是本题的突 破点.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

不等式性质的应用
α+β π π 已知- <α<β< ,求 , 2 2 2
思维启迪 解析 探究提高

α-β 的取值范围. 2



π π 因为- <α<β< , 2 2

π α π π β π 所以-4<2<4,-4<2<4. π α+β π π β π 所以-2< 2 <2,-4<-2<4. α-β 因为 α<β,所以 2 <0. π α-β 故- < <0. 2 2

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

不等式性质的应用
α+β π π 已知- <α<β< ,求 , 2 2 2
思维启迪 解析 探究提高

α-β 的取值范围. 2

(1)利用不等式的性质求范围要充 分利用题设中的条件,如本题中

的条件 α<β; (2)注意“α-β”形式, 利用不等式要正确变形.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 1 已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3, z=2x-3y 的取 则

(3,8) 值范围是________(答案用区间表示). 解析 设 2x-3y=m(x+y)+n(x-y), 1 ? ?m+n=2, ?m=-2, ? ∴? 解得? ?m-n=-3. ? ?n=5. ? 2 1 5 ∴2x-3y=-2(x+y)+2(x-y),
∵-1<x+y<4,2<x-y<3, 1 1 5 15 ∴-2<-2(x+y)<2,5<2(x-y)< 2 , 1 5 ∴3<-2(x+y)+2(x-y)<8, 即 3<2x-3y<8, 所以 z=2x-3y 的取值范围为(3,8).
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题型分类·深度剖析
题型二 比较大小问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 a≠1 且 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 1-a

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型二 比较大小问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 a≠1 且 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 1-a

1 要判断 与 1+a 的大小, 只 1-a 需研究它们差的符号.

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型二 比较大小问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 a≠1 且 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 解 1-a

1 a2 ∵ -(1+a)= , 1-a 1-a

a2 1 ①当a=0 时, =0,∴ =1+a. 1-a 1-a

a2 ②当 a<1,且 a≠0 时, >0, 1-a 1 ∴ >1+a. 1-a

a2 1 ③当a>1 时, <0,∴ <1+a. 1-a 1-a
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题型分类·深度剖析
题型二 比较大小问题
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 已知 a≠1 且 a∈R,试比较 1 与 1+a 的大小. 1-a

实数的大小比较常常转化为对 它们差(简称作差法)的符号的 判定, 当解析式里面含有字母时 常需分类讨论.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若 a -b =1,则 a-b<1;②若b-a=1,则 a-b<1;③若| a- b| =1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)

解析

①中, 2-b2=(a+b)(a-b)=1, b 为正实数, a-b≥1, a a, 若

则必有 a+b>1,不合题意,故①正确.

1 1 a-b ②中,b-a= ab =1,只需 a-b=ab 即可. 2 4 如取 a=2,b= 满足上式,但 a-b= >1,故②错. 3 3
③中,a,b 为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若 a -b =1,则 a-b<1;②若b-a=1,则 a-b<1;③若| a- b| =1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.

①④ 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错.

④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|

=|a-b|(a2+ab+b2)=1.
若|a-b|≥1, 不妨取 a>b>1, 则必有 a2+ab+b2>1, 不合题意, 故④正确.
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题型分类·深度剖析
题型三 不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知 f(x)是定义在(-∞,

4]上的减函数,是否存在实数 m, 使得 f(m-sin x)≤ ? ? 7 2 f ? 1+2m-4+cos x? 对定义域内 ? ? 的一切实数 x 均成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知 f(x)是定义在(-∞,

不等式和函数的结合, 往往要利用函 数的单调性和函数的值域.

4]上的减函数,是否存在实数 m, 使得 f(m-sin x)≤ ? ? 7 2 f ? 1+2m-4+cos x? 对定义域内 ? ? 的一切实数 x 均成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三 不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】 已知 m 存在,依题意, 解 假设实数 f(x)是定义在(-∞, 4]上的减函数,是否存在实数 m, ?m-sin x≤4, ?m-4≤sin x, ? ? ? 使得 可得? f(m-sin x)≤ 即? 1?2 7 1 2 ?m- 1+2m+2≥-?sin x-2? . ? ?m-sin x≥ 1+2m-4+cos x, ? 7 ? ? ? ? ? 1+2m- +cos2x? 对定义域内 f 4 ? ? 12 因为 sin x 的最小值为-1,且-(sin x- ) 的最大值为 0,要满足题 2 的一切实数 x 均成立?若存在, ?m-4≤-1, 求出实数 ? 的取值范围;若不存 m 1 3 意,必须有? 解得 m=- 或 ≤m≤3. 1 2 2 m- 1+2m+ ≥0, ? 在,请说明理由. 2 ?
所以实数 m
?3 ? ? 1? ? ? ? ,3?∪?- ?. 的取值范围是 2 ? ? ? ? ? 2?

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 不等式与函数、方程的综合问题
思维启迪 解析

探究提高

【例 3】

已知 f(x)是定义在(-∞, 不等式恒成立问题一般要利用函数

4]上的减函数,是否存在实数 m, 的 值 域 , m≤f(x) 恒 成 立 , 只 需 使得 f(m-sin x)≤ m≤f(x)min. ? ? 7 2 f ? 1+2m-4+cos x? 对定义域内 ? ? 的一切实数 x 均成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知 a、b、c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小.
解 方法一 (作差法)

∵a2+b2+c2-(ab+bc+ca) 1 =2[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 当且仅当 a=b=c 时取等号,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
方法二 (函数法)

记 t=a2+b2+c2-(ab+bc+ca) =a2-(b+c)a+b2+c2-bc,
∵Δ=(b+c)2-4(b2+c2-bc)

=-3b2-3c2+6bc=-3(b-c)2≤0, ∴t≥0 对 a∈R 恒成立,即 a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

x3 根据不等式性质先解出 lg x,lg y 的范围,再求 lg 的范围,错误 3 y 原因是 lg x,lg y 的最值不一定能同时取到,这种做法可能扩大所 求范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

x x3 (1)注意已知条件 1≤lg y ≤2,2≤lg ≤3. y x3 x x3 (2)分析 lg 与 lg y 、lg 的线性关系. y 3 y (3)先将它们表示成 lg x、lg y 的线性关系.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思
2分

x ? ?1≤lg x-lg y≤2, ?1≤lg y≤2, ? 解 由? 变形,得? 1 x3 2≤3lg x- lg y≤3, ? ?2≤lg ≤3 2 ? y ? ? ?lg x=2b-a, ?lg x-lg y=a, ? 5 ? 令? 解得? 1 2b-6a ? ?3lg x-2lg y=b, ? ?lg y= 5 . ? 3 x 1 ∴lg =3lg x- lg y 3 3 y
基础知识 题型分类 思想方法

4分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析 审 题 视 角 规 范 解 答 2b-a 1 2b-6a 16 1 =3· - · = b- a. 5 3 5 15 5 1 1 ? 2 ?1≤a≤2, ?-5≤-5a≤-5, ? 由? 得? ?2≤b≤3, ? ?32≤16b≤16. 5 ?15 15 3 26 16 1 26 x ∴15≤15b-5a≤3,即15≤lg ≤3. 3 y ?26 ? x3 ∴lg 的取值范围是?15,3?. ? ? 3 y
基础知识 题型分类 思想方法

解 后 反 思
6分

9分

11分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示 7.不等式变形中扩大范围致误

x x3 x3 典例:(12 分)已知 1≤lg y≤2,2≤lg ≤3,求 lg 的取值范围. y 3 y

易 错 分 析

审 题 视 角

规 范 解 答

解 后 反 思

(1)此类问题的一般解法是:先建立待求整体与已知范围的整体的关系,最 后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围; (2)本题也可以利用线性规划思想求解; (3)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.

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思想方法

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思想方法·感悟提高
1.用同向不等式求差的范围. ?a<x<b ?a<x<b ? ? ? ?? ?a-d<x-y<b-c ? ?-d<-y<-c ?c<y<d ?

方 法 与 技 巧

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2.倒数关系在不等式中的作用.
?ab>0 ? ? ?a>b ? ? 1 1 ?ab>0 1 1 ? ?a<b; ?a>b. ?a<b ?

3. 比较法是不等式性质证明的理论依据, 是不等式 证明的主要方法之一, 比差法的主要步骤为: 作 差——变形——判断正负. 在所给不等式完全是 积、商、幂的形式时,可考虑比商.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc,当 c≤0 时不成立.
1 1 1 1 2.a>b?a<b或 a<b?a>b,当 ab≤0 时不成立.

失 误 与 防 范

3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立.
a 4. b>1?a>b,对于正数 a、b 才成立.

5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如: a>b,b>c?a>c,其中 a>c
?a>b ? 不能推出? ?b>c ?

.

6.求范围问题要整体代换,“一次性”使用不等式性 质,注意不要扩大变量的取值范围.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( A ) A.a>b+1 C.a2>b2 B.a>b-1 D.a3>b3

解 析
由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不能得出 a>b +1,因此,使 a>b 成立的充分不必要条件是 a>b+1.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 1 1 A.a>b B. > C.|a|>-b a-b a

( D. -a> -b

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 1 1 A.a>b B. > C.|a|>-b a-b a

( B ) D. -a> -b

解 析
1 1 由题设得 a<a-b<0,所以有 < 成立, a-b a

1 1 即 > 不成立. a-b a

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.设 a=lg e,b=(lg e)2,c=lg A.a>b>c C.c>a>b

e,则

(

)

B.a>c>b D.c>b>a

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.设 a=lg e,b=(lg e)2,c=lg A.a>b>c C.c>a>b

e,则

( B )

B.a>c>b D.c>b>a

解 析
1 1 ∵0<lg e<lg 10= ,∴lg e> lg e>(lg e)2. 2 2
∴a>c>b.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
x 2 ?2

1 ?1? 4.已知 p=a+ ,q= ? ? a-2 ? 2? 系是 A.p≥q

,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的大小关 ( )

B.p>q

C.p<q

D.p≤q

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
x 2 ?2

1 ?1? 4.已知 p=a+ ,q= ? ? a-2 ? 2? 系是 A.p≥q

,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的大小关 ( A )

B.p>q

C.p<q

D.p≤q

解 析
1 1 p=a+ =a-2+ +2≥2+2=4,当且仅当 a=3 时 a-2 a-2

1 取等号.因为 x -2≥-2,所以 q= ? ? ? ? ? 2?
2

x 2 ?2

?1?- ≤?2? 2=4,当 ? ?

且仅当 x=0 时取等号.所以 p≥q.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. (2011· 天津改编)设 x, y∈R, 则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4” 的____________条件.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. (2011· 天津改编)设 x, y∈R, 则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”

充分不必要 的____________条件. 解 析
∵x≥2 且 y≥2,∴x2+y2≥4,∴“x≥2 且 y≥2”是“x2 +y2≥4”的充分条件;而 x2+y2≥4 不一定得出 x≥2 且 y≥2,例如当 x≤-2 且 y≤-2 时,x2+y2≥4 亦成立,故 “x≥2 且 y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件. ∴“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

π π 6. 若角 α、 满足- <α<β< , 2α-β 的取值范围是____________. β 则 2 2

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9
? 3π π? ?- , ? 2 2? ? 的取值范围是____________.

π π 6. 若角 α、 满足- <α<β< , 2α-β β 则 2 2

解 析
π π ∵- <α<β< , 2 2
π π 3π 3π ∴-π<2α<π,-2<-β<2,∴- 2 <2α-β< 2 ,

π 3π π 又∵2α-β=α+(α-β)<α<2,∴- 2 <2α-β<2.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 对于实数 a, c 有下列命题: b, ①若 a>b, ac<bc; 则 ②若 ac2>bc2, 1 1 则 a>b; ③若 a>b, >b, a>0, 则 b<0.其中真命题为__________. (把 a 正确命题的序号写在横线上)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 对于实数 a, c 有下列命题: b, ①若 a>b, ac<bc; 则 ②若 ac2>bc2, 1 1 ②③ 则 a>b; ③若 a>b, >b, a>0, 则 b<0.其中真命题为__________. (把 a 正确命题的序号写在横线上)

解 析
若 c≥0,①不成立;

由 ac2>bc2 知 c2≠0,则 a>b,②正确;
1 1 b-a 当 a>b 时,a-b= ab >0,则 a>0,b<0,③成立.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 9

7 6 8 a b 8.(10 分)已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ a+ b. b a

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 9

7 6 8 a b 8.(10 分)已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ a+ b. b a

解 析
证明 方法一 a b + -( a+ b) b a

? a?3+? b?3-? a+ b? ab = ab ? a+ b??a-2 ab+b? = ab ? a+ b?? a- b?2 = . ab

∵ a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0,
∴ a b a b + -( a+ b)≥0,∴ + ≥ a+ b. b a b a
题型分类 思想方法 练出高分

基础知识

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 9

7 6 8 a b 8.(10 分)已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ a+ b. b a

解 析
方法二 a b + a a+b b ? a?3+? b?3 b a = = a+ b ab? a+ b? ab? a+ b?

a+b- ab ? a- b?2 = =1+ ≥1, ab ab
a b ∵a>0,b>0,∴ + >0, a+ b>0, b a a b ∴ + ≥ a+ b. b a
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.

解 析
解 方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n 为待定系数), 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
?m+n=4 ? 于是得? ?n-m=-2 ? ?m=3 ? ,解得? ?n=1 ?



∴f(-2)=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
方法二 1 ? a=2[f?-1?+f?1?] ?f?-1?=a-b ? ? 由? ,得? ?f?1?=a+b ? ?b=1[f?1?-f?-1?] 2 ?
题型分类 思想方法



基础知识

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)设 f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围.

解 析
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故 5≤f(-2)≤10.
方法三
?1≤a-b≤2 ? 由? ?2≤a+b≤4 ?

确定的平面区域如图阴影部分,

当 f(-2)=4a-2b 过点

?3 1? A?2,2?时, ? ?

3 1 取得最小值 4× -2× =5, 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

π 1.设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

π 1.设 0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的 2 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件

( B )

D.既不充分也不必要条件

解 析
π 当 0<x< 时,0<sin x<1. 2 1 2 由 xsin x<1 知 xsin x<sin x,不一定得到 xsin x<1.
反之,当 xsin x<1 时,xsin2x<sin x<1.

故 xsin2x<1 是 xsin x<1 的必要不充分条件.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、b、c 的大小关系是 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a ( D.a>c>b )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知实数 a、b、c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a、b、c 的大小关系是 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a ( A ) D.a>c>b

解 析
c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,

∴c≥b,已知两式作差得 2b=2+2a2,即 b=1+a2,
∵1+a
2

? 1?2 3 -a=?a-2? +4>0,∴1+a2>a, ? ?

∴b=1+a2>a,∴c≥b>a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 1 1 b b+1 A.a+b>b+a B.a> a+1 1 1 C.a-b>b-a 2a+b a D. > a+2b b

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 1 1 b b+1 A.a+b>b+a B.a> a+1 1 1 C.a-b>b-a 2a+b a D. > a+2b b

( A )

解 析
1 取 a=2,b=1,排除 B 与 D;另外,函数 f(x)=x-x是(0, 1 +∞)上的增函数,但函数 g(x)=x+x在(0,1]上递减,在[1, +∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定成立,但 1 1 1 1 g(a)>g(b)未必成立,这样,a-a>b-b?a+b>b+a.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2
2

B组
3

专项能力提升
4
2

5

6

7

1 4. 已知 f(n)= n +1-n, g(n)=n- n -1, φ(n)= (n∈N*, n>2), 2n 则 f(n),g(n),φ(n)的大小关系是__________________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2
2

B组
3

专项能力提升
4
2

5

6

7

1 4. 已知 f(n)= n +1-n, g(n)=n- n -1, φ(n)= (n∈N*, n>2), 2n f(n)<φ(n)<g(n) 则 f(n),g(n),φ(n)的大小关系是__________________.

解 析
1 1 f(n)= n +1-n= 2 < =φ(n), n +1+n 2n
2

1 1 g(n)=n- n -1= >2n=φ(n), 2 n+ n -1
2

∴f(n)<φ(n)<g(n).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 x3 5. x, 为实数, 设 y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9, 4的最大值是_____. 则 y

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 x3 27 5. x, 为实数, 设 y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9, 4的最大值是_____. 则 y

解 析
x2 x4 由 4≤ y ≤9,得 16≤ 2 ≤81. y 1 1 1 又 3≤xy2≤8,∴8≤xy2≤3, x3 x3 ∴2≤y4≤27.又 x=3,y=1 满足条件,这时y4=27. x3 ∴y4的最大值是 27.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. a>b>c>0, 设 x= a2+?b+c?2, y= b2+?c+a?2, z= c2+?a+b?2, 则 x,y,z 的大小关系是__________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6. a>b>c>0, 设 x= a2+?b+c?2, y= b2+?c+a?2, z= c2+?a+b?2,

z>y>x 则 x,y,z 的大小关系是__________.

解 析
方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.

同理,z>y,∴z>y>x.
方法二 令 a=3,b=2,c=1,则 x= 18,y= 20,

z= 26,故 z>y>x.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且a>b,x>y,求证: > . x+a y+b

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且a>b,x>y,求证: > . x+a y+b

解 析
(1)解 方法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 方法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y<0. ∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,
?x2+y2??x-y? x2+y2 ∴0< 2 2 = <1, ?x -y ??x+y? x2+y2+2xy
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且a>b,x>y,求证: > . x+a y+b

解 析
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
(2)证明 bx-ay x y - = . x+a y+b ?x+a??y+b?

1 1 ∵a>b且 a,b∈(0,+∞),∴b>a>0,

又∵x>y>0,∴bx>ay>0,
bx-ay x y ∴ >0,∴ > . ?x+a??y+b? x+a y+b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


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