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高一必修二立体几何练习题(含答案)


《立体几何初步》练习题
一、选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A、垂直 B、平行 C、相交不垂直 ) D. CC1 ) D、不确定 )

2. 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 与 A1C 垂直的是( A. BD B. CD C. BC

3、线 m, n

和平面 ?、? ,能得出 ? ? ? 的一个条件是( A. m ? n, m // ? , n // ? C. m // n, n ? ? , m ? ?

B. m ⊥ n , ? ∩ ? = m , n ? ? D. m // n, m ? ? , n ? ? ) B.直线 a// ? ,a// ? D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

4、平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ?

5、设 m、n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m?n ③若 m / /? , n / /? ,则 m / / n 其中正确命题的序号是( A.①和② B.②和③ ) C.③和④ D.①和④ ②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m?? ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ?

6.点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC, 则点 O 是ΔABC 的( A.内心 B.外心 ) C.重心 D.垂心

7. 若 l 、m、n是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面, 则下列命题中为真命题的是( A.若 ? // ? , l ? ? , n ? ? ,则 l // n ) B.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ?

C. 若 l ? ? , l // ? ,则 ? ? ?

D.若 l ? n, m ? n ,则 l // m )

8. 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是(

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 ( )

9. (2013 浙江卷)设 m.n 是两条不同的直线,α.β 是两个不同的平面, A.若 m∥ α,n∥ α,则 m∥ n C.若 m∥ n,m⊥ α,则 n⊥ α B.若 m∥ α,m∥ β,则 α∥ β D.若 m∥ α,α⊥ β,则 m⊥ β

10. (2013 广东卷)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? 二、填空题 B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?





11、在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 中点,则三棱锥 B —B1EF 的体积为 .

12.对于空间四边形 ABCD,给出下列四个命题:①若 AB=AC,BD=CD 则 BC⊥AD;②若 AB=CD,AC=BD 则 BC⊥AD;③若 AB⊥AC,BD⊥CD 则 BC⊥AD;④若 AB⊥CD, BD ⊥AC 则 BC⊥AD;其中真命题序号是 .
P

13. 已知直线 b//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则直线 b 与 ? 的位置关系 为 .

14. 如图,△ABC 是直角三角形, ? ACB= 90? ,PA ? 平面 ABC,此 图形中有 个直角三角形

A B

C

三、解答题 15.如图,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC 求证:AB⊥BC
P

A B

C

A

F

16. 如 图 , A B C D和 ABEF 都 是 正 方 形 , M ? AC,N ? FB , 且
A M ? F N。

D M N

求证: MN // 平面BCE 。

B

E

C

P

17. 如 图 , P 为 ?ABC 所 在 平 面 外 一 点 , PA ? 平 面 ABC ,
?ABC ? 90? , AE ? PB 于 E , AF ? PC 于 F
A

F

E

C

求证: (1) BC ? 平面 PAB; (2)平面 AEF ? 平面 PBC ; (3) PC ? EF .
B

18、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。

求证: (1)PA∥平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.[来源:Zxxk.Com]

D1

19、如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 ,
C1

A1 B1

点 P 为 DD1 的中点。求证: (1)直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)平面 PAC ? 平面 BDD1 ; (3)直线 PB1 ? 平面 PAC .
C

P

D B

A

20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱 ABC—A1B1C1 中 AC=3, AB=5, CB ? 4, AA 的中点. 1 ? 4, 点D是AB (Ⅰ)求证: AC ? BC1 (Ⅱ)求证:AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 A1—B1CD 的体积.

21.如图,在几何体 ABCDE 中,AB = AD = 2,AB 丄 AD,AE
丄平面 ABD,M 为线段 BD 的中点, MC//AE,且 AE = MC = 2



I







:





B

C

D







C

D

E



(II)若 N 为线段 DE 的中点, 求证:平面 AMN//平面 BEC.

22. (2013 年北京卷)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中
AB // CD , AB ? AD , CD ? 2 AB ,平面 PAD ? 底面 ABCD , PA ? AD ,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,

求证: (1) PA ? 底面 ABCD ; (3)平面 BEF ? 平面 PCD

(2) BE // 平面 PAD ;

23 . ( 2013 年 山 东 卷 ) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AB ? AC , AB ? PA , AB∥CD, AB ? 2CD ,
E , F , G, M , N 分别为 PB, AB, BC , PD, PC 的中点

求证: (Ⅰ ) CE∥平面PAD ; (Ⅱ )求证: 平面EFG ? 平面EMN

BC ? 2 AD ?ABC ? ?BAD ? 90 , 24. (2013 年大纲卷)如图,四棱锥 P ? ABCD中,

?PAB与?PAD 都是边长为 2 的等边三角形.

(I)证明: PB ? CD; (II)求点 A到平面PCD的距离.

参考答案
选择题:AACDA,BCCCB 填空题:11、

1 12、①④ 13、 b // ? 或b ? ? 3

14、4

解答题:15、作 AD ? PB, 16、

作MG // AB交CB于G, NH // EF交BE于H, 连接GH,证明四边形MGHN是平行四边形

17、 (2)证 AE ? 平面PBC (3)证 PC ? 平面AEF 18、 (1)连接 OE , OE // PA ,(2)证 BD ? 平面PAC 19、(1)设 AC
BD ? O ,连接 OP , OP // BD1 ,(2)证 AC ? 平面BDD1

(3) 由 AC ? 平面BDD1 得 AC ? B1P ,计算可以得到 ?B1PO ? 90 , B1P ? PO 20、 (1) AC ? 平面BB1C1C (2) (1)设 B1C
BC1 ? O ,连接 OD , OD // AC1

(3)

VA1 ?B1CD ? VC ? A1DB1 ? 8 ,

21、 (1)计算得 ?BCD ? 90 , BC ? CD, ?BCE ? 90 , BC ? CE, BC ? 平面CDE (2) AM // EC, MN // BE 22、 (I)因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD,且 PA 垂直于两平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD. (II)因为 AB∥ CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB∥ DE,且 AB=DE 所以 ABED 为平行四边形, 所以 BE∥ AD,又因为 BE ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 所以 BE∥ 平面 PAD. (III)因为 AB⊥ AD,而且 ABED 为平行四边形 所以 BE⊥ CD,AD⊥ CD,由(I)知 PA⊥ 底面 ABCD,

所以 PA⊥ CD,所以 CD⊥ 平面 PAD 所以 CD⊥ PD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 所以 PD∥ EF,所以 CD⊥ EF,所以 CD⊥ 平面 BEF,所以平面 BEF⊥ 平面 PCD. 23、 (1) 取PA中点H,连接EH、DH,证明四边形CEHD是平行四边形 或者连接 CF,证明 平面ECF // 平面PAD (2)证 AB ? 平面EFG, MN // CD // AB, 所以 MN ? 平面EFG,

24、

(Ⅰ )证明:取 BC 的中点 E,连结 DE,则 ABED 为正方形. 过 P 作 PO⊥ 平面 ABCD,垂足为 O. 连结 OA,OB,OD,OE. 由 ?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形知 PA=PB=PD, 所以 OA=OB=OD,即点 O 为正方形 ABED 对角线的交点, 故 OE ? BD ,从而 PB ? OE . 因为 O 是 BD 的中点,E 是 BC 的中点, 所以 OE//CD.因此, PB ? CD . (Ⅱ )解:取 PD 的中点 F,连结 OF,则 OF//PB. 由(Ⅰ )知, PB ? CD ,故 OF ? CD . 又 OD ?
1 BD ? 2 , OP ? PD2 ? OD2 ? 2 , 2

故 ?POD 为等腰三角形,因此, OF ? PD . 又 PD CD ? D ,所以 OF ? 平面 PCD. 因为 AE//CD, CD ? 平面 PCD, AE ? 平面 PCD,所以 AE//平面 PCD.

因此,O 到平面 PCD 的距离 OF 就是 A 到平面 PCD 的距离,而 OF ? 所以 A 至平面 PCD 的距离为 1.

1 PB ? 1 , 2


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