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2015届高三数学 黄金考点汇编05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)理(含解析)


考点 05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
【考点分类】 热点一 函数的单调性 1. 【2014 高考北京版理第 2 题】下列函数中,在区间 (0, ??) 为增函数的是 A. y ? ( )

x ?1

B. y ? ( x ? 1) 2

C. y ? 2? x

D. y ?

log 0.5 ( x ? 1)

2. 【2014 高考福建卷第 4 题】若函数 y ? log a x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列 函数图像正确的是( )

-1-

3. 【2014 浙江高考理第 7 题】在同意直角坐标系中,函数 f ( x) ? x a ( x ? 0), g ( x) ? log a x 的 图像可能是( )

4. 【2014 辽宁高考理第 3 题】已知 a ? 2

?

1 3

, b ? log 2

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

D. c ? b ? a

-2-

5. 【2014 陕西高考理第 7 题】下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函 数是( )
1 2

(A) f ? x ? ? x

(B) f ? x ? ? x

3

?1? (C) f ? x ? ? ? ? ?2?

x

(D) f ? x ? ? 3

x

6. 【2014 天津高考理第 4 题】函数 f ( x ) = log 1 x - 4 的单调递增区间是
2 2

(

)





(A) (0, + ?

)

(B) (- ? ,0)

(C) (2, + ?

)

(D) (- ? , 2)

7. 【2014 高考湖南卷第 10 题】 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ? 象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是( A. (??, 【答案】B

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x 2 ? ln( x ? a ) 图 2



1 ) e

B. (??, e )

C. (?

1 , e) e

D. (? e ,

1 ) e

-3-

?( x ? a ) 2 , x ? 0, ? 8. 【2014 高考上海理科第 18 题】 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值, 则a 的 1 ? x ? ? a, x ? 0, x ?
取值范围为( (A)[-1,2] ) (B)[-1,0] (C)[1,2] (D) [0, 2]

【方法规律】 1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写 出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则 f(x1)<f(x2) ?

f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数,则 f(x1)< f(x2) ? x1<x2,函数不等式(或方程)的求解,总
-4-

是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义 域内或给定的范围内进行. 【易错点睛】 误区 1. 用定义证明函数的单调性时,错用“自己证明自己”而致错(循环论证) .

误区 2.求复合函数的单调区间时,忽视函数的定义域而致错 【例 2】 (2014 浙江宁波十校联考)求 y= x -4x-12的单调区间. 【错解】令 t=x -4x-12,则 t=x -4x-12 在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,又 y= t是增函数,所以 y= x -4x-12的单调区间是(-∞,2]与[2,+∞),其中在(-∞, 2]上递减,在[2,+∞)上递增. 【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤-2 或 x≥6}. 【正解】由 x -4x-12≥0,得 x≤-2 或 x≥6,令 t=x -4x-12,则 t=(x-2) -16 在(- ∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数.又 y= t是增函数,所以 y= x -4x-12的单 调区间是(-∞,-2]与[6,+∞),其中在(-∞,-2]上递减,在[6,+∞)上递增. 【点拨】求解复合函数单调性问题,必须考虑函数的定义域,建立“定义域优先”意识. 误区 3. 忽视隐含条件致误 【例 3】已知 f(x)=? 范围是( A.(0,1) ) 1 B.(0, ) 3 1 1 C.[ , ) 7 3 1 D.[ ,1) 7
? ?
2 2 2 2 2 2 2 2



+4a,x<1,

? ?logax,x≥1

是(-∞,+∞)上的减函数,那么 a 的取值

【错解】误选 B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件,要知 道函数在 R 上为减函数, 还需使得 f(x)=(3a-1)x+4a 在 x<1 上的最小值不小于 f(x)=logax 在 x≥1 上的最大值,多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误. 3a-1<0, ? ? 【正解】 据题意使原函数在定义域 R 上为减函数, 只需满足: ?0<a<1, ? - +4a≥loga1 ?

-5-

1 1 ? ≤a< .故选 C. 7 3 【点评】一般地,若函数 f(x)在区间[a,b)上为增函数,在区间[b,c]上为增函数,则不一 定说明函数 f(x)在[a,c]为增函数,如图(1) ,由图像可知函数 f(x)在[a,c]上整体不呈上 升趋势,故此时不能说 f(x)在[a,c]上为增函数,若图象满足如图(2) ,即可说明函数在[a, c]上为增函数,即只需 f(x)在[a,b)上的最大值不大于 f(x)在[b,c]上的最小值即可,同理 减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论.

需注意以下两点: (1)函数的单调区间是其定义域的子集,如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数 1 (或减函数), 不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数), 例如函数 f(x)= 在(- x 1 ∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说 f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞) x 上是减函数,因为当 x1=-1,x2=1 时,有 f(x1)=-1<f(x2)=1 不满足减函数的定义. (2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,一般不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x -3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1)和(1,+∞)不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞). 热点二 函数的奇偶性 1. 【2014 高考湖北卷理第 10 题】已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时,
3

f ( x) ?
为(

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) ,若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围 2


A. [? , ]

1 1 6 6

B. [?

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [?

3 3 , ] 3 3

-6-

2. 【2014 高考湖南卷第 3 题】已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1 ,则 f (1) ? g (1) ? (
A. ? 3 B. ? 1 C. 1

) D. 3

3. 【2014 全国 1 高考理第 3 题】设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正确的是( A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

-7-

4. 【2014 四川高考理第 9 题】已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) , x ? (?1,1) .现有下列命题: ① f (? x) ? ? f ( x) ;② f ( 是( ) B.②③ C.①③ D.①②

2x ) ? 2 f ( x) ;③ | f ( x) |? 2 | x | .其中的所有正确命题的序号 x ?1
2

A.①②③

5. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】定义域为 R 的四个函数 y ? x 3 ,

y ? 2 x , y ? x 2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是(

)

-8-

A . 4 【答案】C

B. 3

C. 2

D. 1

【解析】奇函数的为 y ? x 3 与 y ? 2sin x , y ? x 2 ? 1 和 y ? 2 x 为非奇非偶函数,故选 C. 6. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 】已知函数 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? A. ?2 【答案】A 【解析】 f ? ?1? ? ? f ?1? ? ?(12 ? ) ? ?2. 7. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)理】设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义

1 , ,则 f ? ?1? ? ( x
C. 1

) D. 2

B. 0

1 1

a2 在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ,若 f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a x
的取值范围为______.

8. 【2014 高考上海理科第 20 题】设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? (1)若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

2x ? a 2x ? a

( x) ;

(2)根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

-9-

不是奇函数也不是偶函数.

【方法规律】 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地,对于较简单的函数解析式,可通过定义直接作出判断;对于较复杂的解析式,可先 对其进行化简,再利用定义进行判断.利用定义判断函数奇偶性的步骤:

- 10 -

(2)图象法 奇函数的图象关于原点成中心对称,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称.因此要证函数的图象 关于原点对称,只需证明此函数是奇函数即可;要证函数的图象关于 y 轴对称,只需证明此 函数是偶函数即可.反之,也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性. (3)组合函数奇偶性的判定方法 ①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数,一奇一偶之和为非奇非偶函数. ②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数, 奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为 0)为奇函 数. ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇,一偶则偶”. (4)分段函数的奇偶性判定 分段函数应分段讨论,注意奇偶函数的整体性质,要避免分段下结论,如典例 1(3)只有得到 当 x≠0 时都有 f(-x)=f(x)才能给出偶函数的结论. 2.函数奇偶性的应用技巧 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性得出关于 f(x)的方程,从 而可得 f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数 常常采用待定系数法,利用 f(x)±f(-x)=0 得到关于 x 的恒等式,由对应项系数相等可得 字母的值. (3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数 在关于原点对称的区间上的单调性相反. 【易错点睛】 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质,其定义中要求 f(x)和 f(-x)必须同时存在,所 以函数定义域必须关于原点对称,这是函数具有奇偶性的前提.如果某一个函数的定义域不 关于原点对称,它一定是非奇非偶函数. 误区.不明分段函数奇偶性概念致错
- 11 -

x +2x+3,x<0, ? ? 【例 1】 (2014 北京东城期末)判断 f(x)=?3,x=0, ? ?-x2+2x-3,x>0,
2 2

2

的奇偶性.

【错解】当 x>0 时,-x<0,f(-x)=(-x) +2(-x)+3=-(-x +2x-3)=-f(x). 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-(-x) +2(-x)-3=-(x +2x+3)=-f(x).所以 f(x)是 奇函数. 【剖析】漏 x=0 情况. 【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的 x,都有 f(-x)=-f(x)成立,但当 x=0 时, f(0)=3≠-f(0),所以函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 热点三 函数的周期性 1. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的 最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 ) C.增函数 D. 周期函数
2 2

2. 【2014 四川高考理第 12 题】设 f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x ? [?1,1) 时,

??4 x 2 ? 2, ?1 ? x ? 0, 3 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? 2 0 ? x ? 1, ? x,



3. 【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设 f ? x ? 是以 2 为周期的函数,且当

x ? ?1,3? 时, f ? x ? =



- 12 -

【方法规律】 1. (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有
f ( x + T ) = f ( x ) ,那么函数 f(x)叫做周期函数,非零常数 T 叫 f(x)的周期.如果所有的周期

中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫 f(x)的最小正周期. (2)周期函数不一定有最小正周期,若 T≠0 是 f(x)的周期,则 kT(k∈Z)(k≠0)也一定是 f(x) 的周期,周期函数的定义域无上、下界. 2. 函数周期性的相关结论. 设 a 是非零常数,若对 f(x)定义域内的任意 x,恒有下列条件之一成立:①f(x+a)=-f(x); ②f(x+a)= 1 1 ;③f(x+a)=- ;④f(x+a)=f(x-a),则 f(x)是周期函数, 2|a| f(x) f(x)

是它的一个周期.(以上各式中分母均不为零). 【解题技巧】 求函数周期的方法 2π 求一般函数周期常用递推法和换元法,形如 y=Asin(ω x+φ ),用公式 T= 计算.递推 |ω | 法: 若 f(x+a)=-f(x), 则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x+a)=f(x), 所以周期 T=2a. 换 元法:若 f(x+a)=f(x-a),令 x-a=t,x=t+a,则 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a. 热点四 函数性质的综合应用 1. 【2014 高考福建卷第 7 题】已知函数 f ? x ? ? ? A. f ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? 是增函数

? x 2 ? 1, x ? 0 则下列结论正确的是( cos x , x ? 0 ?



C. f ? x ? 是周期函数 D. f ? x ? 的值域为 ?? 1,?? ?

2. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设函数 f ( x) ?

ex ? x ? a

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( a ? R , e 为自然对数的底数) .若曲线 y ? sin x 上存在点 ( x0 , y0 ) 使 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是( (A)[1, e] ) (B)[e ?1 ? 1,1] (C)[1, e ? 1] (D)[e ?1 ? 1, e ? 1]

3. 【2014 全国 2 高考理第 15 题】已知偶函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减, f ? 2 ? ? 0 .若

f ? x ? 1? ? 0 ,则 x 的取值范围是__________.

【方法规律】 1.解这类综合题的一般方法 在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究 函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很 大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调 整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图 象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 2. 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系 若函数有两条对称轴(或两个对称中心,或一对称轴一对称中心),则该函数必是周期函数.特 别地,有以下结论(其中 a≠0):

- 14 -

若 f(x)有对称轴 x=a,且是偶函数,则 f(x)的周期为 2a; 若 f(x)有对称轴 x=a,且是奇函数,则 f(x)的周期为 4a; 若 f(x)有对称中心(a,0),且是偶函数,则 f(x)的周期为 4a; 若 f(x)有对称中心(a,0),且是奇函数,则 f(x)的周期为 2a. 【易错点睛】 误区 1.函数的性质挖掘不全致误 【例 1】奇函数 f(x)定义在 R 上,且对常数 T>0,恒有 f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]上, 方程 f(x)=0 根的个数至少有 ( ) B.4 个 C.5 个 D.6 个

A.3 个

【错解】由 f(x)是 R 上的奇函数,得 f(0)=0? x1=0.再由 f(x+T)=f(x)得 f(2T)=f(T) =f(0)=0? x2=T,x3=2T.即在区间[0,2T]上,方程 f(x)=0 根的个数最小值为 3 个. 【剖析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇. 即?
? ? ? ?



=- = +

① ②

解时要

把抽象性质用足,不仅要充分利用各个函数方程,还要注意方程①和②互动. 【正解】由方程①得 f(0)=0? x1=0.再由方程②得 f(2T)=f(T)=f(0)=0? x2=T,x3=2T. T T T T T T T T 又∵f(x- )=f(x+ ),令 x=0 得 f(- )=f( ).又 f(- )=-f( ),f( )=0,x4= .再 2 2 2 2 2 2 2 2 T 3T 由②得 f( +T)=0? x5= ,故方程 f(x)=0 至少有 5 个实数根.故选 C. 2 2 误区 2.忽视隐含条件的挖掘致误 【例 2】 (2014 江苏模拟)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,

ax+1,-1≤x<0, ? ? f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

1 3 其中 a,b∈R.若 f( )=f( ),则 a+3b 的值为________. 2 2

3 3 1 1 1 【错解】 因为 f(x)的周期为 2,所以 f( )=f( -2)=f(- ),即 f( )=f(- ).又因为 f(- 2 2 2 2 2 b +2 1 1 1 2 b+4 1 b+4 )=- a+1,f( )= = ,所以- a+1= ,∴3a+2b=-2. 2 2 2 1 3 2 3 +1 2 【剖析】 (1)转化能力差,不能把所给区间和周期联系起来;(2)挖掘不出 f(-1)=f(1),从而无法求 出 a、b 的值. 3 3 1 1 1 【正解】因为 f(x)的周期为 2,所以 f( )=f( -2)=f(- ),即 f( )=f(- ).又因为 2 2 2 2 2
- 15 -

b +2 1 1 1 2 b+4 1 b+4 2 f(- )=- a+1,f( )= = ,所以- a+1= .整理,得 a=- (b+1).① 2 2 2 1 3 2 3 3 +1 2 b+ 2 又因为 f(-1)=f(1),所以-a+1= ,即 b=-2a. 2 将②代入①,得 a=2,b=-4.所以 a+3b=2+3×(-4)=-10. 【考点剖析】 一.最新考试说明: 1.理解函数的单调性,会讨论和证明函数的单调性. 2.理解函数的奇偶性,会判断函数的奇偶性. 3.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值. 二.命题方向预测: 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热 点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函 数值及求参数值等问题是重点,也是难点. 3.题型以选择题和填空题为主,函数性质其他知识点交汇命题. 三.课本结论总结: 1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对 称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. 注意:确定函数的奇偶性,务必先判定函数 定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有:定义法、图像法、性质法等. 2.若奇函数定义域中有 0,则必有 f (0) ? 0 .即 0 ? f ( x) 的定义域时, f (0) ? 0 是 f ( x) 为 奇函数的必要非充分条件. 对于偶函数而言有: f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . 3.确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定) 、导数法; 在选择、填空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等. 4.若函数 f ? x ? 的定义域关于原点对称,则 f ? x ? 可以表示为 ②

f ? x? ?

1 1 f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? ? ? ,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函 2 2?

数的和.

- 16 -

5.既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集) . 6.复合函数的单调性特点是: “同增异减” ;复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同 外” .复合函数要考虑定义域的变化(即复合有意义) . 7.函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ? 的图像关于直线 x ? 0 ( y 轴)对称. 推广一:如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ? a ? x ? ? f ? b ? x ? 成立,那么 y ? f ? x ? 的 图像关于直线 x ?

a?b (a ? x) ? (b ? x) (由“ x 和的一半 x ? 确定” )对称. 2 2
b?a (由 a ? x ? b ? x 确定) 2

推广二:函数 y ? f ?a ? x ? , y ? f ? b ? x ? 的图像关于直线 x ? 对称.

8.函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? ? f ? x ? 的图像关于直线 y ? 0 ( x 轴)对称. 推广:函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? A ? f ? x ? 的图像关于直线 y ? A 对称(由“ y 和的一半

2

y?

[ f ( x)] ? [ A ? f ( x)] 确定” ) . 2

9.函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? ? f ? ? x ? 的图像关于坐标原点中心对称. 推广:函数 y ? f ? x ? 与函数 y ? m ? f ? n ? x ? 的图像关于点 ( n , m ) 中心对称.

2 2

x 10.函数 y ? a 与函数 y ? log a x ? a ? 0, a ? 1? 的图像关于直线 y ? x 对称.

推广: 曲线 f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? x ? b 的对称曲线是 f ( y ? b, x ? b) ? 0 ; 曲线 f ( x, y ) ? 0 关于直线 y ? ? x ? b 的对称曲线是 f (? y ? b, ? x ? b) ? 0 . 11.曲线 f ( x, y ) ? 0 绕原点逆时针旋转 90 ,所得曲线是 f ( y, ? x) ? 0 (逆时针横变再交 换) . 特别:y ? f ( x) 绕原点逆时针旋转 90 , 得 ? x ? f ( y) , 若 y ? f ( x) 有反函数 y ? f 则得 y ? f
?1 ?1

( x) ,

(? x) .

曲线 f ( x, y ) ? 0 绕原点顺时针旋转 90 ,所得曲线是 f (? y, x) ? 0 (顺时针纵变再交换) .特 别: y ? f ( x) 绕原点顺时针旋转 90 ,得 x ? f (? y ) ,若 y ? f ( x) 有反函数 y ? f 得y??f
?1 ?1

( x) ,则

( x) .

12.类比“三角函数图像”得:

- 17 -

若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为

T ? 2| a ?b|.
若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B (b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期 为T ? 2 | a ? b | . 如果函数 y ? f ( x) 的图像有下一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数

y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | .
如果 y ? f ( x) 是 R 上的周期函数,且一个周期为 T ,那么 f ( x ? nT ) ? f ( x)(n ? Z) . 特别:若 f ( x ? a ) ? ? f ( x)(a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a . 若 f ( x ? a) ?

1 1 (a ? 0) 恒成立,则 T ? 2a .若 f ( x ? a ) ? ? (a ? 0) 恒成立,则 f ( x) f ( x)

T ? 2a .
如果 y ? f ( x) 是周期函数,那么 y ? f ( x) 的定义域“无界” . 四、名师二级结论: 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的, 所以要受到区间的限制. 例如函数 y= 分别在(-∞, 0),

x

(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调递减, 只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明 f(-x)与 f(x)的关系,只有当对称的两段上都满 足相同的关系时,才能判断其奇偶性. 两个应用 1.已知函数的奇偶性求函数的解析式. 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于 f(x)的方程,从 而可得 f(x)的解析式. 2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

- 18 -

常常采用待定系数法:利用 f(x)±f(-x)=0 产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得 知字母的值. 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)导数法. 判断函数的奇偶性的三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变 通形式:

f(-x) f(-x)=±f(x)?f(-x)±f(x)=0? =±1,f(x)≠0. f(x)
四条性质 1.若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. 2.设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇×奇 =偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. 4.若 f(x)是偶函数,则有 f(-x)=f(x)=f(|x|). 五、课本经典习题: (1)新课标人教 A 版必修一第 36 页练习第 1(3)题 判断下列函数的奇偶性: f ( x) =
x2 + 1 . x

【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行多角度变式. 变式题: 关于函数 f ( x ) = lg
x2 + 1 (x x 0) , 有下列命题:①其图象关于 y 轴对称; ②当 x > 0 时,

f ( x ) 是增函数;当 x < 0 时, f ( x ) 是减函数;③ f ( x ) 的最小值是 lg2 ;④ f ( x ) 在区间

(?1,0), (2,??) 上是增函数;⑤ f ( x) 无最大值,也无最小值.其中所有正确结论的序号
是 .

(2)新课标人教 A 版必修一第 44 页复习参考题 A 组第八题 设 f ( x) ?

1 1 ? x2 ,求证: (1) f (? x) ? f ( x) ; (2) f ( ) ? ? f ( x) . 2 1? x x

【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行改编、变式或拓展.
- 19 -

改编:设定在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (tan x) ?
f (2) ? f (3) ? 1 1 ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3 ? f(

1 ,则 cos 2 x

1 )? 2012



解:由 f (tan x) ?

1 cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1 ? x2 .得 .由所求式子特征考查: ? ? f ( x ) ? 1 ? x2 cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x

1 1? 2 1 1 ? x2 x f ( x) ? f ( ) ? ? ? 0 . ? f (2) ? f (3) ? x 1 ? x2 1 ? 1 x2

1 1 ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3

? f(

1 )?0. 2012

(3)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 对于函数 f ( x) = a 2 (a 2 +1
x

R) .

(1)探索函数 f ( x) 的单调性; (2)是否存在实数 a 使 f ( x) 为奇函数? 【经典理由】典型的函数性质应用题,可以进行改编、变式或拓展. 改编 对于函数 f ( x ) = a +
2 (x 2x + 1

(1)用定义证明: f ( x) 在 R 上是单调减函数; (2) R) .

若 f ( x) 是奇函数,求 a 值; (3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0. 证明: (1)设 x1 < x2 ,则 f( x1 )-f( x2 )=
x x x x

2 x2 ? 2 x1 2 2 = . 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

∵ 2 2 - 2 1 >0, 2 1 ? 1 >0, 2 2 ? 1 >0.即 f( x1 )-f( x2 )>0.∴f(x)在 R 上是单调减 函数 (2)∵ f ( x) 是奇函数,∴f(0)=0? a=-1. (3)由(1) (2)可得 f ( x) 在 R 上是单调减函数且是奇函数,∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转 化为 f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5) ,? 2t+1≥-t+5? t≥ (t-5)≤0 的解集为:{t|t≥

4 ,故所求不等式 f(2t+1)+f 3

4 }. 3

(4)新课标人教 A 版必修一第 83 页复习参考题 B 组第 4 题 设 f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,求证: 2 2
2 2 2 2

(1)? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? 1 ; (2) f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3) g (2 x ) ? ? g ( x ) ? ? ? f ( x) ? . 【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展. 改编 1:设 f ( x) ?

e x ? e? x e x ? e? x , g ( x) ? ,给出如下结论:①对任意 x ? R ,有 2 2
- 20 -

? g ( x) ? ? ? f ( x) ?
2

2

? 1 ;②存在实数 x0 ,使得 f (2 x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ;③不存在实数 x0 ,使
2 2

得 g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x) ? ;④对任意 x ? R ,有 f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ? 0 ; 其中所有正确结论的序号是

改编 2:已知函数 F ? x ? ? e 满足 F ? x ? ? g ? x ? ? h? x ? ,且 g ? x ? , h? x ? 分别是 R 上的偶函数和
x

奇函数,若 ?x ? ?1,2? 使得不等式 g ?2 x ? ? ah? x ? ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .

六.考点交汇展示: (1)函数的奇偶性与函数的零点交汇 例 1. 【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三五月第二次模拟考试】已知函数 f ( x) ( x ? R) 是偶
- 21 -

函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? 1 ? x ,则方程 f ( x) ?

1 在区间 1? | x |

[?10 ,10] 上的解的个数是( )
A.8 B.9 C.10 D.11

(2) 函数的周期性与函数的零点交汇 例 2. 【2014 高考江苏卷第 13 题】 已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数, 当 x ? ? 0,3? 时,

f ( x) ? x 2 ? 2 x ?
数 a 的取值范围是

1 ,若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零点(互不相同) ,则实 2


- 22 -

【考点】函数的零点,周期函数的性质,函数图象的交点问题. (3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例 3. 【2014 高考江苏第 19 题】已知函数 f ( x) ? e ? e
x ?x

,其中 e 是自然对数的底数.

(1)证明: f ( x) 是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf ( x) ? e
?x

? m ? 1 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;

3 (3) 已知正数 a 满足: 存在 x0 ? (1, ??) , 使得 f ( x0 ) ? a ( ? x0 试比较 e a ?1 与 a e ?1 ? 3x0 ) 成立,

的大小,并证明你的结论.

- 23 -

(3)由题意,不等式 f ( x) ? a ( ? x ? 3 x) 在 [1, ??) 上有解,由 f ( x) ? a ( ? x ? 3 x) 得
3 3

ax3 ? 3ax ? e x ? e ? x ? 0 ,记 h( x) ? ax 3 ? 3ax ? e x ? e ? x , h '( x) ? 3a ( x 2 ? 1) ? e x ? e ? x ,显
然 h '(1) ? 0 ,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 (因为 a ? 0 ) ,故函数 h( x) 在 [1, ??) 上增函数,

1 h( x)最小 ? h(1) ,于是 h( x) ? 0 在 [1, ??) 上有解,等价于 h(1) ? a ? 3a ? e ? ? 0 ,即 e

- 24 -

a?

1 1 (e ? ) ? 1 .考察函数 2 e

【考点特训】 1. 【广州市珠海区 2015 届高三 8 月摸底考试 5】下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函 数的是( ) B. f ( x) ? sin x C. f ? x ? ?

A. f ( x) ? x 3

1 x

D. f ( x) ? ? x | x |

2 ? ? x ? 1??? x ? 0 ? 2. 【北京市重点中学 2015 届高三 8 月开学测试 3】已知函数 f ? x ? ? ? ,则下 ? ?cos x???? x ? 0 ?

列结论正确的是( A. f ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? 是周期函数 【答案】D. 【解析】

) B. f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是增函数 D. f ? x ? 的值域为 [?1, ??)

- 25 -

试题分析:A:当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∴ f ( x) ? x ? 1 , f (? x) ? cos( ? x) ? cos x ,∴
2

f ( x) ? f (? x) ,∴

3. 【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 2】函数 f ? x ? ? log 1 x ? 4 的单调递增区间
2 2

?

?

为(

) B.(-∞,0) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)

A.(0,+∞)

4. 【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 4】已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数, 令 a ? f ? sin A. b ? a ? c B. c ? b ? a

? ?

2? 7

5? ? ? ? , b ? f ? cos 7 ? ?

5? ? ? ? , c ? f ? tan 7 ? ?
D. a ? b ? c

? ? , 则( ?



C. b ? c ? a

- 26 -

5. 【四川省成都市 2015 届高中毕业班摸底测试 9】已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(4
2 ? ? x , x ? (? 1, 1] -x)=f(x),且当 x∈(-1,3]时,f(x)= ? ,则函数 g(x)=f(x)-|lgx| 1 ? cos ? x, x ? (1, 3] ? ? 2

的零点个数是 A、7



) B、8 C、9 D、10

6. 【2014 年浙江省嘉兴市 2014 届高三 3 月教学测试 (一) 】 若 f ? x? ? ? x ? a? x ? a ? x ? 4 的图像是中心对称图形,则 a ? ( A.4 B. ? )

?

?

4 3

C.2

D. ?

2 3

- 27 -

7. 【2014 年浙江省嘉兴市 2014 届高三 3 月教学测试(一) 】若函数 f ? x ?? x ? R ? 是奇函数, 函数 g ? x ?? x ? R ? 是偶函数,则一定成立的是( A.函数 f ? ? g ? x ?? ? 是奇函数 C.函数 f ? ? f ? x ?? ? 是奇函数 【答案】C )

B.函数 g ? ? f ? x ?? ? 是奇函数 D.函数 g ? ? g ? x ?? ? 是奇函数

8. 【2014 年石景山区高三统一测试(理) 】下列函数中,在 (0 , ? ?) 内单调递减,并且是偶 函数的是( ) A. y ? x 2 B. y ? x ? 1 C. y ? ? lg | x | D. y ? 2 x

9. 【北京市顺义区 2014 届高三第一次统考(理) 】已知 a ? 0 且 a ? 1 ,函数

- 28 -

?(a ? 1) x ? 3a ? 4, ( x ? 0) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x) ? ? x 满足对任意实数 x1 ? x2 ,都有 ? 0 成立,则 x2 ? x1 ?a , ( x ? 0)

a 的取值范围是 (
(A) ? 0,1?

) ( C) ? 1, ? 3

(B) ?1, ?? ?

? 5? ? ?

( D) ? , 2 ? [

?5 ?3

? ?

10. 【上海市松江区 2014 届高三上学期期末考试数学(理)试题】已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对 于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①“ f ( x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a ) 的图像关于点 A(a, 0) 对称” ; ②“ f ( x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a ) 的图像关于直线 x ? a 对称” ; ③“ 2a 是 f ( x) 的一个周期”的充要条件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a ) ? ? f ( x ) ” ; ④ “函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f (b ? x ) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.③④

- 29 -

11. 【广东省揭阳市 2014 届高三 3 月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数,且在 ? 0,1? 上 单调递增的是( A. y ? sin ? x ? )

? ?

??
? 2?

B. y ? 1 ? 2 cos 2 2 x

C. y ? ? x 2

D. y ? sin ?? ? x ?

在区间 ? 0,1? 上单调递增,合乎题意,故选 D. 考点:函数的奇偶性与单调性

12. 【2013 年浙江省第二次五校联考】设 a ? 0, 且a ? 1 ,函数

f ( x) ? log a

x ?1 x ? 1 在 (1, ??) 单
调 递 减 , 则

f ( x)


- 30 -

) A.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单调递增 B.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单 调递减 C.在 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1,1) 上单调递增 D.在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上单 调递减

13.【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知 f ( x) 是定义域为实数集 R 的偶 函数, ? x1 ? 0 , ? x 2 ? 0 ,若 x1 ? x 2 ,则

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 1 3 ? 0 .如果 f ( ) ? , 3 4 x 2 ? x1

4 f ( log 1 x ) ? 3 ,那么 x 的取值范围为
8



) (B) (

(A) ( 0 ,

1 ) 2 1 1 ( 0, ) ? ( , 2 ) 8 2

1 , 2) 2

(C) (

1 , 1 ] ?( 2 , ? ?) 2

(D)

14.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知函数:① f ( x) ? ? x ? 2 x ,②
2

- 31 -

?x f ( x) ? cos( ? ) ,③ f ( x) ? |x ? 1| 2 .则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是 2 2
( ) 命题 q : f ( x ? 1) 在 (0,1) 上是增函数;

?

1

命题 p : f ( x) 是奇函数; 命题 r : f ( ) ?

1 1 ; 命题 s : f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称 2 2 A.命题 p、q B.命题 q、s C.命题 r、s D.命题 p、r

15.【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联考】已知函数 y ? f ( x) 是 x ? R 上的奇函数且 满足 f ( x ? 5) ? f ( x), f ( x ? 1) ? f ( x) ,则 f (2013) 的值为( A.0 B 1 C. 2 D.4 )

16. 【湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试 12】已知偶函数 f ? x ? 在

1 ??0,则 x 的取值集合是__________. ?0, ?? ? 单调递减, f ?2? ? 0,若 f ?x?

- 32 -

17. 【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学质量监测(一)16】已知函数
x 1 , f ( x) ? sin ,x ? R ,将函数 y ? f ( x) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐不变) 2 2

得到函数 g ( x) 的图象,则关于 f ( x) ? g ( x) 有下列命题: ①函数 y ? f ( x) ? g ( x) 是奇函数; ②函数 y ? f ( x) ? g ( x) 不是周期函数; ③函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像关于点(π ,0)中心对称; ④ 函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的最大值为 其中真命题为____________
3 . 3

- 33 -

18.【2014 南通高三期末测试】设函数 y ? f ( x) 是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当

? ?lg | x | ,x ? 0 , x ? ? ?1 , 1? 时, f ( x) ? 1 ? x 2 ;已知函数 g ( x) ? ? 则函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象在区 1 , x ? 0 . ? ?

10? 内公共点的个数为 间 ? ?5 ,



19.【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】设函数 f ( x) ? ? 数 g ( x) ? f ( x) ? ax, x ? [?2,2] 为偶函数,则实数 a 的值为

?? 1 ?x ?1


?2? x ?0 ,若函 0? x?2

- 34 -

20. 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 给出定义: 若m ?

1 1 < x ? m + (其中 m 2 2

为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记作 {x} ,即 {x}=m . 在此基础上给出下列关于 函数 f (x )=x ? {x} 的四个命题: ① y =f (x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?

1 1 , ]; 2 2

②点 (k ,0) 是 y =f (x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y =f (x ) 的最小正周期为; ④ 函数 y =f (x ) 在 ( ?

1 3 , ] 上是增函数. 2 2


则上述命题中真命题的序号是

21. 【上海市 2014 届高三八校联合调研考试数学(理)试题】(本题满分 14 分;第(1)小

- 35 -

题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分) 已知 f ? x ? ? lg

? 4x

2

? b ? 2 x ,其中 b 是常数.

?

(1)若 y ? f ? x ? 是奇函数,求 b 的值; (2)求证: y ? f ? x ? 的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于 x 轴.

要证明函数 y ? f ? x ? 的图像上不存在两点 A、 B, 使得直线 AB 平行于 x 轴, 即方程 f ( x) ? a 不 可能有两个或以上的解,最多只有一个解,由于 f ( x) 表达式不太简便,因此我们可以从简单 的方面入手试试看,看 f ( x) 是不是单调函数,本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数 是单调函数,故本题结论得证.

- 36 -

【考点预测】 1.【热点 1 预测】若 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+ )上单调递增,则下列结论: ①y=|f(x)|是偶函数;②对任意的 x R 都有 f(-x)+|f(x)|=0;③y=f(-x)在(递增;④y=f(x)f(-x)在(A.1 B 2 C.3 0]上单调递增.其中正确结论的个数为( D.4 ) 0]上单调

2. 【热点 2 预测】下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( A. y ? 2| x| B. y ? 1g ( x ?

) D. y ? 1g

x 2 ? 1)

C. y ? 2 x ? 2? x

1 x ?1

- 37 -

3.【热点 3 预测】已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1] 内有且只有一个根 x ? A.2011

1 ,则 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013? 内根的个数为( 2
C.2013 D.1007



B.1006

4. 【热点 4 预测】函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 , 则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).

- 38 -

5. 设 y ? f ( x) 为 R 上的奇函数, 且 g ( x) ? f ( x ? 1) , 则 y ? g ( x) 为 R 上的偶函数, g (0) ? 2 .

f ( x) ?

. (只需写出一个满足条件的函数解析式即可)

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