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高一函数整理版(知识点+练习题)

时间:2016-02-17


函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射与函数 (1)映射:设,如果按照某种映射法则 f,对于集合 A 中的任一个元素,在集合 B 中都有唯一的元素和它 对应,则这样的对应(包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B。 (2)函数是特殊的映射:f:A→B(A、B 是两个 集) 注意点: (1

)对映射定义的理解。 (2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射, 是映射 2、函数: (1)函数记法及理解; : (2)构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同 (3)函数的三种表示法: (4)几种常见函数的三要素 (1)一次函数 、 (2)二次函数 (3)反比例函数 (4)指数函数 (5)对数函数 (6)三角函数 y ? sin x

y ? cos x y=tanx
(7)幂函数 特例 y ? x ?
1 2

x

, ( B、 f ( x) ? lg )

热练:
1、下列各对函数中,相同的是 A、 f ( x) ? lg x , g ( x) ? 2 lg x
2

x ?1 , g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 1) x ?1

C、 f (u ) ?

2、 M ? {x | 0 ? x ? 2}, N ? { y | 0 ? y ? 3} 给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的 有 ( ) A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 y 2 1
O

1? u 1? v , g (v ) ? 1? u 1? v

D、f(x)=x, f ( x) ?

x2

y 2 1 1 2 x
O

y 3 2 1 1 2 x
O

y 2 1 1 2 x
O

1 2

x

3 函数 y= 1- lg ? x+2 ? 定义域是(



A、 ? 0, 8?

B

8? ?-2,

C

8? ? 2,

D ?8, +? ?

其它函数如双钩函数,分段函数,复合函数,抽象函数等也涉及 二、函数的解析式与定义域 (1)求 函 数 解 析 式 的 几 种形式
1

例 1 设 f ( x) 是一次函数,且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x)

待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 2 已知 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式 x x

配凑法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,求 f ( x) 的解析式, f [ g ( x)] 的表达式容易配成 g ( x) 的运算形式
时,常用配凑法。但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的定义域,而是 g ( x) 的值域。 例 3 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) 及 f ( x ? 1) 的解析式

换元法:已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x) 的解析式。与配凑法一样,要注意所
换元的定义域的变化。 例 4 已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g ( x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g ( x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? ?2 ? ? x? ? ? x ? 4 则? 2 ,解得: ? , y? ? y ? y ? 6 ? y ? ? ?3 ? 2
? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? g ( x) 上

? y ? ? x? 2 ? x?

2

把?

? x? ? ? x ? 4 代入得: ? y? ? 6 ? y

6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4)
整理得 y ? ? x 2 ? 7 x ? 6

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6

代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。
例 5 设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x)

1 x

例 6 设 f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数,又 f ( x) ? g ( x) ?

1 , 试求 f ( x)和g ( x) 的解析式 x ?1

构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求 得函数解析式。 例 7 已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f ( x) 解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y ? y ? 1
2 2 再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1 赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,

往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 七、递推法:若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代 等运算求得函数解析式。 例 8 设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数, 满足 f (1) ? 1 , 对任意的自然数 a , b 都有 f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab , 求 f ( x) 解? f (a) ? f (b) ? f (a ? b) ? ab,a, b ? N ? ,

? 不妨令 a ? x, b ? 1 ,得: f ( x) ? f (1) ? f ( x ? 1) ? x ,
又 f (1) ? 1, 故f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 分别令①式中的 x ? 1, 2? n ? 1 得: ①

3

f (2) ? f (1) ? 2, f (3) ? f (2) ? 3, ?? f (n) ? f (n ? 1) ? n,
将上述各式相加得: f (n) ? f (1) ? 2 ? 3 ? ?n ,

? f ( n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? ? f ( x) ?

n(n ? 1) 2

1 2 1 x ? x, x ? N ? 2 2

1、求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义; (3)对数函数的真数必须大于零; (4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; 6.(05 江苏卷)函数 y ?

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为

? 3? ? 0, ? ? 4?
2 求函数定义域的两个难点问题 (1) 已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

? 5 ? ? ,1 ? ? 2 ? ?

(2) 已知f( 2 x- 1 的定义域是 ) [-1,3],求f( ) x 的定义域

??3,5?
例 2 设 f ( x) ? lg

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为__________ 2? x 2 x

变式练习: f (2 ? x) ? 变式 ?0,16?

4 ? x 2 ,求 f ( x ) 的定义域。

? ?4, ?1? ??1, 4?
三、函数的值域

1 求函数值域的方法 ①直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数; ②换元法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式; ③判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出 y 的取值范围;适合分母为二次且 x ∈R 的分式;
4

④分离常数:适合分子分母皆为一次式(x 有范围限制时要画图) ; ⑤单调性法:利用函数的单调性求值域; ⑥图象法:二次函数必画草图求其值域; ⑦利用对号函数 ⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1. (直接法) y ?

1 x ? 2x ? 3
2

2. f ( x) ? 2 ? 24 ? 2 x ? x 2

3. (换元法) y ? ? x ? 2x ? 1

4. (Δ 法) y ?

3x x ?4
2

5. y ?

x2 ?1 x2 ?1

6. (分离常数法) ① y ?

x x ?1

②y?

3x ? 1 (?2 ? x ? 4) 2x ?1

7. (单调性) y ? x ?

3 ( x ? [?1,3]) 2x

8.① y ?

1 ,② y ? x ? 1 ? x ?1 x ?1 ? x ?1

(结合分子/分母有理化的数学方法)

9.(图象法) y ? 3 ? 2 x ? x (?1 ? x ? 2)
2

10.(对勾函数) y ? 2 x ?

8 ( x ? 4) x

5

11. (几何意义) y ? x ? 2 ? x ?1

一、选择题
1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ⑴ y1 ? ⑵ y1 ? )

( x ? 3)( x ? 5) , y2 ? x ? 5 ; x?3

x ? 1 x ? 1 , y2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ;

⑶ f ( x ) ? x , g ( x) ? ⑷ f ( x) ?
3

x2 ;

x 4 ? x3 , F ( x) ? x 3 x ?1 ;

⑸ f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 , f 2 ( x) ? 2 x ? 5 。 A.⑴、⑵ B.⑵、⑶ C.⑷ D.⑶、⑸ )

2.函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? 1 的公共点数目是( A. 1 B. 0 C. 0 或 1 D. 1 或 2

3.已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a 4 , a 2 ? 3a ,且 a ? N * , x ? A, y ? B 使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( A. 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5 D. 2, 5 )

?

?

? x ? 2( x ? ?1) ? 4.已知 f ( x) ? ? x 2 ( ?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A. 1 B. 1 或



3 2

C. 1 ,

3 或? 3 2

D. 3 )

5.已知函数 y ? f ( x ? 1) 定义域是 [ ?2,3] ,则 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是( A. [0, ] C. [ ?5,5]

5 2

B. [ ?1,4] D. [ ?3,7] )

6.函数 y ? 2 ? ? x2 ? 4 x 的值域是( A. [?2, 2] C. [0, 2] B. [1, 2] D. [? 2, 2]

2 7.已知 f (1 ? x ) ? 1 ? x 2 ,则 f ( x ) 的解析式为( 1? x 1? x



6

x 1? x2 2x C. 1? x2
A.

2x 1? x2 x D. ? 1? x2
B. ?

8.若集合 S ? ? y | y ? 3x ? 2, x ? R? , T ? y | y ? x 2 ? 1, x ? R , 则 S ? T 是( ) A. S B. T C. ? D.有限集 9.函数 y ?

?

?

x x

? x 的图象是(



10.若函数 y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ,值域为 [ ? A. ?0,4? B. [ , 4 ]

25 , ? 4] ,则 m 的取值范围是( 4



3] C. [ ,

3 2

3 2 3 ? ?) D. [ , 2
2

11.若函数 f ( x) ? x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是(



x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? C. f ( 1 2 2
A. f ( 12.函数 f ( x) ? ? A. R

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? D. f ( 1 2 2
B. f ( ) D. ? ?9,1?

?2 x ? x 2 (0 ? x ? 3) ? 的值域是( 2 ? ? x ? 6 x(?2 ? x ? 0)
C. ? ?8,1?

B. ? ?9, ?? ?

二、填空题
1.若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =
2

. 。

2.函数 f ( x) ?

2?

1 x ? 2x ? 3
2

的值域是

3.设函数 y ? ax ? 2a ? 1,当 ?1 ? x ? 1 时, y 的值有正有负,则实数 a 的范围


7

?1 x ? 1( x ? 0), ? ?2 若f (a) ? a. 则实数 a 的取值范围是 4.设函数 f ( x) ? ? ?1 ( x ? 0). ? ?x



5.函数 y ?
三、解答题

( x ? 1)0 x ?x

的定义域是_____________________。

1.求下列函数的定义域 (1) y ?

x ?8 ? 3? x

(2) y ?

x2 ?1 ? 1? x2 x ?1

(3) y ?

1 1? 1? 1 1 x ?x

(4) f ( x) ?

3

x ?1 x ?1

2.求下列函数的值域 (1) y ?

3? x 4? x

(2) y ?

5 2x ? 4x ? 3
2

8

(3) y ? 1 ? 2 x ? x

(4) y ?

x2 ? x ?1

3.求函数 y ? x ? 1 ? 2 x 的值域。

4.设 ? , ? 是方程 4 x2 ? 4mx ? m ? 2 ? 0,( x ? R) 的两实根,当 m 为何值时,

? 2 ? ? 2 有最小值?求出这个最小值.

5.利用判别式方法求函数 y ?

2x 2 ? 2x ? 3 的值域。 x2 ? x ?1

6.已知 a , b 为常数,若 f ( x) ? x ? 4 x ? 3, f (ax ? b) ? x ? 10x ? 24,
2 2

则求 5a ? b 的值。

7.对于任意实数 x ,函数 f ( x) ? (5 ? a) x ? 6 x ? a ? 5 恒为正值,求 a 的取值范围。
2

四.函数的奇偶性
1.定义: 设 y=f(x),x∈A,如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称 y=f(x)为偶函数。 如果对于任意 x ∈A,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 y=f(x)为奇函数。 2.性质: ①y=f(x)是偶函数 ? y=f(x)的图象关于 y 轴对称, y=f(x)是奇函数 ? y=f(x)的图象关于原点对称,
9

②若函数 f(x)的定义域关于原点对称,则 f(0)=0 ③奇± 奇=奇 偶± 偶=偶 奇× 奇=偶 偶× 偶=偶 奇× 偶=奇[两函数的定义域 D1 ,D2,D1∩D2 要关于原点对称] 3.奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称 ②看 f(x)与 f(-x)的关系 1 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 ( ? ?, ? ? ) 上 的 偶 函 数 . 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时 , f ( x) ? x ? x 4 , 则 当

x ? ( 0, ? ? ) 时, f ( x) ?

.

2 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

(Ⅱ)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围;

3 已知 f ( x) 在(-1,1)上有定义,且满足 x, y ? (?1,1)有f ( x) ? f ( y ) ? f ( 证明: f ( x) 在(-1,1)上为奇函数;

x? y ), 1 ? xy

4 若奇函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (2) ? 1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) ? _______

10

五、函数的单调性 1、函数单调性的定义: 2 设 y ? f ?g ?x ?? 是定义在 M 上的函数,若 f(x)与 g(x)的单调性相反,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是减函数;若 f(x) 与 g(x)的单调性相同,则 y ? f ?g ?x ?? 在 M 上是增函数。 1 判断函数 f ( x) ? ? x 3 ( x ? R) 的单调性。

2 例 函数 f ( x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a 2 ? a ? 5) ? 2

3 函数 y ? log0.1 (6 ? x ? 2x 2 ) 的单调增区间是________

4( 高 考 真 题 ) 已 知 f ( x) ? ? ( )

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上 的 减 函 数 , 那 么 a 的 取 值 范 围 是 log x , x ? 1 a ?
(C) [ , )

(A) (0,1)

(B) (0, )

1 3

1 1 7 3

(D) [ ,1)

1 7

函数单调性 题型 一:函数单调性的证明 1, 取值 2,作差 3,定号 4,结论
11

f ( x) ? 3 x ? 2
二:函数单调性的判定,求单调区间

f ( x) ? x 3

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? x2 ? 2 x ? 3

y ? ? x 2 ? 5x ? 4

y?

1 ? x 2 ? 2x ? 3
2

y ? log2 ( x ? 3 x ? 2)
2

1 y? 2

x 2 ?4 x

y?

1 2 x ? 2x

?1? ?1? y ? ? ? ? 2? ? ? 5 ? x? ? x?

y ? x?

a x

(a ? 0)

y ? x?

a x

(a ? 0)

三:函数单调性的应用 1.比较大小
2 例:如果函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f (2 ? t ) ? f (t ? 2) ,那么

A、 f (2) ? f (1) ? f (4)

B、 f (1) ? f (2) ? f (4) C、 f (2) ? f (4) ? f (1)

C、 f (4) ? f (2) ? f (1)

2.解不等式 例:定义在(-1,1)上的函数 f ( x ) 是减函数,且满足: f (1 ? a) ? f (a) ,求实数 a 的取值范围。 例:设 是定义在 上的增函数, 的 x 的取值范围. ,且 ,

求满足不等式 3.取值范围 例: 函数



上是减函数,则

的取值范围是_______.

例:若 f ( x) ? ? A. (0,1)

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( x ?1 ? log a x
B. (0, )



1 3

C. [ , )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

4. 二次函数最值 例:探究函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1在区间 ?0,1? 的最大值和最小值。
2

12

例:探究函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 1 在区间 ?a, a ? 1? 的最大值和最小值。

5.抽象函数单调性判断 例:已知函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ⑴求 f (1) ,⑵证明 f ( x) 在定义域上是增函数 ⑶如果 f ( ) ? ?1 ,求满足不等式 f ( x ) ? f (

1 3

1 ) ≥2 的 x 的取值范围 x?2

2 例:已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

例:已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.

x1 x2

13

单调性习题
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 C.y= ( B.y=3x +1 D.y=2x2+x+1
2



2 x

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于 A.-7 B.1 C.17 D.25 3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 4.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根 5.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t)=f(5-t),那么下列式 子一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 6.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下列不等式中正确的是( ) A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b) C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 7、已知函数 f ( x ) ? Ig A、 b

1? x ,若 f (a ) ? b ,则 f (?a) 等于 1? x 1 1 B、- b C、 D、b b

8、若 y ? f ( x) 是 R 上的减函,且 y ? f ( x) 的图象经过点 A(0,1) 和 B(3,?1) ,则不等式 | f ( x ? 1) |? 1 的解集为 A、 (?1,2) B、 (0,3) C、 (??,?2) D、 (??,3)

9、已知函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 在 R 上是减函数,则有 A、 a ≥

1 2

B、 a ≤

1 2

C、 a ? ?

1 2

D、 a ?

1 2
( )

10.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对称轴是 x=0,则 A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3) 11.已知 12、函数 ? Ig 1 ( x ? 2 x ? 15) 的增区间是
2 2

是常数),且

,则

的值为_______.

13、设 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数,则 y ? f

? x ? 3 ? 的单调递减区间为

.

14

14.用定义证明:函数 f ( x) ? 2 x ? 5 在 (??,??) 上是增函数

15.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f(

x ) = f(x)-f(y) y
1 ) <2 . x

(1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f(

16.已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞] x

1 时,求函数 f(x)的最小值; 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

六.函数的周期性:
1. (定义)若 f ( x ? T ) ? f ( x)(T ? 0) ? f ( x) 是周期函数,T 是它的一个周期。
15

说明:nT 也是 f ( x) 的周期 (推广)若 f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x) 是周期函数, b ? a 是它的一个周期 对照记忆

f ( x ? a) ? f ( x ? a) 说明: f (a ? x) ? f (a ? x) 说明:

2.若 f ( x ? a) ? ? f ( x) ; f ( x ? a) ?

1 1 ; f ( x ? a) ? ? ;则 f ( x) 周期是 2 a f ( x) f ( x)

1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则,f(6)的值为 (A)-1 (B) 0 (C) 1

(D)2

2 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) , 满 足 f (2 ? x ) ? f (2 ? x ) , 在 区 间 [ -2,0 ] 上 单 调 递 减 , 设
a ? f (?1.5), b ? f ( 2), c ? f (5) ,则 a , b, c 的大小顺序为_____________

3 已知 f (x)是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ? f (2005)= .

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 1 ? f ( x)

4 已知 f ( x) 是(- ?, 当 0 ? x ? 1 时, f(x)=x, 则 f(7.5)=________ ? ? )上的奇函数,f (2 ? x) ? ? f ( x) , 例 11 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x 恒满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,当 x ? [0,2] 时

f ( x) ? 2x ? x 2
⑴求证: f ( x) 是周期函数; ⑵当 x ? [2,4] 时,求 f ( x) 的解析式; ⑶计算:

16

七.二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
2 1.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? ? b ,顶点坐标 (? b , 4ac ? b )

2a

2a

4a

2.二次函数与一元二次方程关系 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) y ? 0 的 x 的取值。 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(? 0) 的解集(a>0) 二次函数 Y=ax2+bx+c (a>0) △情况
2

一元二次不等式解集 ax +bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)

△=b -4ac

2

△>0

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

?x x

1

? x ? x2 ?

图 象 与 解

△=0

?x x ? x ?
0

?

△<0

R

?

2 1、已知函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 [?2,??) 上是增函数,则 f (1) 的范围是(



(A) f (1) ? 25

(B) f (1) ? 25

(C) f (1) ? 25

(D) f (1) ? 25

2、方程 mx ? 2mx ? 1 ? 0 有一根大于 1,另一根小于 1,则实根 m 的取值范围是_______
2

八.指数式与对数式
1.幂的有关概念 (1)零指数幂 a ? 1 (a ? 0)
0

(2)负整数指数幂 a

?n

?

1 ? a ? 0, n ? N ? ? an

(3)正分数指数幂 a ? n am a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1 ;

m n

?

?

17

(5)负分数指数幂 a

m ?n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? ? 2 ? ? a r ?
3.根式

s

? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?

? 3?? ab ?
?a ?? a

r

? a rbr ? a ? 0 b , ? 0 r ,? Q ?

根式的性质:当 n 是奇数,则 n a n ? a ;当 n 是偶数,则 n a n ? a ? ? 4.对数

a?0 a?0

(1)对数的概念:如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记 b ? loga N (a ? 0, a ? 1) (2)对数的性质:①零与负数没有对数 (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN 对数换底公式: loga N ? ② loga 1 ? 0 ③ loga a ? 1

logm N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) logm a
n

对数的降幂公式: log a m N

?

n log a N ( N ? 0, a ? 0且a ? 1) m

(1)

1 ? ( ) 2? 4

1

( 4ab?1 ) 3 (0.1) ?2 (a 3b )
1 ?3 2

(2)

lg 8 ? lg125? lg 2 ? lg 5 lg 10 ? lg 0.1

十.指数函数与对数函数
1、 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数 名称 一般形式 定义域 值域 过定点 指数函数 Y=a (a>0 且 a≠1) (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) (0,1)
x x

对数函数 y=logax (a>0 , a≠1) (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) (1,0)

指数函数 y=a 与对数函数 y=logax (a>0 , a≠1)图象关于 y=x 对称

图象

单调性 值分布

a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1?

a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>0? y<0?

2. 比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相 同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理) 记住下列特殊值为底数的函数图象:

18

3、 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函 数的单调性是解决问题的重要途径。

1、 (1) y ? lg x ? lg(5 ? 3x) 的定义域为_______; (2) y ? 2
1 x ?3

的值域为_________;

(3) y ? lg(? x 2 ? x) 的递增区间为 __________ _ ,值域为 __________ _ 1 2、 (1) log2 1 x ? ? 0 ,则 x ? ________ 4 2 3、要使函数 y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? ?? ?,1?上 y ? 0 恒成立。求 a 的取值范围。

4.若 a2x+

1 1 ·ax- ≤0(a>0 且 a≠1) ,求 y=2a2x-3·ax+4 的值域. 2 2

基础练习题 一、选择题
1
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下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是(



A

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y ? x2
y ? a l o agx (a ? 0且a ? 1)

B

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y?

x2 x

C 2
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D

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x y?log a a

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下列函数中是奇函数的有几个(

) ③y?

①y? A 3
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ax ?1 a x ?1
B
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②y?

lg(1 ? x 2 ) x ?3 ?3
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x x

④ y ? log a

1? x 1? x

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1

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2
x

C

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3
?x

D

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4
)

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函数 y ? 3 与 y ? ?3 的图象关于下列那种图形对称(
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A 4
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x轴
已知 x ? x
?1

B

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y轴
3 2

C
3 ? 2

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直线 y ? x

D

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原点中心对称

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A

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3 3

? 3 ,则 x ? x 值为( ) B 2 5 C 4 5 D ?4 5
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19

5

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函数 y ?

log 1 (3 x ? 2) 的定义域是(
2
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A 6
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2 2 ,?? ) C [ , 1] D 3 3 6 0.7 三个数 0.7 , 6 , log0.7 6 的大小关系为(

[ 1 ?? , )B

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(

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(

2 , 1] 3



A C 7
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0.7 ? log0.7 6 ? 6
6

0.7

B D
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0.7 ? 6
6

0.7

? log0.7 6


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log0.7 6 ? 6

0.7

? 0.7

6

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log0.7 6 ? 0.76 ? 60.7

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若 f (ln x ) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) 的表达式为(

A

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3 l nx

B

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3 ln x? 4 C

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3e x

D

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3e x ? 4

二、填空题
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2, 3 2, 5 4, 8 8, 9 16 从小到大的排列顺序是
化简

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2 3 4

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810 ? 410 的值等于__________ 8 4 ? 411
2

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计算: (log 2 5) ? 4 log 2 5 ? 4 ? log 2
2 2

1 = 5
x

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已知 x ? y ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 log x ( y ) 的值是_____________ 方程

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5

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1 ? 3? x ? 3 的解是_____________ 1 ? 3x
1 2 x ?1

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函数 y ? 8

的定义域是______;值域是______

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判断函数 y ? x 2 lg( x ?

x 2 ? 1) 的奇偶性
a 3 x ? a ?3 x 的值 a x ? a ?x

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三、解答题 1
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已知 a x ? 6 ? 5(a ? 0), 求

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2

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计算 1 ? lg 0.001 ? lg

2

1 ? 4 lg 3 ? 4 ? lg 6 ? lg 0.02 的值 3

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3

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已知函数 f ( x) ?

1 1? x ? log 2 ,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性单调性 x 1? x

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20

4

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(1)求函数 f ( x) ? log 的定义域 2 x?1 3x ? 2

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(2)求函数 y ? ( )

1 3

x2 ?4 x

, x ? [0,5) 的值域

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考点训练 考点 1、指数函数、图像、性质(注意参数的分类讨论、及数形结合的应用、转化思想的应用)

?1? ?1? EG1、若方程 ? ? ? ? ? ? 4? ? 2?
(A) ?? ?,1?

x

x ?1

? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是
(B) (??,?2) (C) ?? 3,?2? B

D (D) ?? 3,0? ( )

B1-1、下列函数中,值域为(0,+∞)的是 A. y ? 5
1 2? x

B. y ? ( )

1 3

1? x

C. y ?

1 ( )x ?1 2

D. y ? 1 ? 2 x )

B1-2、关于 x 方程 a x ? ? x 2 ? 2 x ? a(a ? 0, 且a ? 1) 的解的个数是??B?( A. 1 B. 2 C. 0 D. 视 a 的值而定

B1-3 、 已 知 函数 y ? f ( x) 是 奇 函数 , 当 x ? 0 时 , f ( x) ? 3x ? 1 , 设 f ( x ) 的 反 函数 是 y ? g ( x ) , 则

g ( ?8) ?

.-2

考点 2、对数函数、图像、性质(注意参数的分类讨论、及数形结合的应用、转化思想的应用) EG2、.函数 y=loga(-x2-4x+12)(0<a<1))的单调递减区间是 A. (-2,- ? ) B. (-6,-2) C. (-2,2) D. (- ? ,-2] -│x│ 2 B2-1. 若关于 x 的方程(2-2 ) =2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是 A. a≥-2 B. 0≤a≤2 C. -1≤a<2 D. -2≤a<2 B2-2.函数 y=log 1 (x -ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是
2
2

(A) (-∞,4) (B) (-4,4] B2-3.若 log a

(C) (-∞,-4)∪[2,+∞] (D)[-4,4]

1 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 2 1 1 A. 0 ? a ? 或 a ? 1 B. a ? 1 C. 0 ? a ? 2 2

D. a ? 2

B2-4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=

21

A.

2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

B2-5、函数 y=log2(1-x)的图象是 y y y y

O

1

x

-1 O

x

O

1

x

O 1

x ( ( A B ) )

(C) (D) 方法归纳 1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1,要注意对底数的讨论; 3.比较几个数的大小的常用方法有:①以 0 和 1 为桥梁;②利用函数的单调性;③作差 实战训练

1 x x ) -2 在区间[-1, 1]上的最大值为 . 3 3、记函数 y ? 1 ? 3? x 的反函数为 y ? g ( x) ,则 g (10) ? A. 2 B. ? 2 C. 3
2、函数 y=( 4、 若函数 5.函数 y ? f(x)=logxa 在[2,4]上的最大值与最小值之差为

D. ? 1 2,则 a=___

log 1 (3x ? 2) 的定义域是____________
2

?x ? 1 ?2 ( x?1) 6.f(x)= ? 则满足 f(x)= 的 x 的值是_______________ x 4 ? ?log81 ( x?1)

7.设 f

?1

( x) 是函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 的反函数,若 [1 ? f ?1 (a)][ 1 ? f ?1 (b)] ? 8 ,则

f(a+b)的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D.

log2 3

8.函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在 x ? [2,4] 上是增函数,则 a 的取值范围是( ). A. a ? 1 B. a ? 0, a ? 1 C. 0 ? a ? 1 D. a ? ? .

9、 如果 log 1 x ?
2

?
3

? log 1
2

?
2

那么 sin x 的取值范围是

A、 ??

? 1 1? , ? ? 2 2?

B、 ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

C、 ??

? 1 1? ?1 ? , ? ? ? ,1? ? 2 2? ? 2 ?

D、 ??

? 1 3? ? 3 ? ??? , ,1? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ?

10、a 若不

等式内恒成立,则实数 的取值

22

11.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log4 ( x ? 1) 的反函数为 f A. 1 ? 2 log4 3 B.-7

?1

( x),则f ?1 (4) 等于
D.-7 或 9

C.9

12.已知函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) (其中 a ? 0 , a ? 1 ) 。 (1)求反函数 f
?1

( x) 及其定义域;
?1

(2)解关于 x 的不等式 loga (1 ? a x ) ? f

(1)

x x 解 1)当 0 ? a ? 1 时,由 1 ? a ? 0 得出函数定义域 x ? (0 , ? ?) ;当 a ? 1 时,由 1 ? a ? 0 得函数定义域为

x ? (?? , 0) 。
由 y ? loga (1 ? a x ) ? a y ? 1 ? a x ? a x ? 1 ? a y ? x ? loga (1 ? a y ) 则

f ?1 ( x) ? loga (1 ? a x )
故 当 0 ? a ? 1 时, f 当 a ? 1 时, f
?1 ?1

( x) ? loga (1 ? a x ) , x ? (0 , ? ?) ;

( x) ? loga (1 ? a x ) , x ? (?? , 0)
?1

(2) loga (1 ? a x ) ? f

(1) ? loga (1 ? a x ) ? loga (1 ? a)
?1 ? a x ? 1 ? a ?a x ? a ?x ? 1 ?? ?? ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0
2

由 1 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1 则原不等式 ? ?

? 0 ? x ?1
13.已知函数 f ( x) 的图象与 g ( x) ? ( ) x 的图象关于直线 y=x 对称,求 f ( 2 x ? x ) 的递减区间. 解:? f ( x) ? log1 x,
4

1 4 ? f (2x ? x 2 ) ? log1 (2x ? x 2 ),
4

由2x ? x 2 ? 0,得x ? (0,2),
? x ? (0,1]时,

而 x ? (0,1]时,

u ? 2 x ? x 2 递增,

f (2x ? x 2 ) 递减.
2x 4 x ?1

14、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2,且 x ? (0,1) 时, f ( x) ? (1)求 f ( x) 在[-1,1]上的解析式; (2)判断 f ( x) 在(0,1)上的单调性; (3)当 ? 为何值时,方程 f ( x) = ? 在 x ? [?1,1] 上有实数解. 解(1)∵x∈R 上的奇函数 ∴ f (0) ? 0

23

又∵2 为最小正周期

∴ f (1) ? f (2 ? 1) ? f (?1) ? ? f (1) ? 0
2?x 4?x ?1 ? 2x 4 x ?1 ? ? f ( x)

设 x∈(-1,0) ,则-x∈(0,1) , f (? x) ? ∴ f ( x) ? ?
2x 4 x ?1

? 2x x ? (-1,0) ?? x 4 ?1 ? ? f ( x) ? ? 0 x ? {-1,0,1} ? x ? 2 x ? (0,1) ? 4x ?1 ?

(2)设 0<x1<x2<1

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 xx ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

=

(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)

?0

∴在(0,1)上为减函数。 (3)∵ f ( x) 在(0,1)上为减函数。 ∴ f (1) ? f ( x) ? f (0)
2 1 即 f ( x) ? ( , ) 5 2

1 2 同理 f ( x) 在(-1,0)时, f ( x) ? (? ,? ) 2 5 又 f (?1) ? f (0) ? f (1) ? 0 1 2 2 1 ∴当 ? ? (? ,? ) ? ( , ) 或 ? ? 0 时 2 5 5 2 f ( x) ? ? 在[-1,1]内有实数解。

补充: 1、函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有
x

(A) f ( xy) ? f ( x) f ( y) (C) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)
x x

(B) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) (D) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

2、方程 lg(4 ? 2) ? lg 2 ? lg 3 的解是___________________ 3、函数 f(x) ? In ( x ?1?1 )(x ? 0) 的反函数 f
?1

(x ) ?

.

4、已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f-1(x),则函数 y= f-1(1-x)的图象是

24

5、 a ? ?

1 是函数 f ( x) ? ln(e x ? 1) ? ax 为偶函数的 2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2

(A) 充分不必要条件 (C) 充分必要条件

6 .已知函数 f ( x) ? log1 ( x 2 ? ax ? a) 的值域为 R ,且 f(x) 在( ? ?,1 ? 3) 上是增函数,则 a 的范围 是 .

十.函数的图象变换 (1) 1、平移变换: (左+ 右- ,上+ 下- )即

? 0 ,右移; h ? 0 ,左移 y ? f ( x) ?h ? ??? ?? y ? f ( x ? h) ? 0 ,下移; k ? 0 ,上移 y ? f ( x) ?k ? ??? ?? y ? f ( x) ? k

① 对称变换: (对称谁,谁不变,对称原点都要变)
x轴 y ? f ( x ) ??? y ? ? f ( x) y轴 y ? f ( x ) ??? y ? f (? x)

y ? f ( x ) ?原点 ? ?? y ? ? f ( ? x)
y?x y ? f ( x ) ??? ? y ? f ?1

( x)

y ? f ( x ) ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? y ? f ( x )
y轴右边不变,左边为右 边部分的对称图 x轴上方图,将 x轴下方图上翻 y ? f ( x ) ?保留 ?? ?????? ?? y ? f ( x)

1.f(x)的图象过点(0,1),则 f(4-x)的反函数的图象过点( A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)



2.作出下列函数的简图: (1)y=|log 2 |;
x

(2)y=|2x-1|;

25

(3)y=2|x|;

函数图像的变换
函数图象及变化规则 掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题 1、基本函数(1)一次函数、 (2)二次函数、 (3)反比例函数、 (4)指数函数、 (5)对数函数、 (6)三角函数。 2、图象的变换 (1)平移变换(左加右减) ①函数 y=f(x+2)的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 x 轴向左平移 2 个单位得到的;反之向右移 2 个单 位 ②函数 y=f(x)-3(的图象是把函数 y=f(x)的图像沿 y 轴向下平移 3 个单位得到的;反之向上移 3 个单 位 (2)对称变换 ①函数 y=f(x)与函数 y=f(-x)的图象关于直线 x=0 对称; 函数 y=f(x) 与函数 y=-f(x)的图象关于直线 y=0 对称; 函数 y=f(x)与函数 y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称; ②如果函数 y=f(x)对于一切 x∈R 都有 f(x+a)=f(x-a), 那么 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称。 ③y=f-1(x) 与 y=f(x)关于直线 y=x 对称 ⑤y=f(x)→y=f(|x|)

3、伸缩变换 y=af(x)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的 a 倍。 y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上的每一点的横坐标缩短(a>1)或伸长(0<a<1)到原来的 a 倍。

26

1. 函数 y=1+a (0<a<1)的反函数的图象大致是

x

(A) (B) 2、函数 y=-lg(x+1)的图象大致是

(C)

(D)

3、 f ? x ? ? a x ? ? b ? 1? ? a ? 0, a ? 1? 的图象不经过第二象限,则必有(
(A) 0 ? a ? 1, b ? 0 (B) 0 ? a ? 1, b ? 0 (C) a ? 1, b ? 1

) 。

(D) a ? 1, b ? 0

4、设函数 f ? x ? ? a
(A) f ? ?2? ? f ? ?1?

?x

? a ? 0, a ? 1? , f ? 2 ? ? 4 ,则(
(C)

) 。
(D)

(B) f ? ?1? ? f ? ?2?

f ?1? ? f ? 2?

f ? ?2? ? f ? 2?

5、已知函数 f ? x ? ?
(A) ? 2

a?x ?1 的反函数 f ? x ? 的对称中心是 ? ?1,3? ,则实数 a 等于 x ? a ?1 (B) 3 (C) 2 (D) 4

6、函数 y ?

3x ? 1 的图象 x?2

(A)关于点 ?2,?3? 对称 (C)关于直线 x ? ?2 对称 7、 函数 y ?
1? x ? x ? 0 ? 的反函数图像大致是 x y
(B)

(B)关于点 ?? 2,3? 对称 (D)关于直线 x ? ?3 对称

y (A)

(C)y

( D)

y

o

1

?1

x

o

x

o

1

x

?1

o


x

8、为了得到函数 y ? lg

x?3 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有的点 10



A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长
27

?b? 9、在下图中,二次函数 y ? ax2 ? bx 与指数函数 y ? ? ? 的图象只可能是 ?a?

x

8、设函数 f ?x? ? log2 x ,?2 ? a ? b ? ?1, c ? 2 则下列各式成立的是( 10、若 0 ? a ? 1 且函数 f ?x? ? loga x 则下列各式中成立的是.



?1? ?1? 1? ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? (A) f ?2? ? f ? ? ? ? f ? ? (B) f ? ? ? f ?2? ? f ? ? (C) f ? ? ? f ? 2 ? ? f ? ?(D) f ? ? ? f ? ? ? f ? 2 ? ?4? ? 3? ? 4? ? 3? ? 3? ? 4? ? 3? ?4?
11、在下列函数中,在区间 ?0,1? 上为增函数的是( (A) y ? ? x ? 1?
? 2 3
2 (B) y ? x ? 1


(D)

(C) y ? log 1 x ? 1
2

y?2

?x

?1

12 当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只能是(



13、设 f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b ? c ,且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列关系正确的是 A 、 ac ? 1 ? a ? c B、 ac ? 1 ? a ? c C、 ac ? 1 ? a ? c D、 ac ? 1

14.下列区间中,函数 f(x) = In(2 ? x) 在其上为增函数的是( ) A. (- ? ,1 ] B. ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

C. ? 0,

? 3 ? 2
2

?

D. ?1, 2 ?

15 .对于函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ? 1) ,② f (x) ?( x ?2) 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;

2) ,判断如下三个命题的真假: ,③ f (x) ?cos( x ?

?) 上是减函数,在 (2, ? ?) 上是增函数; 命题乙: f ( x ) 在 ( ??, ? ?) 上是增函数. 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??,
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( )
28

A.①③

B.①②

C.③

D.②

2 3] 上的最大值为 2,则 t ? 16.已知 t 为常数,函数 y ? x ? 2 x ? t 在区间 [0,



17.下列函数 f ( x) 中,满足“对任意 x1 , x2 ? (0, ?? ) ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) 的是( ) A. f ( x ) =

1 x

B. f ( x) = ( x ? 1)2

C . f ( x) = e

x

D f ( x) ? ln( x ? 1)

(0, +?) 18、下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是( )
(A) y ? x3 (B) y ? x ?1 (C) y ? ? x 2 ? 1 (D) y ? 2
?x

19

函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1 在同一直角坐标系下的图象大致是( )

20 .下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为 A. y ? ln

1 | x|

B. y ? x 3

C. y ? 2| x|

D. y ? cos x

21、设函数 f ?x? ? log2 x ,?2 ? a ? b ? ?1, c ? 2 则下列各式成立的是(
(A) f ?a ? ? f ?b? ? f ?c ? (C) f ?c ? ? f ?a ? ? f ?b? (B) f ?c ? ? f ?b? ? f ?a ? (D) f ?b? ? f ?a ? ? f ?c ?



22、图中的图象所表示的函数的解析式为( )

3 | x ?1| 2 3 3 (B) y ? ? | x ? 1 | 2 2 3 (C) y ? ? | x ? 1 | 2
(A) y ? (D) y ? 1? | x ? 1 |

(0≤x≤2) (0≤x≤2) (0≤x≤2) (0≤x≤2) )

23 、设函数 y ? f ?x ? 定义在 R 上,则函数 y ? f ?1 ? x ? 与函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于( (A)直线 y ? 0 对称 (C)直线 y ? 1 对称 (B)直线 x ? 0 对称 (D)直线 x ? 1 对称

29

24、设函数 y ? f ?x ? 定义在 R 上,则函数 y ? f ?x ? 1? 与函数 y ? f ?1 ? x ? 的图象关于( (A)直线 y ? 0 对称 (C)直线 y ? 1 对称 25、函数 y ? ( ) 与函数 y ? ?(
x



(B)直线 x ? 0 对称 (D)直线 x ? 1 对称

1 2

2x ) 的图像关于( ) 16
C、直线 x ? 4 D、点(2,0)对称

A、直线 x ? 2

B、点(4,0)对称

十.函数的其他性质

1.函数的单调性通常也可以以下列形式表达:
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2

单调递增

单调递减

2.函数的奇偶性也可以通过下面方法证明:
f ( x) ? f (? x) ? 0 奇函数 f ( x) ? f (? x) ? 0 偶函数

3.函数的凸凹性:
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f( )? 2 2 f(

凹函数(图象“下凹” ,如:指数函数) 凸函数(图象“上凸” ,如:对数函数)

30


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