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安徽省黄山市田家炳实验中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

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2014-2015 学年安徽省黄山市田家炳实验中学高三(上)第一次 月考数学试卷(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi=2+i,则 z 等于( A. 2﹣i B. ﹣2﹣i C. 1+2i D. 1﹣2i
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2.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(? RB)=( A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4) 3.各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果是(



,则 log2a7+log2a11=(





A.

B.

C.

D.

5.已知 a,b 是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件



6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( )

A.

B. (4+π)

C.

D.

7.设变量 x,y 满足约束条件

.目标函数 z=ax+2y 仅在(1,0)处取得最小值,

则 a 的取值范围为( ) A. (﹣1,2) B. (﹣2,4) C. (﹣4,0] D. (﹣4,2) 8.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( ) A. 24 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种

9.如图,F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与

C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为 ( )

A.

B.

C. 2 D.

10.定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上 任意一点,其中 x=λa+(1﹣λ)b∈[a,b],已知向量 式 恒成立,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似” .若函数 ) ,若不等 在[1,

2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为(

A. [0,+∞) B.

C.

D.

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分) 11.若在 的展开式中,第 4 项是常数项,则 n= .

12.随机变量 X~N(1,б ) ,若 P(|X﹣1|<1)= ,则 P(X≥0)=

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13.已知|

|=1,|

|≤1,且 S△OAB= ,则



夹角的取值范围是



14.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 点 M 的极坐标为(4 , π) ,曲线 C 的参数方程为 . (α为参数) ,则过点 M

与曲线 C 相切的直线方程为

15.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出以下四个命题: ①当 c=0 时,有 f(﹣x)=﹣f(x)成立; ②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0,只有一个实数根; ③函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④当 x>0 时,函数 f(x)=x|x|+bx+c,f(x)有最小值是 c﹣ 其中正确的命题的序号是 . .

三、 解答题 (共 6 小题, 共 75 分, 解答时需要写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.) 16.已知函数 f(x)= sin2x+cos2x+3 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a= ,f(A)=4,求 b+c 的最 大值. 17.乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发 球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球, 发球方得 1 分的概率为 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)ξ表示开始第 4 次发球时乙的得分,求ξ的分布列与数学期望. 18.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (Ⅰ)求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值;

(Ⅱ)设 M 是线段 BD 上的一个动点,问当 你的结论.

的值为多少时,可使得 AM∥平面 BEF,并证明

19.已知 P 为抛物线 C:y =2px(p>0)的图象上位于第一象限内的一点,F 为抛物线 C 的 焦点,O 为坐标原点,过 O、F、P 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线的准线的距离为 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 N(﹣4,0)作 x 轴的垂线 l,S、T 为 l 上的两点,满足 OS⊥OT,过 S 及 T 分别 作 l 的垂线与抛物线 C 分别相交于 A 与 B,直线 AB 与 x 轴的交点为 M,求证:M 是定点,并 求出该点的坐标. 20.已知函数 f(x)=x(x﹣a) +b 在 x=2 处有极大值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线 y=f(x)相切,求 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈[﹣2,4]时,函数 y=f(x)的图象在抛物线 y=1+45x﹣9x 的下方,求 b 的取 值范围 21.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}滿足 {bn}是等差数列; (Ⅲ)证明: . ,证明:数列
* 2 2

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2014-2015 学年安徽省黄山市田家炳实验中学高三(上) 第一次月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi=2+i,则 z 等于( A. 2﹣i B. ﹣2﹣i C. 1+2i D. 1﹣2i 考点: 专题: 分析: 解答: ∴z=



复数代数形式的乘除运算. 计算题. 将 zi=2+i 变形,可求得 z,再将其分母实数化即可. 解:∵zi=2+i, = = =1﹣2i,

故选 D. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,将其分母实数化是关键,属于基础题. 2.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x ﹣2x﹣3≤0},则 A∩(? RB)=( A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2)∪(3,4)
2



考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算规 则解出 A∩(? RB)即可得出正确选项 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故? RB={x|x<﹣1 或 x>3}, 又集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩(? RB)=(3,4) 故选 B 点评: 本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是 解解题的关键 3.各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用 a4? a14=(a9) ,各项为正,可得 a9=2 出结论.
2

,则 log2a7+log2a11=(



,然后利用对数的运算性质,即可得 ,

解答: 解:∵各项为正的等比数列{an}中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ∴a4? a14=(2 ) =8,

∵a4? a14=(a9) , ∴a9=2 , 2 ∴log2a7+log2a11=log2a7a11=log2(a9) =3, 故答案为:3. 点评: 本题考查等比数列的通项公式和性质,涉及对数的运算性质,属基础题. 4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果是( )

2

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 由题意可知,该程序的作用是求解 n= 即可求解 解答: 解:由题意可知,该程序的作用是求解 n= 而 . 的值, 的值,然后利用裂项求和

故选 C. 点评: 本题考查了程序框图中的循环结构的应用,解题的关键是由框图的结构判断出框图 的计算功能 5.已知 a,b 是实数,则“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 因为“|a+b|=|a|+|b|” ,说明 ab 同号,但是有时 a=b=0 也可以,从而进行判断;

解答: 解:若 ab>0,说明 a 与 b 全大于 0 或者全部小于 0, ∴可得“|a+b|=|a|+|b|” , 若“|a+b|=|a|+|b|” ,可以取 a=b=0,此时也满足“|a+b|=|a|+|b|” , ∴“ab>0”? “|a+b|=|a|+|b|” ; ∴“|a+b|=|a|+|b|”是“ab>0”必要不充分条件, 故选 B; 点评: 此题主要考查充分条件和必要条件的定义,是一道基础题; 6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( )

A.

B. (4+π)

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个组合体,是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体,圆柱的底面直 径和母线长都是 2,四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形,做出圆锥的高,根据圆锥和圆 柱的体积公式得到结果. 解答: 解:由三视图知,几何体是一个组合体, 是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体, 圆柱的底面直径和母线长都是 2, 四棱锥的底面是一个边长是 2 的正方形, 四棱锥的高与圆锥的高相同,高是 ∴几何体的体积是 = , = ,

故选 D. 点评: 本题考查由三视图求组合体的体积,考查由三视图还原直观图,本题的三视图比较 特殊,不容易看出直观图,需要仔细观察.

7.设变量 x,y 满足约束条件

.目标函数 z=ax+2y 仅在(1,0)处取得最小值,

则 a 的取值范围为( ) A. (﹣1,2) B. (﹣2,4) C. (﹣4,0] D. (﹣4,2)

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义求最值,只需利用直线之间的斜 率间的关系,求出何时直线 z=ax+2y 过可行域内的点(1,0)处取得最小值,从而得到 a 的取值范围即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 当 a=0 时,显然成立. 当 a>0 时,直线 ax+2y﹣z=0 的斜率 k=﹣ >kAC=﹣1, 解得 a<2. 当 a<0 时,k=﹣ <kAB=2 解得 a>﹣4. 综合得﹣4<a<2, 故选:D.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,体现了数形结合思想、化归思想.线性规划中的最 优解,通常是利用平移直线法确定. 8.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B 和 C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( ) A. 24 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分步计数问题,A 只能出现在第一步或最后一步,从第一个位置和最后 一个位置选一个位置把 A 排列,程序 B 和 C 实施时必须相邻,把 B 和 C 看做一个元素,同除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之间还有一个排列. 解答: 解:本题是一个分步计数问题, ∵由题意知程序 A 只能出现在第一步或最后一步, ∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 A 排列,有 A2 =2 种结果 ∵程序 B 和 C 实施时必须相邻,
1

∴把 B 和 C 看做一个元素,同除 A 外的 3 个元素排列,注意 B 和 C 之间还有一个排列,共有 A4 A2 =48 种结果 根据分步计数原理知共有 2×48=96 种结果, 故选 C. 点评: 本题考查分步计数原理,考查两个元素相邻的问题,是一个基础题,注意排列过程 中的相邻问题,利用捆绑法来解,不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列.
4 2

9.如图,F1,F2 是双曲线 C:

(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与

C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,则双曲线的离心率为 ( )

A.

B.

C. 2 D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的定义可求得 a=1,∠ABF2=90°,再利用勾股定理可求得 2c=|F1F2|,从 而可求得双曲线的离心率. 解答: 解:∵|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,不妨令|AB|=3,|BF2|=4,|AF2|=5, ∵|AB| +
2

=



∴∠ABF2=90°, 又由双曲线的定义得:|BF1|﹣|BF2|=2a,|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|, ∴|AF1|=3. ∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a, ∴a=1. 在 Rt△BF1F2 中, ∴4c =52, ∴c= . ∴双曲线的离心率 e= = 故选 A. .
2

=

+

=6 +4 =52,又

2

2

=4c ,

2

点评: 本题考查双曲线的简单性质,求得 a 与 c 的值是关键,考查转化思想与运算能力, 属于中档题. 10.定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上 任意一点,其中 x=λa+(1﹣λ)b∈[a,b],已知向量 式 恒成立,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似” .若函数 ) D. ,若不等 在[1,

2]上“k 阶线性近似” ,则实数 k 的取值范围为( A. [0,+∞) B. C.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 本题求解的关键是得出 M、N 横坐标相等,将恒成立问题转化为求函数的最值问题. 解答: 解: 由题意, M、 N 横坐标相等, 的最大值,所以本题即求 的最大值. 恒成立即 k 恒大于等于 , 则 k≥

由 N 在 AB 线段上,得 A(1,0) ,B(2, ) AB 方程 y= (x﹣1) 由图象可知,MN=y1﹣y2=x﹣ ﹣ (x﹣1)= ﹣( + )≤ (均值不等式)

故选 D. 点评: 解答的关键是将已知条件进行转化,同时应注意恒成立问题的处理策略. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分) 11.若在 的展开式中,第 4 项是常数项,则 n= 18 .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用 的展开式的通项公式 Tr+1= ?(﹣1) ?
r

? x ,由

﹣r

第 4 项是常数项即可求得 n 的值. 解答: 解:设 的展开式的通项公式为 Tr+1,

则 Tr+1=

?(﹣1) ?

r

? x =(﹣1) ?

﹣r

r

?



∵第 4 项是常数项,

∴ (n﹣3)﹣3=0, ∴n=18. 故答案为:18. 点评: 本题考查二项式系数的性质,着重考查二项展开式的通项公式,属于中档题.
2

12.随机变量 X~N(1,б ) ,若 P(|X﹣1|<1)= ,则 P(X≥0)=



考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据 X~N(1,σ ) ,可得图象关于 x=1 对称,利用 P(|X﹣1|<1)= ,即可求得 结论. 解答: 解:∵P(|X﹣1|<1)= , ∴P(0<X<2)= , ∵X~N(1,σ ) ,∴图象关于 x=1 对称, ∴P(X<0)= ∴P(X≥0)=1﹣ = , 故答案为: 点评: 本题考查正态分布的特点,是一个基础题,解题时注意正态曲线的对称性和概率之 和等于 1 的性质.
2 2

13.已知|

|=1,|

|≤1,且 S△OAB= ,则



夹角的取值范围是



考点: 数量积表示两个向量的夹角;三角形的面积公式;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 与 夹角为θ, (θ∈[0,π]) ,由于 = , 化为 而解出. 解答: 解:设 ∵ ∴ ,且 与 夹角为θ, (θ∈[0,π]) , , = , = , 再利用 ,且 , 可得 ,可得 . 进

∴ ∵ ∴ ∴θ

= ,∴

, . , .

故答案为: 点评: 本题考查了三角形的面积公式、向量的数量积和夹角公式和计算能力,属于中档题. 14.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 点 M 的极坐标为(4 , π) ,曲线 C 的参数方程为 7x﹣24y+68=0 和 x=4 . (α为参数) ,则过点 M

与曲线 C 相切的直线方程为

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心和半径,分切线的斜率不存在、存在两种 情况,分别求得切线的方程. 解答: 解:根据点 M 的极坐标为(4 把曲线 C 的参数方程为
2 2

, π) ,可得点 M 的直角坐标为(4,4) , (α为参数) ,消去参数化为直角坐标方程为 (x﹣1)

+y =9, 表示以(1,0)为圆心、半径等于 3 的圆. 当切线的斜率不存在时,切线的方程为 x=4, 当切线的斜率存在时,设切线的方程为 y﹣4=k(x﹣4) ,即 kx﹣y+4﹣4k=0, 由圆心到切线的距离等于半径,可得 6k ﹣24k﹣13=0,求得 k=
2



故切线的方程为 7x﹣24y+68=0, 综上可得,圆的切线方程为:7x﹣24y+68=0 和 x=4, 故答案为:7x﹣24y+68=0 和 x=4. 点评: 本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆相切的性质,点到直 线的距离公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于基础题. 15.设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出以下四个命题: ①当 c=0 时,有 f(﹣x)=﹣f(x)成立; ②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0,只有一个实数根; ③函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④当 x>0 时,函数 f(x)=x|x|+bx+c,f(x)有最小值是 c﹣ 其中正确的命题的序号是 ①②③ . .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 探究型;函数的性质及应用. 分析: ①c=0,f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f(x) ,由奇函数的定义判断
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②b=0,c>0,f(x)=x|x|+c=

,根据函数的图象可得结论;

③因为 f(x)=|x|x+bx 为奇函数,所以图象关于(0,0)对称,而 f(x)=|x|x+bx+c 是把 f(x)=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单位,故可得结论; ④当 x>0 时,函数 f(x)=x|x|+bx+c=x +bx+c,若 b≤0,则 f(x)有最小值
2



解答: 解:①c=0,f(x)=x|x|+bx,f(﹣x)=﹣x|﹣x|+b(﹣x)=﹣f(x) ,故①正确; ②b=0,c>0,f(x)=x|x|+c= ,因为 c>0,所以当 x>0 时,函数顶点

在 x 轴上方且开口向上,图象与 x 轴无交点,当 x<0 时,图象顶点在 x 轴上方且开口向下, 图象与 x 轴只有一个交点,故方程 f(x)=0 只有一个实数根,命题②正确; ③因为 f(x)=|x|x+bx 为奇函数,所以图象关于(0,0)对称,而 f(x)=|x|x+bx+c 是把 f(x)=|x|x+bx 向上或向下平移了|c|各单位,所以 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称, 故命题③正确; ④当 x>0 时,函数 f(x)=x|x|+bx+c=x +bx+c,若 b≤0,则 f(x)有最小值
2

,故

④不正确 综上,正确的命题的序号是①②③ 故答案为:①②③ 点评: 本题综合考查了函数的奇偶性、对称性及函数图象在解题中的运用,要求考生熟练 掌握函数的性质,并能灵活运用性质求解. 三、 解答题 (共 6 小题, 共 75 分, 解答时需要写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤.) 16.已知函数 f(x)= sin2x+cos2x+3 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期与单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 a= ,f(A)=4,求 b+c 的最 大值. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用两角和公式对函数解析式整理后,利用三角函数周期公式求得最小周期, 然后利用三角函数性质求得函数的单调增区间. (Ⅱ)利用 f(A)的值,求得 A,进而利用正弦定理分别表示出 b 和 c,然后利用两角和公 式整理后,利用三角函数的性质求得 b+c 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ) =2sin(2x+ )+3

∴f(x)的最小正周期 T= 由 ∴f(x)的单调递减区间为

=π 得 , )+3=4,sin(2A+ )=

(Ⅱ)由 f(A)=4 得 2sin(2A+ ∵0<A<π, ∴ <2A+ = < ,A= , ,

∴2A+ ∴ 又∵ ∴ ∴当

=

=

=2, =

时,b+c 最大为 2

点评: 本题主要考查两角和公式的运用,正弦定理的应用,三角函数的性质等知识点.考 查了学生对三角函数基础知识的综合运用. 17.乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发 球 2 次,依次轮换,每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球, 发球方得 1 分的概率为 ,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)ξ表示开始第 4 次发球时乙的得分,求ξ的分布列与数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜” ,i=1,2,3,则 P(A1)=P(A2)= ,P(A3) = . “开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2”为事件 + A2 + ,由

此能求出开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率. (2)由题意ξ=0,1,2,3.分别求出 P(ξ=0) ,P(ξ=1) ,P(ξ=2) ,P(ξ=3) ,由此 能求出 Eξ. 解答: 解: (1)记 Ai 为事件“第 i 次发球,甲胜” ,i=1,2,3, 则 P(A1)=P(A2)= ,P(A3)= . “开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2”为事件

+ 其概率为 P(

A2

+



+

A2

+

)=2× × × + × × =



即开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率为 (2)由题意ξ=0,1,2,3. P(ξ=0)= × × = ,
3

.…(6 分)

P(ξ=1)=2× × × +( ) = P(ξ=2)=2× × × + × × = P(ξ=3)= ∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P 所以 Eξ=0× +1× +2× = ,

, ,

+3×

= .…(12 分)

点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要 认真审题,仔细解答,注意概率知识的合理运用. 18.如图,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成角为 60°. (Ⅰ)求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值; (Ⅱ)设 M 是线段 BD 上的一个动点,问当 你的结论. 的值为多少时,可使得 AM∥平面 BEF,并证明

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定.

专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)说明 DA,DC,DE 两两垂直,以 D 为原点,DA,DC,DE 分别为 x,y,z 轴建 立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示. 求出 A,F,E,B,C 的坐标,设平面 BEF 的法向量为 =(x,y,z) ,利用 ,求出

,说明

为平面 BDE 的法向量,通过

,求出二面角 F﹣

BE﹣D 的余弦值. (Ⅱ)设 M(t,t,0) .通过 AM∥平面 BEF,通过 即可得到 的值. ,求出点 M 坐标为(2,2,0) ,

解答: 解: (Ⅰ) 因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 DE⊥AC.因为 ABCD 是正方形, 所以 AC⊥BD,从而 AC⊥平面 BDE. 所以 DA,DC,DE 两两垂直,以 D 为原点,DA,DC,DE 分 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60°,即∠DBE=60°, 所以 . . ) ,E(0,0,3 ,

由 AD=2 可知 DE= ,AF= 则 A(3,0,0) ,F(3,0. 所以

) ,B(3,3,0) ,C(0,3,0) , , (8 分)

设平面 BEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则

,即



令 z=

,则 =(4,2,

) . 为平面 BDE 的法向量, = = =(3,﹣3,0) , .

因为 AC⊥平面 BDE,所以 所以

因为二面角为锐角,所以二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值为

. (8 分) ,

(Ⅱ)解:点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0) .则 因为 AM∥平面 BEF,所以 此时,点 M 坐标为(2,2,0) , ,即 4(t﹣3)+2t=0,解得 t=2. 符合题意. (12 分)

点评: 本题考查用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,空间向量与空间直 角坐标系的应用,考查计算能力. 19.已知 P 为抛物线 C:y =2px(p>0)的图象上位于第一象限内的一点,F 为抛物线 C 的 焦点,O 为坐标原点,过 O、F、P 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线的准线的距离为 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 N(﹣4,0)作 x 轴的垂线 l,S、T 为 l 上的两点,满足 OS⊥OT,过 S 及 T 分别 作 l 的垂线与抛物线 C 分别相交于 A 与 B,直线 AB 与 x 轴的交点为 M,求证:M 是定点,并 求出该点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意得 (Ⅱ) 设 ,由此能示出抛物线 C 的方程. ,
2

由题意推导出 A(4,4) ,B(4,﹣4) ,直线 AB 过定点(4,0) ,由此能证明 M 为定点(4, 0) . 解答: (Ⅰ)解:由题意得:点 Q 的横坐标为 , 则 所以抛物线 C 的方程为 y =4x. (Ⅱ)证明:设 , 所以
2

由题意





当 y1+y2=0 时,y1=﹣y2,则 y1=4,y2=﹣4, A(4,4) ,B(4,﹣4) ,直线 AB 过定点(4,0) , 当

直线 AB 方程为 y﹣y1=



即 M(4,0) ,综上过定点 M(4,0) . 点评: 本题考查抛物线方程的求法,考查直线与 x 轴的交点为定点的证明,解题时要认真 审题,注意函数与方程思想的合理运用. 20.已知函数 f(x)=x(x﹣a) +b 在 x=2 处有极大值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若过原点有三条直线与曲线 y=f(x)相切,求 b 的取值范围; (Ⅲ)当 x∈[﹣2,4]时,函数 y=f(x)的图象在抛物线 y=1+45x﹣9x 的下方,求 b 的取 值范围 考点: 等比关系的确定;利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)通过对函数 f(x)求导,根据函数在 x=2 处有极值,可知 f'(2)=0,解得 a 的值. (Ⅱ)把(1)求得的 a 代入函数关系式,设切点坐标,进而根据导函数可知切线斜率,则 切线方程可得,整理可求得 b 的表达式,令 g'(x)=0 解得 x1 和 x2.进而可列出函数 g(x) 的单调性进而可知﹣64<b<0 时,方程 b=g(x)有三个不同的解,结论可得. (Ⅲ)当 x∈[﹣2,4]时,函数 y=f(x)的图象在抛物线 y=1+45x﹣9x 的下方,进而可知 3 2 2 x ﹣12x +36x+b<1+45x﹣9x 在 x∈[﹣2,4]时恒成立,整理可得关于 b 的不等式,令 h(x) 3 2 =﹣x +3x +9x+1,对 h(x)进行求导由 h'(x)=0 得 x1 和 x2.分别求得 h,h(﹣1) ,h(3) , h(4) ,进而可知 h(x)在[﹣2,4]上的最小值是,进而求得 b 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=x(x﹣a) +b=x ﹣2ax+a x+b, 2 2 f'(x)=3x ﹣4ax+a , 2 f'(2)=12﹣8a+a =0,解得 a=2,a=6, 当 a=2 时,函数在 x=2 处取得极小值,舍去; 当 a=6 时,f'(x)=3x ﹣24x+36=3(x﹣2) (x﹣6) ,函数在 x=2 处取得极大值,符合题意, ∴a=6. (Ⅱ)f(x)=x ﹣12x +36x+b, 3 2 2 设切点为(x0,x0 ﹣12x0 +36x0+b) ,则切线斜率为 f'(x)=3x0 ﹣24x0+36,切线方程为 3 2 2 y﹣x0 +12x0 ﹣36x0﹣b=(3x0 ﹣24x0+36) (x﹣x0) , 2 3 2 即 y=(3x0 ﹣24x0+36)x﹣2x0 +12x0 +b, 3 2 ∴﹣2x0 +12x0 +b=0
3 2 2 2 3 2 2 2 2

∴b=2x0 ﹣12x0 . 3 2 2 令 g(x)=2x ﹣12x ,则 g'(x)=6x ﹣24x=6x(x﹣4) , 由 g'(x)=0 得,x1=0,x2=4. 函数 g(x)的单调性如下:

3

2

∴当﹣64<b<0 时,方程 b=g(x)有三个不同的解,过原点有三条直线与曲线 y=f(x)相 切. (Ⅲ)∵当 x∈[﹣2,4]时,函数 y=f(x)的图象在抛物线 y=1+45x﹣9x 的下方, 3 2 2 ∴x ﹣12x +36x+b<1+45x﹣9x 在 x∈[﹣2,4]时恒成立, 3 2 即 b<﹣x +3x +9x+1 在 x∈[﹣2,4]时恒成立. 3 2 2 令 h(x)=﹣x +3x +9x+1,则 h'(x)=﹣3x +6x+9=﹣3(x﹣3) (x+1) , 由 h'(x)=0 得,x1=﹣1,x2=3. ∵h(﹣2)=3,h(﹣1)=﹣4,h(3)=28,h(4)=21, ∴h(x)在[﹣2,4]上的最小值是﹣4,b<﹣4. 点评: 本题主要考查了用导函数求函数的单调性和极值问题.综合性强,难度大,属中档 题. 21.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}滿足 {bn}是等差数列; (Ⅲ)证明: . ,证明:数列
* 2

考点: 等差关系的确定;数列递推式. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ) 整理题设递推式得 an+1+1=2(an+1) ,推断出{an+1}是等比数列, 进而求得 an+1, 则 an 可求. (Ⅱ) 根据题设等式可推断出 2[ (b1+b2+…+bn) ﹣n]=nbn 和 2[ (b1+b2+…+bn+bn+1) ﹣ (n+1) ]= (n+1)bn+1.两式相减后整理求得 bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn 进而推断出{bn}是等差数列. (Ⅲ)利用(Ⅰ)中数列{an}的通项公式,利用不等式的传递性,推断出 ,进而

推断出

;同时利用不等式的性质推断出

,进而

代入

证明原式.

解答: 解: (Ⅰ)∵an+1=2an+1(n∈N ) , ∴an+1+1=2(an+1) , ∴{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列. n ∴an+1=2 . n * 即 an=2 ﹣1∈N ) . (Ⅱ)证明:∵ ∴ .

*

∴2[(b1+b2+…+bn)﹣n]=nbn,① 2[(b1+b2+…+bn+bn+1)﹣(n+1)]=(n+1)bn+1.② ②﹣①,得 2(bn+1﹣1)=(n+1)bn+1﹣nbn, 即(n﹣1)bn+1﹣nbn+2=0,nbn+2﹣(n+1)bn+1+2=0. ③﹣④,得 nbn+2﹣2nbn+1+nbn=0, 即 bn+2﹣2bn+1+bn=0, * ∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn(n∈N ) , ∴{bn}是等差数列. (Ⅲ)证明:∵ ,k=1,2,n,





∵ n, ∴

,k=1,2,…,







点评: 本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解 题能力.


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