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函数相关知识点


函数相关知识点
1.函数的概念及其构成要素

2.判断两个函数是否为同一函数

3.函数的定义域及其求法

4.函数的值域

5.函数的图象与图象变化

6.函数解析式的求解及常用方法

7.区间与无穷的概念 8.函数的表示方法

/>9.函数的对应法则 10.函数图象的作法

11.分段函数的解析式求法及其图象的作法

12.映射

13.函数的单调性及单调区间

19. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ) 当 a ? ?3 时, 求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (Ⅱ) 如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x
[

恒成立,求实数 a 的取值范围.
3 2 19.解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 3x ? x ? 1

……………1 分 ………………3 分 ……………4 分 …………5 分

∵ f ( x) ? ?9 x ? 6 x ? 1
/ 2

? ?(3x ?1)2 ? 0
∴ f ( x ) 在 R 上是减函数 (Ⅱ)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立 即 ?x ? R 不等式 3ax ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立
2

∴ ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立
2

…………………7 分 ……………8 分 ……………9 分

当 a ? 0 时, ?x ? R

2 x ? 1? 0 不恒成立
2

当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立 即 ? ? 4 ? 12a ? 0 ∴a ? ?

1 3

…………………12 分

2 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立… … …… 13 分

[

? ] 综上所述, a 的取值范围是 ( ??,

1 3

… … … …14 分

2 21(本题满分 14 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a | ln x ?1| .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)若 x ? [1, ??) 时,不等式 f ( x) ? a 恒成立,实数 a 的取值范围. 21.解: (1)当 a ? 2 时,

? x 2 ? 2 ln x ? 2 (0 ? x ? e) ? f ( x) ? x2 ? 2 ln x ?1 ? ? 2 ? ? x ? 2 ln x ? 2 ( x ? e)
当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 2 x ? 当 x ? e 时, f ?( x ) ? 2 x ?

…………(2 分)

2 2 x2 ? 2 ? , f ( x) 在 (1, e] 内单调递增; x x

2 ? 0 恒成立,故 f ( x) 在 [e, ??) 内单调递增; x
…………(4 分)

? f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) 。
2 (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a ( x ? e) x

a ? 0 ,? f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 ?e, ?? ? 上增函数。
故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e2 。
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a ,

…………(6 分)

f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )( x ? ) (1 ? x ? e) x x 2 2

(Ⅰ)当

a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2
…………(8 分)

为增函数。故当 x ? 1 时, ymin ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e)

(Ⅱ)当 1 ?

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, ) 时为负数,在 x ? ( ,e) 时 2 2 2
a a a ) 上为减函数,在 ( , e) 上为增函数。故当 x ? 时, 2 2 2
…………(10 分)

为正数,所以 f ( x) 在区间 [1,

ymin ?

3a a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) 。 2 2 2 2

(Ⅲ)当

a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f ( x) 在区间 [1, e] 上为 2
…………(12 分)

减函数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e2 。

所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 ymin

?1 ? a, 0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln , 2 ? a ? 2e2 。 ?2 2 2 2 2 ? ?e , a ? 2e

? 3a a a ?e 2 ? a ?1 ? a ? a ? ? ? ln ? a 由条件得 ? 此时 0 ? a ? 2 ;或 ? 2 2 2 ,此时 2 ? a ? 2e ;或 ? , 2 a ? 2 e ? 2 ?0 ? a ? 2 ? ? 2 ? a ? 2e ?
此时无解。 综上, 0 ? a ? 2e 。 …………(14 分)

14.函数单调性的判断与证明

15.函数单调性的性质

16.复合函数的单调性

17.函数的最值及其几何意义

18.奇函数

19.偶函数

20.函数奇偶性的判断

21.函数奇偶性的性质

22.奇偶函数图象的对称性

23.奇偶性与单调性的综合

24.函数的图象

25.抽象函数及其应用

26.函数的周期性

27.函数恒成立问题

28.函数的连续性 29.函数的值

30.一次函数的性质与图象 31.二次函数的图象

32.二次函数的性质

33.二次函数在闭区间上的最值


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