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高中数学竞赛模拟真题(含答案详解)两套


高中数学奥林匹克模拟真题(一)
一、填空题(每题 8 分,共 8 题)

1 ? cos ? 1 ? ,则 ? 4 ? cos3 ? ? ? ? 3 ? sin 3 ? ? ? 2 4 ? sin ? 2 2、在平面直角坐标系内,将适合 x ? y, x ? 3, y ? 3, 且使方程
1.若

.

/>( x3 ? y 3 )t 4 ? (3x ? y)t 2 ?

1 ?0 x? y


没有实数根的点 ( x, y) 所成的集合记为 N ,则由点集 N 所成区域的面积为 3.设函数 f : R ? R, 满足f (0) ? 1 ,且对任意 x, y ? R, 都有 f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2 ,则 f ( x) =_____________________; 4 . 若 集 合 A 中 的 每 个 元 素都 可 表 为 1, 2, 为 ;

,9 中 两 个 不 同 的数 之 积 , 则 集 A 中 元 素 个数 的 最 大 值

5、在四面体 ABCD 中 AB ? AC ? AD ? BC ? 1, BD ? 3, CD ?

。 2, 则 AD 与 BC 所成的角为 sin ? ? sin ? ? sin ? 2 2 2 6、若 a, ? , ? 为锐角,且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 1, 则 的最大值为 。 cos ? ? cos ? ? cos ? 7.已知 P 、 Q 、 R 、 S 是三棱锥 A ? BCD 内的四点,且 Q 、 R 、 S 、 P 分别是线段 PA 、 QB 、 RC 、 SD 的 中 点 , 若 用 VP ? ABC 表 示 三 棱 锥 P ? ABC 的 体 积 , 其 余 的 类 推 . 则

VP? ABC : VP? BCD : VP?CDA : VP ? ABD ?



8、已知双曲线以两坐标轴为对称轴,焦点在 y 轴上,实轴长为 2 sin? ,? ? [

? ?

, ],又双曲线上任一点 4 3

p( x, y) 到点 M (1, 0) 的最短距离为

1 ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin ?

二:解答题: (第 9 题 16 分。20,21 题 20 分) 。 9.对于正整数 n (n ? 2) ,定义 f (n) 为集合 S 中元素个数的最小值,集合 S 满足最小的元素 1? S ,最大

(1) f ( n) ? ?log 2 n ? ?1; 的元素 n ? S , 且对于异于 1 的每个元素都是 S 中两个元素的和 (可以相同) . 证明:
(2) 有无穷多个 n ,使得 f (n) ? f (n ? 1) .

y2 ? 1( ? 为锐角)的焦点在 x 轴上,A 是它的右顶点,这个椭圆 tan 2 ? 与射线 y ? x( x ? 0) 的交点为 B,以 A 为焦点,且过点 B,开口向左的抛物线的顶点
10、椭圆 x ?
2

6 ,1) 时,求 m 的取值范围。 3 11、用 ? 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 , (s)
为 (m, 0) ,当椭圆的离心率 e ? ( 且 a1 ? a2 ?

a11? 是正整数集,

a11 ,若对每个正整数 n ? 1500 ,存在 A 的子集 S,使得 ? (S ) ? n ,试 求满足上述要求的 a10 的最小值。

二试
一、 (满分 40 分) 以锐角△ABC 的两边 AB、AC 为直径向△ABC 外各作一个半圆,AH⊥BC 交 BC 于 H,点 D 是 BC 边上任意一 点 ?不是端点?,过点 D 作 DE∥AC, DF∥AB,分别交两个半圆于点 E、F.求证:D、E、F、H 四点共圆.
E A F' F

Q P B D F 1 H C

二、 (满分 40 分) 设 a1, a2, a3, a4 是一个四边形的四条边的长, 该四边形的周长为 2s. 证明:

?a
i ?1

4

1 2 1 ? ? 9 1?i ? j ?4 ( s ? ai )(s ? a j ) i ?s

三、 (满分 50 分)试求最小的正整数 n, 使得对于任何 n 个连续正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数. 四.数列 { y n } 定义如下: y1 ? y2 ? 1, yn?2 ? (4k ? 5) yn?1 ? yn ? 4 ? 2k ,1, 2, 求所有的整数 k ,使得数列 { y n } 中的每一项都是完全平方数.

高中数学奥林匹克模拟真题(一)答案
1.答: 9 . 解:由条件得, 2 ? 2cos ? ? 4 ? sin 2 ? , ? ? cos ? ? 1? ? 4, ? cos ? ? ?1
2

则 4 ? cos3 ? ? 3 ? sin 3 ? ? 9 . 2.解答:
2

?

??

?

81 . 5

令 u ? t ,原方程化为

( x3 ? y 3 )u 2 ? (3x ? y )u ?

1 ? 0. x? y 1 ? ? (3x ? y )2 ? 4( x3 ? y 3 ) x? y



? 5 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? (5 x ? 3 y )( x ? y ).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根,所以,

? x ? y, ? x ? y, ? ? ? x ? 3, ? ? x ? 3, 或 ? y ? 3, ? ? ? y ? 3, ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0 ?(5 x ? 3 y )( x ? y ) ? 0, ? ? ?3 x ? y ? 0.
点集 N 所成区域为图中阴影部分,其面积为

S ? S?ABO ? S?BCO 1 24 1 81 ? ? ?3 ? ? 6?3 ? . 2 5 2 5 3.解: 对?x, y ? R, 有f ( xy ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( y) ? x ? 2, ?有f ( xy ? 1) ? f ( y) f ( x) ? f ( x) ? y ? 2 ? f ( x) f ( y ) ? f ( y ) ? x ? 2 = f ( y ) f ( x ) ? f ( x ) ? y ? 2 即 f ( x) ? y ? f ( y) ? x, 令y ? 0, 得f ( x) ? x ? 1 。

4. 答: 31 . 解:从 1, 2,

,9 中每次取一对作乘积,共得 C92 ? 36 个值,但其中有重复,重复的情况为 1? 6 ? 2 ? 3, 1? 8 ? 2 ? 4, 2 ? 9=3 ? 6, 2 ? 6 ? 3 ? 4, 3 ? 8 ? 4 ? 6 , 共 5 种 , 因 此 集 合 A 中 至 多 有

C92 ? 5 ? 31 个数 .
5.解答:60°,可证 ?BCD 为直角三角形且 ?BCD ? 90 ,又 AB=AC=AD=1,故 A 在面 BCD 内的射影即为 ?ABC 之外心,而 ?BCD 为直角三角形,故其射影即为 BD 中点 O,在面 BCD 内作 DD? // BC, BD? // CD, 它们交于 D? ,则 DD? ? BC ? 1, 且 AD? ? AC ? 1, 故 ?ADD? 为正三角形,于是 AD 与 BC 所成之角即为 AD 与 DD? 所成的角等于 60 。

a 2 ? b2 a ?b 2 2 6.解答: ?( ) ? a ? b ? 2(a 2 ? b 2 ), .由 2 2 2
故 sin ? ? sin ? ?

2(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2 cos ? .

同理: sin ? ? sin ? ? 2 cos ? ,sin ? ? sin ? ? 2 cos ? . 故 2(sin ? ? sin ? ? sin ? ) ? 故

2(cos ? ? cos ? ? cos ? )

sin ? ? sin ? ? sin ? 2 ? . cos ? ? cos ? ? cos ? 2 7. 解: 8:1: 2 : 4 . 记 H P , BCD 为点 P 到平面 BCD 的距离.其余类推.设 VP ? BCD ? 1 .
∵ H S , BCD : H P, BCD ? SD : PD ? 2 .∴ VS ? BCD ? 2 . ∵ H R, BCD : H S , BCD ? RC : SC ? 2 :1,∴ VR ? BCD ? 4 . ∵ HQ, BCD : H R , BCD ? QB : RB ? 2 :1 ,∴ VQ ? BCD ? 8 . 设 AP 延长后交平面 BCD 于 P ' .则 QP ' : PP ' ? VQ ? BCD : VP ? BCD ? 8 :1 . ∴ QP : PP ' ? 7 :1 ,又 AQ ? QP ,∴ AP ' : PP ' ? 15:1 .∴ VA? BCD ? 15 . 同理 VQ ? ACD ? 1 , VS ? ABC ? 1, VR ? ABD ? 1 . ∴ VP ? ABC ? 8VS ? ABC ? 8 , VP ?CDA ? 2VQ ?CDA ? 2 , VP ? ABD ? 2VQ ? ABD ? 4VR ? ABD ? 4 . ∴ VP? ABC : VP? BCD : VP?CDA : VP? ABD ? 8:1: 2 : 4 . 8. 解
2



: (1,

2 21 ]. 7







线







y2 x2 ? ? 1, sin 2 ? b 2



x2 sin 2 ? 2 ) ? (1 ? ) x ? 2 x ? 1 ? sin 2 ? , 因 x ? R , 故 b2 b2 b2 sin6 ? ? sin4 ? ? sin2 ? 1 2 2 2 PM min ? 1 ? sin 2 ? ? 2 , b ? , 而 b2 ? 0 及 又因 从而 PM ? , 2 4 2 min b ? sin ? 1 ? sin ? sin ? 2 2 c b ? sin ? sin 2 ? 1 5 ?1 3 ? ? ? ? , ? sin2 ? ? , 又因 e2 ? ( )2 ? ? ? [ , ]. 解不等式得 2 4 1 a sin ? 1 ? sin ? 2 4 4 3 2 ? sin ? sin 2 ? ? 5 ?1 3 ? 12 2 21 1 1 2 2 2 ,1 ? e ? . , 因 f (t ) ? , 令 t ? sin ? , 则 e ? 在? 上是递增函数,故 1 ? e ? ? ? 2 1 1 7 7 4 ? ?t ?t ? t t 9. 证 明 : ( 1 ) 对 于 n ? 2 , 设 f (n) ? k , 则 S 中 有 k 个 元 素 , 且 1 ? a1 ? a2 ? ??? ? ak ? n, 故 PM ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? sin 2 ? (1 ?
a2 ? a1 ? a1 ? 2, a3 ? a1 ? a2 或 a2 ? a2 。于是, a3 ? 3 或 4 ,即 a3 ? 22 .
假设 ai ? 2i ?1 ,则 ai ?1 ? ar ? as ? 2ai ? 2i. 所以, n ? ak ? 2k ?1. 故

k ? 1 ? log 2 n ? 1 ? ?log 2 n? .
(2)由(1)可知,若 S 中有 k 个元素,则 n ? 2k ?1 . 所以, f (2
k ?1

? 1) ? k ? 1, f (2k ?1 ? 2) ? k ? 1.

当 k ? 3 时,对于集合 S1 ? 1, 2, 22 , ???, 2k ?1 , 2k ?1 ? 1 和集合 S2 ? 1, 2, 22 , ???, 2k ?1 , 2k ?1 ? 2 均有 k ? 1 个元 素,且满足条件,所以,

?

?

?

?

f (2k ?1 ? 1) ? f (2k ?1 ? 2) ? k ? 1.
10. 解 答 : 如 图 所 示 , 椭 圆 的 焦 点 在 x 轴 上 , 故

0 ? tan ? ? 1 ? 0 ? ? ?

?

4

.





a ? 1, b ? tan ? , c ? 1 ? tan 2 ? .e ? 1 ? tan 2 ? ? (


6 ,1) , 3

3 ? ? a ? (0, ). 设 抛 物 线 方 程 为 3 6 ? 2 y2 x ? ?1 ? 由 得 y 2 ? ?4(m ? 1)( x ? m).(m ? 1) tan 2 ? ? ? y ? x( x ? 0) ? B(sin ? ,sin ? ) , 因 B 在 抛 物 线 上 , 故 sin 2 ? ? ?4(m ? 1)(sin ? ? m) 。 整 理 后 有 : 1 sin 2 ? ? 4(m ? 1)sin ? ? 4m2 ? 4m ? 0 设 t ? sin ? ? (0, ) 得 , f (t ) ? t 2 ? 4(m ? 1)t ? 4m2 ? 4m ? 0 在 2 1 有 解 , 因 对 称 轴 故 t ? (0, ) t ? ?2(m ? 1) ? 0, 2 ?m ? 1 ? f (0) ? 0 3? 2 ? ? ? ? 24 ? 8 2 . ? 1 24 ? 8 2 ? 1 ? m ? 4 f ( ) ? 0 ? m ? ? ? ? 2 32 ? 32 11.解答:令 Sk ? a1 ? a2 ? ? ak (1 ? k ? 11) 0 ? tan ? ?
若 ak ? sk ?1 ? 1, 则不存在 S ? A ,使 ? ( S ) ? Sk ?1 ? 1 所以 Sk ? Sk ?1 ? ak ? 2Sk ?1 ? 1 又由题设得
k

(1)

S1 ? a1 ? 1 ,于是由(1)及归纳法易得

Sk ? 2 ? 1(1 ? k ? 11) 若 S10 ? 750 ,则 a11 ? 750 (否则 750 无法用 ? ( S ) 表示出) , S11 ? S10 ? a11 ? 1500, 所以 S10 ? 750.
又 S8 ? 2 ? 1 ? 255, 于是 2a10 ? a9 ? a10 ? S10 ? S8 ? 495 ,
8

所以 a10 ? 248.

另一方面,令 A ? ?1, 2, 4,8,16,32,64,128, 247, 248,750? 当 n ? 255 ? 2 ? 2 ?
7 6

? 2 ? 20 时,可找到 S ? ?1, 2, 4,

,128? ,使 ? (S ) ? n.

当 n ? 255 ? 247 ? 502 时,存在 S ? ?1, 2, 4, 当 n ? 502 ? 248 ? 750 时,存在 S ? ?1, 2, 4, 于是, a10 的最小值为 248。

,128, 247? ,使 ? (S ) ? n. ,128, 247, 248? ,使 ? (S ) ? n.
E A F' F

当 n ? 750 ? 750 时,存在 S ? A ,使 ? ( S ) ? n.

二试答案
一、证明 设 DE 与 AB 交于点 P,DF 与 AC 交于 Q.将以 AC 为直 径的半圆补成圆,并设 DF 和它的另一个交点为 F1,连结 AF1、BE、CF.

Q P B D F 1 H C

AP CD CQ = = , BP DB QA ∴ P、Q 是半圆 AEB 和半圆 CF1A 中处于相同位置的点. 又∵ ∠APE = ∠A = ∠CQF1, ∴ PE、QF1 是上述两个半圆中处于相同位置的线段. ∴ △BPE∽△CQF1, ∴ ∠BEP = ∠AF1Q. 由此 ∠A = ∠APE = ∠ABE + ∠BEP = ∠ABE + ∠AF1Q = ∠ABE + ∠ACF, 即 ∠A = ∠ABE + ∠ACF … ① 另一方面,由 A、E、B、H 四点共圆及 A、F、C、H 四点共圆知 ∠EHF = ∠EHA + ∠AHF = ∠ABE + ∠ACF … ② 由①、② 便得 ∠EDF = ∠A = ∠EHF. 从而 D、E、F、H 四点共圆. 证 2:延长 EA 交 DF 于 F?,连结 F?H. ∴ ∠F?EH = ∠F?EH = ∠ABC.∴ E、D、H、F? 四点共圆. ∴ ∠EDB = ∠EF?H = ∠AF?H. 又∵ ∠EDB = ∠ACH,∴ ∠AF?H = ∠ACH. ∴ A、H、C、F? 共圆. 又∵ A、H、C、F 共圆,D、F、F? 共线,∴ F = F?. ∴ D、E、H、F 四点共圆.
∵ 二、证明:设 bi ? 又 s ? ai ? 0 ∴原式 ?
4

ai (i ? 1, 2,3, 4) ,则 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 2 s ∴ 1 ? bi ? 0

? b ?1 ? 9 ?
i ?1 i

1

2

1?i ? j ? 4

1 (1 ? bi )(1 ? b j )

(1)

令 ci ? 1 ? bi ,则 0 ? ci ? 1, c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? 2 (1) ?
4 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ci c j i ?1 2 ? ci 1?i ? j ? 4 i ?1 ? c j 1?i? j ?4 ci c j j ?i 4



1?i ? j ? 4

?

1 2 ? ? ci c j 1?i ? j ?4 ci ? c j

只须证:

1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ? ? ? ? ) c1 ? c2 ? c3 c1 ? c3 ? c4 c1 ? c2 ? c4 c2 ? c3 ? c4 9 c1 ? c2 c2 ? c3 c3 ? c4 c1 ? c3 c1 ? c4 c2 ? c4
上式显然成立。 三.解:首先,我们可以指出 12 个连续正整数,例如 994,995,…,999,1000,1001,…,1005,其中 任一数的各位数字之和都不是 7 的倍数,因此, n ? 13 。 再证,任何连续 13 个正整数中,必有一数,其各位数字之和是 7 的倍数.对每个非负整数 a ,称如下 10 个数所构成的集合: Aa ? {10a,10a ? 1, 10a ? 9} 为一个“基本段” ,13 个连续正整数,要么属于两个基 本段,要么属于三个基本段。当 13 个数属于两个基本段时,据抽屉原理,其中必有连续的 7 个数,属于 同一个基本段;当 13 个连续数属于三个基本段 Aa ?1 , Aa , Aa ?1 时,其中必有连续 10 个数同属于 Aa .现在设

ak ak ?1

a1a0
k i ?0

ak ak ?1
k i i ?0 i

a1 (a0 ? 1),
k i ?0 i

ak ak ?1

a1 (a0 ? 6) 是属于同一个基本段的 7 个数, 它们的各位数字

之和分别是

? a , ? a ? 1, , ? a ? 6, 显然,这 7 个和数被 7 除的余数互不相同,其中必有一个是 7 的
2

倍数.因此,所求的最小值为 n ? 13. 四.解:从特殊情形入手,设 k 是满足条件的整数. y3 ? 2k ? 2, y4 ? 8k ? 20k ? 13
2 令 2k ? 2 ? (2a) ,则 k ? 2a ? 1? k ? 1? ,若 a ? 0 ,则 k ? 1 ;

2

若 a ? 0 ,则 y4 ? 32a ? 8a ? 1 ? (4a ? 1) ? (4a ) ,令 (4a ? 1) ? (4a ) ? b
4 2 2 2 2 2

2

2

2 2

2

?b ? 0? ,

由于 (4a 2 ? 1,4a 2 ) ? 1 ,所以 4a 2 ? 1, 4a 2 , b 为一组本原勾股数组,

? 4a 2 ? 1 ? n 2 ? m 2 ? 2 即存在 m, n ? N ? ,使得 ?4a ? 2mn ,两边模 2 和 4 可知, n 为偶数, m 为奇数,且 ? m, n ? ? 1 . ?b ? n 2 ? m 2 ? 2 2 2 2 2 4 结合 mn ? 2a ,令 n ? 2t ,则 (n ? m) ? 2n ? 1,即 2n ? 8t ? (n ? m ? 1)(n ? m ? 1) n ? m ?1 n ? m ? 1 4 4 4 4 ∴ 2t ? ∴ 2t ? u(u ? 1)(u ? N ) ,因此 u, u ? 1 必为 c ,2d (c, d ? N ) , ? 2 2 4 4 ∴ c ? 2d ? ?1
(1)若 c -2d =1,则 d +2d +1=d +c ,∴(d +1) =(d ) +c
4 4 2 4 2 4 4

8

4

8

4

4

2

2

4

4 2

∵不定方程 x +y =z 没有 xyz≠0 的整数解,∴d +1,d ,c 中必有一个为零, ∵d +1≠0,∴ d =0,c=±1,∴ u=0∴ t=0∴ n=0 ∴ a=0,与 a>0 矛盾 . (2) 若 c -2d =-1,则:d -2d +1+c =d ,即(d -1) =(d ) -c
4 4 2 4 2
2

4

2

4

4

8

4

4

8

4

2

2

4

4



∵ 不定方程 x -y =z 没有 xyz≠0 的整数解,∴ d -1,d ,c 至少中有一个为零, 若 d =0,或 c =0,则①式不成立,故只有 d -1=0. ∴ d=±1,c=±1∵ u 与 u+1 必为 c 和 2d ,∴ u=1∴ t=1∴ n=2 ∵ (n+m) -2n =1,∴ m=1 由②知 a=1,k=2a +1=3,综上可知,k=1 或 k=3 即 k=1 或 3 时 y3,y4 是平方数。 下面证明 k=1 或 3 时任意 y n 均是平方数:当 k=1 时,yn+2=-y n ?1 -y n +2 {y n }:1,1,0,1,1,0,…各项都是完全平方数。当 k=3 时,y n ? 2 =7y n ?1 -y n -2. 方法一:利用三阶递推,求出 y n ,再用数学归纳法证明它们都是完全平方数。 方法二,构造数列 ? f n ? : f 1 =f 2 =1,f n ? 2 =f n ?1 +f n ,n=1,2,…性质 1:当 n 为奇数时,f n ? 2 ·f n ? 2 -(f n ) =1。 简证:左边= f n f n?4 ? f n ?2 ?
2

2

2

4

4

4

2

2

2

2

性质 2:f n ? 2 =3f n -f n ? 2 . ? f n ? :1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,… 计算:y 1 =1,y 2 =1,y 3 =4=2 ,y 4 =5 ,y 5 =13 ,… 猜测:y n =(f 2 n ?3 ) (n≥3)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

? f5 f1 ? f32 ? 1。

④下面用数学归纳法证明:
2 2 2 2 2

由(f n ? 2 +f n ? 2 ) =9(f n ) ,∴(f n ? 2 ) =9(f n ) -2 f n ? 2 ·f n ? 2 - (f n ? 2 ) =7(f n ) -(f n ? 2 ) -2 (n 为奇数) ∴(f 2 n ?1 ) =7(f 2 n ?1 ) -(f 2n ? 3 ) -2∴ y n ? 2 =7y n ?1 -y n -2 归纳可证④式, 证毕。

高中数学奥林匹克模拟真题(二)
一:填空题(每题 8 分,共 8 题)

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 1 . 已 知 f ( x) ? ? , 定 义 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)), 其中f1 ( x) ? f ( x) , 则 1 ?2(1 ? x), x ? [ ,1] 2 ? 1 ; f 2007 ( ) ? 5 2.在数列 {a n } 中, a1 =2, an ? an?1 ? 1(n ? N * ) ,设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,则 S 2007 ? 2S 2006 ? S 2005 的值为
3 、 已 知 实 数 a, b 满 足 1003 ? 1004 ? 2006 , 997 ? 1009 ? 2007 , 则 a 与 b 的 大 小 关 系 为 .
a b b a b a

4、设函数 f ( x) ? 则 Sn =

n ?1 1 x i * ,定义 S n ? ? f ( ) ,其中 n ? N ,且 n ? 2 , ? log 2 2 1? x n i ?1

.
2 2

5 、设 A1 , A2 为椭圆

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点,若在椭圆上存在异于 A1 , A2 的点 P ,使得 2 a b . PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆离心率的取值范围是 22006 ?[ ] ? 1003 = 3
k

1 2 22 6.求和: [ ] ? [ ] ? [ ] 3 3 3
数).

(其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整

7、扔 6 次股子,令第 i 次得到的数为 a i ,若存在正整数 k 使得 的正整数,则 log 6 m ? log 7 n = 8、斜率为 1 的直线与椭圆 x ?
2 2

?a
i ?1

i

? 6 的概率 p ?

n ,其中 m, n 是互质 m

.

y AP ? 2 . 则 P 点的轨迹方 ? 1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的点,且 4 PB

程是____________________. 二:解答题: (第 9 题 16 分。20,21 题 20 分) 。 13、设 a0 , a1 ,?, an ,?为实数列,满足 a n ?1 ? a n ?
2

1 ,其中 n ? N . 5

求证:当 n ? 5 时, a n ?5 ? a n ?5 .
2

14、 设 F 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点,AB, CD 为过焦点的弦, 满足 AB ? CD , 求 “蝶形”ACFBD a 2 b2

面积的最大值和最小值.

15、设函数 f ( x ) ? ax ? 8 x ? 3 (a ? R).
2

(1)若 g( x ) ? xf ( x ), f ( x ) 与 g( x ) 在 x 同一个值时都取得极值,求 a 的值. (2)对于给定的负数 a ,有一个最大的正数 M (a) ,使得 x ? [0, M (a )] 时,恒有 | f ( x ) |? 5. ① M (a) 的表达式; ② M (a) 的最大值及相应的 a 值.

二试
一、 (满分 40 分)

一. 设 M 为凸四边形 ABCD 内部一点,MA=MC,∠AMB=∠MAD+∠MCD, ∠CMD=∠MCB+∠MAB,求证:AB?CM=BC?MD,BM?AD=MA?CD 二. (满分 40 分)设 T 为所有 n 元数组(x1,x2,…,xn)的集合,xi=0,1(i=1,2, …,n),n=2k-1,k ≥6,k∈Z,对于 T 中的 x=(x1,x2,…,xn)与 y=(y1,y2,…,yn),令 d(x,y)为满足 xj≠yj(1≤j≤n) 的 j 个数,特别地,d(x,x)=0,设有一个 T 的具有 2k 个元素的子集 S,具有以下性质:对 T 的 任何一个元素 x,S 中有唯一的元素 y 满足 d(x,y)≤3,求 n 之值。 a3 b3 c3 a ?b?c ? 三、 (满分 50 分)设 a, b, c ? R ,求证: 2 . ? ? ? 2 2 2 2 2 2a ? ab ? 2b 2b ? bc ? 2c 2c ? ca ? 2a 3 四. (满分 50 分)已知数列{an}定义如下:a0=4,a1=22,an=6an-1-an-2(n≥2);数列{bn}定义如下: y2 ? 7 b0=2,b1=1,bn=2bn-1+bn-2(n≥2),证明:存在正整数列{xn},{yn},使得 a n ? n (n≥0) x n ? yn

高中数学奥林匹克模拟真题(二)答案
1.解:计算

1 7 1 3 1 4 1 2 1 9 1 1 1 7 f1 ( ) ? , f 2 ( ) ? , f 3 ( ) ? , f 4 ( ) ? , f 5 ( ) ? , f 6 ( ) ? , f 7 ( ) ? 5 10 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 10 1 1 1 1 1 4 可知 f n ( ) 是最小正周期为6的函数。即得 f n ? 6 ( ) ? f n ( ) ,所以 f 2007( ) ? f 3 ( ) = . 5 5 5 5 5 5 n 2. 解:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? an?1 ? an ? 1 ,故 S n ? 2 当 n 奇数时, a1 ? 2 , a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? an?1 ? an ? 1 , n ?1 n ? 3 故 Sn ? 2 ? 故 S 2007 ? 2S 2006 ? S 2005 ? 1005 ? 2 ? 1003 ? 1004 ? 3 . ? 2 2 3、 a ? b a b a b 假设 a ? b 。则 1009 ? 1009 , 1003 ? 1003 。 b a b a a 0 6 ? 1 0 0b ? 3 1 b0 ? 0 0 0 ? 1009 3 b1 ? 997 0 a0 ? 1009 4 a 所 以 2 0 ? , 4 2007 1 ? 997 1 0 b0 3 1 0 0 4 a 9 9a 7 1 0 0 9 b ( ) ? ( ?) 1 , ? ( ) ?( ) 1 . 2 0 0 6 2 0 0 6 2 0 0 7 2 0 0 7 1003 x 1004 x 997 x 1009 x 因为 f ( x) ? ( ) ?( ) 和 g ( x) ? ( ) ?( ) 均为减函数. 2006 2006 2007 2007 1003 1004 2007 997 1009 2006 ? ? ? 1 ? g (b) , g (1) ? ? ? ? 1 ? g (a) 且 f (1) ? 2006 2006 2006 2007 2007 2007 从而 a ? 1, b ? 1 ,与 a ? b 矛盾. n ?1 4、 2 x1 x2 ? 1, 当 x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ? f ( x2 ) ? 1 ? log 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )





n ?1 n ?1 n?i ? ? i . 2Sn ? ? ? f ( ) ? f ( ) ? ? n ? 1,故 Sn ? 2 n n ? i ?1 ? 2 5、 ( ,1) 2

由对称性,不妨设 P( x, y ) ( x ? 0) ,以 OA2 为直径的圆的方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

a 2

a2 . 4

? x2 y 2 ? ?1 ? b2 2 ? a 2 b2 2 联立 ? ,消去 y 2 , (1 ? 2 ) x ? ax ? b ? 0 . 2 a ?( x ? a ) 2 ? y 2 ? a ? ? 2 4 2 b 2 2 由题设知 f ( x) ? (1 ? 2 ) x ? ax ? b 在 (0, a) 上有解, a 2 a 1 b 2 ? a ? e2 ? 注意到 1 ? 2 ? 0, f (0) ? b , f (a) ? 0 ,有 0 ? 2 b 2 a 2(1 ? 2 ) a 2 故 e? ( ,1) 2 1 2007 6、 ? 2 ? 2? 3 2 22 22006 1 2007 先考虑 ? ,其值为 ? 2 ? ? ? 2? 3 3 3 3
再考虑它们的整数部分的和,在上面的和式中,任何一项都不是整数,但任何相邻两项的和是整数(因

2k 2k ?1 为 ,注意到两个非整数的和为整数,则它们的整数部分的和比它们自身的和小 1. ? ? 2k ) 3 3 1 ? 1 2007 ? 因此, s ? ? (2 ? 2) ? 1003? ? 1003 ? ? 22007 ? 2 ? . 3 ?3 ?
7、1 当 k ? 1 时,概率为

1 ; 6
1 6
2

当 k ? 2 时, 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ,概率为 5 ? ( ) ; 当 k ? 3 时, 6 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,概率为 (3 ? 6 ? 1) ? ( ) ? 10 ? ( ) ;
3 3

1 6

1 6

当 k ? 4 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ,概率为 (4 ? 6) ? ( ) ? 10 ? ( ) ;
4 4

1 6

1 6

当 k ? 5 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,概率为 5 ? ( ) ;
5

1 6

1 6 6 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 1 5 75 故 p ? ? 5 ? ( ) ? 10 ? ( ) ? 10 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ( ) ? ? (1 ? ) ? 6 , 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 6 则 n ? 7 , m ? 6 ,从而 log 6 m ? log 7 n ? 1 2 ( y ? x ? 5) 8、轨迹是: 4 x ? y ? 5 ? ( y ? x) 2 3
当 k ? 6 时,概率为 ( ) ;

提示:设动点为 P( x?, y ?) ,则过 P

y ? x ? ( y ? ? x?) . 代入椭圆方程 x 2 ?

y2 ? 1, 4

整理得:

(※) 5x 2 ? 2( y ? ? x?) x ? ( y ? ? x?) 2 ? 4 ? 0 若 直 线 l 椭 圆 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 )( x1 ? x2 ) , 则 x1 , x 2 是 方 程 (※) 的 两 个 根 , 且

? ( y ? ? x ?) ? 2 5 ? ( y ? ? x ?) 2 ? ( y ? ? x ?) ? 2 5 ? ( y ? ? x ?) 2 ① x2 ? ② x1 ? 5 5 x ? 2 x2 AP 2 又∵ . 将①、 ②代入并整理得: 4 x ? ? y ? ? ? 2, 5 ? ( y ? ? x ?) 2 x1 ? x2 ∴ x ? ? 1 PB 3 3 ( y ? ? x? ? 5 )
13、证明:对 n ? k , k ? 1, k ? 2, k ? 3, k ? 4 ,由 a n ?1 ? a n ?
2

1 5

得 ak ?5 ?
2

n ? k ?1

? ?a

k ?4

2 n

2 ? an ? ? ak ? 1 ,⑴

k ?4 1 1 1 2 ? ? , ? ? an ? an ? ? 4 ? (? ) ? ?1 ⑵ 4 4 n?k ?1 4 2 由 ⑴、⑵有 ak ?5 ? ak (k ? 0)

而 x ? x ? (x ? ) ?
2

1 2

即 ak ?10 ? ak ?5 ? ak (k ? 0) ,
2 4

于是 ak ?10 ? ak (k ? 0)
2

所以当 n ? 5 时, a n ?5 ? a n ?5 .
2

14、以 F 为极点, Fx 为极轴, 则椭圆的极坐标方程为 ? ? 设 ?AFx ? ? (0 ? ? ?

?
2

ep ( e 为离心率, p 为焦点到相应准线的距离) 1 ? e cos ?

) ,则 ?CFx ? ? ? 900 . 于是

ep ep , CF ? 1 ? e cos ? 1 ? e cos(900 ? ? ) , ep ep BF ? , DF ? 1 ? e cos(1800 ? ? ) 1 ? e cos(1800 ? 900 ? ? ) AF ?

e2 p 2 (1 ? e2 sin ? cos ? ) 1 1 AF ? CF ? BF ? FD ? 1 ? e2 ? e4 sin 2 ? cos 2 ? 2 2 e2 p 2 (1 ? e2t ) 1 设 sin ? cos ? ? t , 0 ? t ? ,则 S ACFDB ? . 1 ? e 2 ? e 4t 2 2 x 1 1 2 2 2 2 ? e2 p 2 ? 再设 1 ? e t ? x , 1 ? e ? x ? 1 ,则 S ACFDB ? e p ? 2 4 2 2 ? e2 1? e ? e t 2 x? ?2 x 1 2 1 2 2 注意到上式在 [1 ? e ,1] 上单调递增, 当 x ? 1 时, “蝶形” ACFBD 面积的最大值为 b , 当 x ? 1? e 时 2 2 4 2b “蝶形” ACFBD 面积的最小值为 2 . a ? b2 4 15、⑴ 易知 a ? 0 , f ( x) 在 x ? ? 时取得极值. a 3 2 ' 2 g ( x) ? ax ? 8x ? 3x, g ( x) ? 3ax ? 16 x ? 3 ,
所以 S ACFDB ? S?ACF ? S?BDF ?

由题意得 3a(? ) 2 ? 16(? ) ? 3 ? 0 ,解得 a ? ⑵ ① 由 a ? 0 , f ( x) ? a ( x ? ) ? 3 ?
2

4 a

4 a

16 . 3

4 a

16 16 ,知 f max ( x) ? 3 ? . a a

16 ? 5 ,即 ?8 ? a ? 0 时,要使 | f ( x) |? 5 ,在 x ? [0, M (a )] 上恒成立,而 M (a) 要最大的, a 2 所以 M (a) 只能是方程 ax ? 8x ? 3 ? 5 的较小根.
当 3? 因此, M (a) ? 当 3?

2a ? 16 ? 4 . a

16 5的 较 大 根 , ? 5 , 即 a ? ?8 时 , 同 样 道 理 M (a) 只 能 是 方 程 a x2 ? 8 x? 3 ? ? a ?2 4 ? 2a ? 4 . M (a) ? a ? 2a ? 16 ? 4 ? a ? (?8, 0) ? a 综上得 M (a ) ? ? ? ?2 4 ? 2a ? 4 a ? (??, ?8] ? a ?
② 当 a ? (?8,0) 时, M (a) ?

2a ? 16 ? 4 2 1 ? ? ; a 2a ? 16 ? 4 2

当 a ? (??, ?8] 时, M (a) ?

?2 4 ? 2a ? 4 4 4 5 ?1 . ? ? ? a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2

故当且仅当 a ? ?8 时, M (a) 有最大值

5 ?1 . 2

二试答案 一. 设 M 为凸四边形 ABCD 内部一点,MA=MC,∠AMB=∠MAD+∠MCD, ∠CMD=∠MCB+∠MAB,求证:AB?CM=BC?MD,BM?AD=MA?CD 证明:构造凸四边形 PQRS 和其内一点 T,使得△PTQ≌△AMB,△RTQ≌△DAM, △ PTS∽△CMD,如图所示

C M

D

M D ? PT PT=MA=MC,TS= =MD, MC TR TQ ? 又 ,TQ=MB, MD AM TR TQ ? MD MB ? ? 故 , TS AM ? MD MC
因∠STR=∠BMC,故△RTS∽△BMC, 从而∠QPS+∠RSP=∠QPT+∠TPS+∠TSP+∠TSR=∠MAB+∠MCB+∠TPS+∠TSP o =∠CMD+∠TPS+∠TSP=∠PTS+∠TPS+∠TSP=180 ; o 同理∠RQP+∠SPQ=180 , 所以凸四边形 PQRS 为平行四边形,即 PQ=RS,QR=PS, 所以 AB=PQ=RS=

B

A

BC ? TS BC ? MD ? ; MC MC CD ? TS AD ? QT AD ? BM ? PS ? QR ? ? CD= MD AM AM

二.设 T 为所有 n 元数组(x1,x2,…,xn)的集合,xi=0,1(i=1,2, …,n),n=2k-1,k≥6,k∈Z,对于 T 中的 x=(x1,x2,…,xn)与 y=(y1,y2,…,yn),令 d(x,y)为满足 xj≠yj(1≤j≤n)的 j 个数,特别地, d(x,x)=0, 设有一 k 个 T 的具有 2 个元素的子集 S,具有以下性质:对 T 的任何一个元素 x,S 中有唯一的元素 y(x 不同于 y)

满足 d(x,y)≤3,求 n 之值。 解:(1)S 中任意两个不同元素 x,y 满足 d(x,y)>3,否则存在两个 x,y 使得 d(x,y)≤3,不妨设最多 x1,y1; x2,y2; x3,y3 这三组不同, 先取 T 中的元素 z=(x1,y2,x3,…) 省略的部分与元素 x,y 的相同, 则 d(z,y) ≤3,d(z,x)≤3 与条件中的唯一性矛盾。 (2)一方面,将 S 中的每个元素的分量改变 0 个,1 个,2 个,3 个后都是 T 中的元素,所以
1 2 3 2 n ? 2 k (C 0 n ? C n ? C n ? C n ) ;另一方面,设与 S 中元素 y1 对应的 T 中元素的集合为 T1,能够与 S 中的

元素 y 满足 d(x,y)≤3 的全部元素 x 也只能是由元素 y 改变 0 个,1 个,2 个,3 个分量而得到,故
1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 T1 ? (C 0 n ? C n ? C n ? C n ) ,同理 T2 ? (C n ? C n ? C n ? C n ) ,…, T2k ? (C n ? C n ? C n ? C n ) ,
1 2 3 从而 T ? T1 ? T2 ? ? ? T2k ? 2 k (C 0 n ? Cn ? Cn ? Cn )

所以 2 ? 2 (C n ? C n ? C n ? C n ) ,可化为:3?2 =k(2k -3k+4) (1) m 2 2 若 3 不能整除 k, 则 k=2 , 由于 k≥6, m≥3, 从而 2k -3k+4 是 4 的倍数, 但不是 8 的倍数, 故 2k -3k+4=12, q 3t-2 2 但此方程无整数解。于是 k=3t=3?2 ,q≥1,方程(1)可化为:2 =t(18t -9t+4) (2) 2 q q q 若 q≥3, 则 18t -9t+4≡4(mod8); 3?2 -q-2=3(1+1) -q-2>4, 故 3?2 -q-2≡0(mod8),方程(2)无整数解。 所以 q=1,2,分别代入方程(2)解得:t=4,k=12,n=23。
n k 0 1 2 3
k-2 2

a3 a ?b?c a3 a a ?b ? ? ( ? ? )?0 ? 2a2 ? ab ? 2b2 ? 2 2 3 2a ? ab ? 2b 3 3 (a ? b)2 (2b ? a) ?? 2 ?0 2a ? ab ? 2b2 ?a b c ? 因此,若 ? , , ? ? (0, 2] ,则不等式显然成立. ?b c a ? a b c 下设 , , 中至少有一个不小于 2,记 a ? max ?a, b, c? . b c a (Ⅰ)当 a ? b ? c 时: a3 a ① 若 a ? 2b ,由 2 ? ? a ? 2b , 2 2a ? ab ? 2b 2 3 b b ? ? b(b ? 2c)(b ? c) ? 0 2 2 2b ? bc ? 2c 3 3 a a b a?b?c ? ? ? 因此, ? 2 (因为 a ? 2b ? 2c ) 2 2a ? ab ? 2b 2 3 3 a3 a b a?b?c ? ? ? ② 同样若 b ? 2c ,有 ? 2 . 2 2a ? ab ? 2b 3 2 3 c b a (Ⅱ)当 a ? c ? b 时, 、 ? (0, 2) ,从而 ? 2 ,即 a ? 2b . a c b 3 b b c ? ? ? 2c3 ? 7bc 2 ? 5b2c ? 3b3 ? 0 , 由 2 (*) 2 2b ? bc ? 2c 3 9 c 3 2 ' 2 事实上,令 t ? ? 1 , f (t ) ? 2t ? 7t ? 5t ? 3 ,令 f ( x) ? 6t ? 14t ? 5 ? 0 , b 7 ? 19 7 ? 19 7? 19 ] 上 , f ' (t )? 0; 在 [ ,?? ]上 f ' (t ) ? 0 . 所 以 f (t ) 在 得t? , 从 而 在 [1, 6 6 6 7 ? 19 7 ? 19 7 ? 19 [1, ] 上递减, [ , ??] 上递增,故 f (t ) ? f ( ) ? 0. 6 6 6 a3 a b c c3 ? ? ? ? 因此, ? 2 , 2a ? ab ? 2b2 2 3 9 2c 2 ? ca ? 2a 2 a b c c3 a ?b?c ? ? 6a3 ? 19a2c ? 14ac2 ? 2 ? 0 ,同(*)讨论,这是成立 由 ? ? ? 2 2 2 3 9 2c ? ca ? 2a 3
三、

的. 故原不等式得证! 四. 已知数列{an}定义如下: a0=4, a1=22, an=6an-1-an-2(n≥2); 数列{bn}定义如下: b0=2, b1=1, bn=2bn-1+bn-2(n

y2 ?7 ≥2),证明:存在正整数列{xn},{yn},使得 a n ? n (n≥0) x n ? yn
证明: 1)用数学归纳法易证:an=b2n+2(n≥0) 2) b n ?1 ? b n b n ? 2 ? b n ?1 (2b n ? b n ?1 ) ? b n (2b n ?1 ? b n ) ? b n ?1b n ?1 ? b n
2 2
n+1 ? ?(b 2 n - b n ?1 b n ?1 ) =…=(-1) 7

所以 b 2n?1 ? 7 ? b 2n b 2n? 2 ,从而 a n ?
2

b2 2 2n?1 ? 7 ,令 yn= b 2n?1 ,xn=b2n+yn 即得证. b 2n


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