nbhkdz.com冰点文库

函数相关知识点

时间:2015-05-08


函数相关知识点
1.函数的概念及其构成要素

2.判断两个函数是否为同一函数

3.函数的定义域及其求法

4.函数的值域

5.函数的图象与图象变化

6.函数解析式的求解及常用方法

7.区间与无穷的概念 8.函数的表示方法

9.函数的对应法则 10.函数图象的作法

11.分段函数的解析式求法及其图象的作法

12.映射

13.函数的单调性及单调区间

19. (本题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 , a ? R .
3 2

(Ⅰ) 当 a ? ?3 时, 求证: f ( x ) 在 R 上是减函数; (Ⅱ) 如果对 ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x
[

恒成立,求实数 a 的取值范围.
3 2 19.解: (Ⅰ)当 a ? ?3 时, f ( x) ? ?3x ? 3x ? x ? 1

……………1 分 ………………3 分 ……………4 分 …………5 分

∵ f ( x) ? ?9 x ? 6 x ? 1
/ 2

? ?(3x ?1)2 ? 0
∴ f ( x ) 在 R 上是减函数 (Ⅱ)∵ ?x ? R 不等式 f ?( x) ? 4 x 恒成立 即 ?x ? R 不等式 3ax ? 6 x ? 1 ? 4 x 恒成立
2

∴ ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立
2

…………………7 分 ……………8 分 ……………9 分

当 a ? 0 时, ?x ? R

2 x ? 1? 0 不恒成立
2

当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立 即 ? ? 4 ? 12a ? 0 ∴a ? ?

1 3

…………………12 分

2 当 a ? 0 时, ?x ? R 不等式 3ax ? 2 x ? 1 ? 0 不恒成立… … …… 13 分

[

? ] 综上所述, a 的取值范围是 ( ??,

1 3

… … … …14 分

2 21(本题满分 14 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a | ln x ?1| .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)若 x ? [1, ??) 时,不等式 f ( x) ? a 恒成立,实数 a 的取值范围. 21.解: (1)当 a ? 2 时,

? x 2 ? 2 ln x ? 2 (0 ? x ? e) ? f ( x) ? x2 ? 2 ln x ?1 ? ? 2 ? ? x ? 2 ln x ? 2 ( x ? e)
当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 2 x ? 当 x ? e 时, f ?( x ) ? 2 x ?

…………(2 分)

2 2 x2 ? 2 ? , f ( x) 在 (1, e] 内单调递增; x x

2 ? 0 恒成立,故 f ( x) 在 [e, ??) 内单调递增; x
…………(4 分)

? f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) 。
2 (2)①当 x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a , f ?( x) ? 2 x ?

a ( x ? e) x

a ? 0 ,? f ?( x) ? 0 恒成立,? f ( x) 在 ?e, ?? ? 上增函数。
故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e2 。
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? x ? a ln x ? a ,

…………(6 分)

f ?( x) ? 2 x ?

a 2 a a ? (x ? )( x ? ) (1 ? x ? e) x x 2 2

(Ⅰ)当

a ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, e) 时为正数,所以 f ( x) 在区间 [1, e) 上 2
…………(8 分)

为增函数。故当 x ? 1 时, ymin ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f (e)

(Ⅱ)当 1 ?

a a a ? e ,即 2 ? a ? 2e2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, ) 时为负数,在 x ? ( ,e) 时 2 2 2
a a a ) 上为减函数,在 ( , e) 上为增函数。故当 x ? 时, 2 2 2
…………(10 分)

为正数,所以 f ( x) 在区间 [1,

ymin ?

3a a a a ? ln ,且此时 f ( ) ? f (e) 。 2 2 2 2

(Ⅲ)当

a ? e ,即 a ? 2e 2 时, f ?( x ) 在 x ? (1, e) 时为负数,所以 f ( x) 在区间 [1, e] 上为 2
…………(12 分)

减函数,故当 x ? e 时, ymin ? f (e) ? e2 。

所以函数 y ? f ( x) 的最小值为 ymin

?1 ? a, 0 ? a ? 2 ? 3a a a ? ? ? ? ln , 2 ? a ? 2e2 。 ?2 2 2 2 2 ? ?e , a ? 2e

? 3a a a ?e 2 ? a ?1 ? a ? a ? ? ? ln ? a 由条件得 ? 此时 0 ? a ? 2 ;或 ? 2 2 2 ,此时 2 ? a ? 2e ;或 ? , 2 a ? 2 e ? 2 ?0 ? a ? 2 ? ? 2 ? a ? 2e ?
此时无解。 综上, 0 ? a ? 2e 。 …………(14 分)

14.函数单调性的判断与证明

15.函数单调性的性质

16.复合函数的单调性

17.函数的最值及其几何意义

18.奇函数

19.偶函数

20.函数奇偶性的判断

21.函数奇偶性的性质

22.奇偶函数图象的对称性

23.奇偶性与单调性的综合

24.函数的图象

25.抽象函数及其应用

26.函数的周期性

27.函数恒成立问题

28.函数的连续性 29.函数的值

30.一次函数的性质与图象 31.二次函数的图象

32.二次函数的性质

33.二次函数在闭区间上的最值


赞助商链接

1函数知识点(一)

1函数知识点(一) - 函数知识点(一) 1.集合元素性质:确定性、无序性、互异性. 2.常用数集记号:空集?,正整数集 N*,自然数集 N,整数集 Z,有理数...

函数2知识点总结

函数2知识点总结 - 函数(二) 1、二分法与函数的零点 一、知识导图 函数的零点 1、函数零点的概念 2、与方程的根、函数与轴 交点之间的关系 1、函数零点的...

函数的单调性 知识点与题型归纳

一、知识梳理《名师一号》P15 注意: 研究函数单调性必须先求函数的定义域, 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并!知识点函数的单调性 1.单调函数的...

函数的奇偶性知识点

函数的奇偶性知识点_数学_高中教育_教育专区。函数的奇偶性 1.偶函数: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)就叫偶...

函数的表示法知识点

函数的表示法知识点_数学_高中教育_教育专区。函数的表示法 1.函数的三种表示法: 图象法、列表法、解析法 2.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不...

函数的应用知识点归纳

函数的应用知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。第三章 函数的应用 〖3.1〗方程的根与函数的零点 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? ...

函数的基本性质知识点总结

函数的基本性质知识点总结_数学_高中教育_教育专区。函数的基本性质基础知识: 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x)...

函数的概念与表示知识点总结及练习

函数的概念与表示知识点总结及练习_高一数学_数学_高中教育_教育专区。苏教版高一数学必修一第二章《函数》函数的概念与表示知识点总结和相应练习 ...

初中函数知识点总结、对应的练习题和答案

初中函数知识点总结、对应练习题和答案_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 初中函数知识点总结、对应练习题和答案_数学_初中教育_...

函数模型的应用实例知识点

函数模型的应用实例 1.我们目前已学习了以下几种函数:一次函数 y=kx+b(k≠0) ,二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) ,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1) ,...