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1.2.2《空间中的平行关系(1)》

时间:2016-12-29


1.2.2空间中的平行关系(1)

一. 平行直线 1. 平行直线的定义:同一平面内不相交的 两条直线叫做平行线. 2. 平行公理:过直线外一点有且只有一条 直线和这条直线平行. 3. 公理4:平行于同一直线的两条直线互相 平行,此性质又叫做空间平行线的传递性.

公理4的符号表述为:
a//c,b//c ? a//b. 公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行,它是 证明两直线平行的重要依据.

4. 等角定理:

如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
已知:如图所示,∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1, AC//A1C1,且射线AB与A1B1 同向,射线AC与A1C1同向, 求证:∠BAC=∠B1A1C1.

证明:对于∠BAC和∠B1A1C1在同一个平 面内的情形,在初中几何中已经证明, 下面证明两个角不在同一平面内的情形。 分别在∠BAC的两边和 ∠B1A1C1的两边上截取线 段AD=A1D1和AE=A1E1. 因为,AD/ / A1D1 所以 AA1D1D 是平行四边形,

所以 AA1 / /DD1
同理可得 AA1 / /EE1 所以DD1E1E是平行四边形。 在△ADE和△A1D1E1中. AD=A1D1,

AE=A1E1,DE=D1E1,
于是△ADE≌△A1D1E1, 所以∠BAC=∠B1A1C1.

5. 空间四边形的有关概念: (1)顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形,叫做空间四边形; (2)四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点; (3)所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边; (4)连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。

如图:空间四边形ABCD中,AC、BD是 它的对角线

空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托,如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.

6. 异面直线所成的角:已知两条异面直 线a、b,经过空间任意一点O作直线a’//a, b’//b,由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关,我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ? O P a b′ a′ θ O

若两条异面直线所成角为90°,则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b

异面直线所成角θ的取值范围:(0?, 90?]

空间两条直线的位置关系有三种:
位置关系 共面情况 公共点个数

相交直线
平行直线

在同一平面内
在同一平面内

有且只有一个
没 有

异面直线 不在任何一平面内

没 有

例1.已知:如图,空间四边形ABCD中, E,F,G,H分别是边AB,BC,CD, DA的中点,求证:四边形EFGH是平行 四边形。 A
证明:在△ABD中,因 为E,H分别是AB, AD的中点,所以
E B F G C H D

EH//BD,EH= BD,

1 2

同理,FG//BD,FG= BD, 所以EH//FG,EH=FG, 所以四边形EFGH是平行四边形。
A E B F G C H D

1 2

例2.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,已知E,F分别是AB , BC 的中点, 求证:EF∥A1C1. 证明:连结AC. 在△ABC中, E, F分别 是AB, BC 的中点.

所以 EF ∥ AC

又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1 所以 AA1∥CC1 且 AA1∥CC1 即四边形AA1C1C是平行四边形 所以AC∥A1C1 从而 EF∥A1C1.

例3. 如图,已知E,E1分别是正方体ABCD- A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点. 求证:∠C1E1B1 = ∠CEB. 分析:设法证明E1C1∥EC, E1B1∥EB.

练习 题
(1) 下列结论正确的是( D ) A.若两个角相等,则这两个角的两边分别 平行 B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内 C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交

(2) 下面三个命题, 其中正确的个数是( D )

①三条相互平行的直线必共面; ③若四边形有一组对角都是直角,则这个四 边形是圆的内接四边形 A. 1个
C. 3个

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

B. 2个
D. 一个也不正确

(3).空间两个角α、β, α与β的两边对应平行, 且α=600, 则β等( ) D A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° (4)若空间四边形的对角线相等,则以它的四 条边的中点为顶点的四边形是( B ) A.空间四边形 B.菱形 C.正方形 D.梯形

5. 设AA1是正方体的一条棱,这个正方 3 体中与AA1 平行的棱共有___条.

6. 如果OA∥O1A1, OB∥O1B1 ,那么
∠AOB与∠A1O1B1 ( C ) B.互补 D.以上答案都不对

A.相等 C.相等或互补

7.如图,已知 AA1, BB1, CC1 ,不共面 且AA1∥BB1, BB1∥CC1 ,AA1=BB1, BB1= CC1. 求证:△ABC ≌ △A1B1C1.
A1 A

B1 C1

B

C


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