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2014届四川省内江六中高三第一次月考文科数学试卷(带解析)


2014 届四川省内江六中高三第一次月考文科数学试卷(带解析) 一、选择题 1.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x2 ? x ,则 f (1) ? ( A. ?3 B. ?1 ) C. y ? ex ? 1 D. C. 1 D. 3 )

2.曲线 y ? e x 在点 A(0,1) 处的切线为( A.

y ? x ? 1 B. y ? 1

y?

1 x ?1 ln e

3.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函数 y ? f ( x) 的图 象可以是( )

y
–3 –2 –1

y

o
1 2 3

A.

x

B.

–3 –2 –1

o
1 2 3

x

y
–6 –4 –2

y
2 4 6

o

x

–6 –4 –2

o
2 4 6

x

C.

D.

4.函数 f ( x) ? e x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是 A. (?2, ?1) B. (?1, 0)

( C. (0,1)

) D. (1, 2)

5. 在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为

正视图

俯视图

A

B

C

D

6. x ? 1是 x ? 2 的( A.充分不必要条件

) B.必要不充分条件
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C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ) C. a ? b ? c D.

7.设 a ? log5 4 , b ? (log5 3)2 , c ? log4 5 ,则( A. a ? c ? b B. b ? c ? a

b?a?c
8.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点, A 、 B 是该抛物线上的两点,且 AF ? BF ? 3 , 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( A. ) C.

3 4

B. 1

5 4

D.

7 4

9. 定义一种运算: ? b ? ? a 的大致图象是( )

? a ( a ? b) , 已知函数 f ( x) ? 2x ? (3 ? x) , 那么 y ? f ( x ? 1) ?b (a ? b)
y

y

y

2
O

2

2
x
O

x

O

x
(C)

(A)

(B)

y
2

x
O

(D)

10. 设函数 g ( x) ? x2 ? 2( x ? R) , f ( x) ? ? 值域为( ) B. [0, ??) D. [?

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的 ? g ( x) ? x, x ? g ( x)

A. [? , 0] U (1, ??) C. [ , ??)

9 4

9 4

9 , 0] U (2, ??) 4

二、填空题 11.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

? 2 x ? a, x ? 1 ,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 的值 ?? x ? 2a, x ? 1

为 . 12.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个小球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若从中
试卷第 2 页,总 5 页

随机取出 2 个球,则取出的 2 个球颜色不同的概率为

.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,离心率



2 .过点 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点, ?ABF2 的周长为 16, 且 那么椭圆 C 的 2
.

方程为

14.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6 , BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 15.有下列四个命题: .

①函数 y ? f (? x ? 2) 与 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称; ②若函数 f ( x) ? e x , 则对 都有 f ( ?x1 , x2 ? R , 在 区 间 ( 0?? ,

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? ; ③若函数 f ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1) 2 2
f (?2) ? f (a ? 1) ;
④ 若 函 数

上 单 调 递 增 , 则 )

f ( x ? 2013) ? x2 ? 2 x ?1( x ? R) ,则函数 f ( x) 的最小值为 ?2 .其中真命题的序号
是 .

三、解答题 16. 某学生社团在对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现, 在回收上来的 1000 份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白天背和晚上睡前背。为了研 究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以 5%的比例对这 1000 名学生按时间安排 类型进行分层抽样,并完成一项实验.实验方法是,使两组学生记忆 40 个无意义音节 (如 XIQ、GEH) ,均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在 8 小时后进行记忆检测。 不同的是,甲组同学识记结束后一直不睡觉,8 小时后测验;乙组同学识记停止后立刻 睡觉,8 小时后叫醒测验. 两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆 (保持) 情况如图 (区间含左端点而不含右端点) .
频数

10 8

4 2 1

O

4

8

12 16 20 24

28

准确回忆个数

甲组(白天识记)

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频率 组距

0.075 0.0625 0.0375 0.025 0.0125

O

4

8

12 16 20 24

28 32

准确回忆个数

乙组(睡前识记)

(1)估计这 1000 名被调查学生中停止后 8 小时 40 个音节的保持率不小于 60%的人数; (2)从乙组准确回忆单词个数在 [4, 20) 个范围内的学生中随机选 2 人,求能准确回忆

[16, 20) 个单词至少有一人的概率.
17.如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA ? AB ? BC ? 3 , AC ? 2 ,D 是 AC 的 1 中点.
B1 A1 C1

B A D C

(Ⅰ)求证: B1C / / 平面 A BD ; 1 (Ⅱ)求二面角 A1 ? BD ? B1 的余弦值. 18.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销售价 格 x (单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数. x?3

已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品 所获得的利润最大. 19.定义在 R 上的函数

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? 3 同时满足以下条件:①函数 f ( x) 在

(0,1) 上是减函数,在 (1, ??) 上是增函数;② f ?( x ) 是偶函数;③函数 f ( x) 在 x ? 0 处
的切线与直线 y ? x ? 2 垂直. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;
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(Ⅱ) g ( x) ? 4ln x ? m , 设 若存在 x ? [1, e] 使得 g ( x) ? f ?( x) , 求实数 m 的取值范围. 20.已知函数 f ( x) ? a ln x ?

1 2 x ? (1 ? a) x( x ? 0) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M 、 N 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的顶点,过坐 4 2

标原点的直线交椭圆于 P 、 A 两点,其中 P 在第一象限.过 P 作 x 轴的垂线,垂足为

C .连接 AC ,并延长交椭圆于点 B .设直线 PA 的斜率为 k .

y
1

P B
1

M
–2 –1

O C A
–1

x
3

2

N
–2

(Ⅰ)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 k ? 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离; (Ⅲ)对任意 k ? 0 ,求证: PA ? PB .

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2014 届四川省内江六中高三第一次月考文科数学试卷(带解析)参考答案 1.A 【解析】 试题分析:思路一、因为已知 x ? 0 时,函数的解析式,故求正数的函数值应转化为求负数 的函数值.

f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1)2 ? (?1)] ? ?3 ,故选 A
思路二、由条件求出 x ? 0 时的解析式,然后将 1 代入求解. 本题极易错在符号上,运算过程中应小心.如果对函数理解不深,也极易出错. 考点:函数的奇偶性,分段函数的函数值的计算. 2.A 【解析】 试题分析: 函数 y ? f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程:y ? y0 ? f ?( x)( x ? x0 ) 。 在本题中,

f ?( x) ? y? ? e x ,
所以 f ?(0) ? e0 ? 1 ,所以切线为: y ? x ? 1 . 本题属于容易题,但还是会出现以下错误: (1) f ?(0) ? e0 ? 0 ,从而选 B;将 A(0,1) 的纵 坐标代入 f ?( x) ? y? ? e x 求得斜率为 f ?(1) ? e1 ? e ,从而选 C. 考点:基本初等函数的导数公式、导数的几何意义及曲线的切线的求法. 3.B 【解析】 试题分析:由 f (? x) ? f ( x) 知:该函数为奇函数;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 知,该函数是周期为 2 的周期函数,故选 B. 考点:函数的奇偶性、周期性及其图象特征. 4.C 【解析】 试 题 分 析 : f (0) ? e ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? e ? 1 ? 2 ? e ?1 ? 0 , 又 因 为
0 1

f ( x) ? ex ? x ? 2 是一个连续的递增函数,故零点在区间 (0,1) 内,选 C.
考点:函数零点的概念及判定定理. 5.D 【解析】 试题分析:从正视图和俯视图来看,前半部分是一个三棱锥,后半部分是从轴截面切开的半 个圆锥故侧视应为 D. 三视图虽为三个图,但解题时我们应将三个图综合起来考虑. 考点:几何体的三视图. 6.B 【解析】 试题分析:涉及范围的命题应记住以下结论:若集合 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件.本题中
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{x x ? 1} ? {x x ? 2} ,故选 B.
充要条件问题易将充分性、必要性弄反,解题应考虑清楚. 考点:不等关系,命题及其充分性必要性. 7.D 【解析】 试题分析:一般地,只要涉及 3 个及以上的数比较大小,应找一中间量来比较,比如 0、1. 由对数的性质知: 0 ? log5 4 ? 1 , 0 ? (log5 3)2 ? 1 , log4 5 ? 1 。又 (log5 3)2 ? log5 3 ,

log5 3 ? log5 4
所以 b ? c ? a . 解答本题目易进入作差比较的误区;其次是易弄错 (log5 3)2 与 log5 3 的大小. 考点:对数函数的单调性及对数运算性质,以及比较数的大小的方法. 8.C 【解析】 试题分析:线段 AB 的中点到 y 轴的距离即线段 AB 的中点的横坐标的绝对值,故只需求线 段 AB 的中点的横坐标的绝对值.从而考虑用中点坐标公式. 由 已 知 得 :

p?

1 2

.



A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )





p p 1 ? x ? 2 ? x ? x ? p ? x ? x2 ? , 由 已 知 : 1 1 2 2 2 2 x ?x 1 5 5 x1 ? x2 ? ? 3, x1 ? x2 ? .所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为: 1 2 ? . 2 2 2 4 AF ? BF ? x1 ?
考点:抛物线的定义(焦半径公式) ,中点坐标公式及圆锥曲线中的基本运计算. 9.B 【解析】 试题分析:首先弄清题中所定义的运算: a ? b ? ?
x

? a ( a ? b) ,表示取 a 、 b 中的大者. ?b (a ? b)

作出 y ? 2 , y ? 3 ? x 的图象,取大者,再向左平移一个单位即可. 考点:本题考查新定义函数、分段函数、指数函数,考查函数图象的平移 10.D 【解析】
2 试题分析: 作出函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) 及 y ? x 的图象, 根据图象确定 g ( x) 与 x 的大小,

从而可得 f ( x ) 的解析式及图象.

? x 2 ? x ? 2, ( x ? ?1, x ? 2) ? ,作出图象如图所示. f ( x) 的解析式为: f ( x) ? ? 2 ? x ? x ? 2, (?1 ? x ? 2) ?
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8

由图可得其值域为 [?
6

9 , 0] U (2, ??) . 4

12

10

4

8

6

2
4

-1
5
15

O
2
10 5

2

5

10

-1 O 2
2 5 10 15

2

y = g(x)

考点:分段函数及函数的图象、值域以及数形结合思想. 11. ?

3 4 3 (舍) ; 2

【解析】 试题分析: a ? 0 时, 2(1 ? a) ? a ? ?(1 ? a) ? 2a ,解之得 a ? ?

3 a ? 0 时, 2(1 ? a) ? a ? ?(1 ? a) ? 2a ,解之得 a ? ? . 4
本题易忽略分类讨论,直接由 2(1 ? a) ? a ? ?(1 ? a) ? 2a 得 a ? ? 考点:考查分段函数,方程的解法及分类讨论思想. 12.

3 ,从而造成错误. 2

3 5

【解析】
2 1 1 试题分析:从 5 个球中任选 2 个,共有 C5 ? 10 种选法.2 个球颜色不同,共有 C3C2 ? 6 种

选法.所以所求概率为 p ?

6 3 ? . 10 5

考点:古典概型及组合数的计算. 13.

x2 y 2 ? ?1 16 8

【解析】 试 题 分 析 : 在 椭 圆 中 ,

?ABF2

的 周 长 为

4a

, 所 以

c 2 4a ? 16, a ? 4 .? ? ? c ? 2 2, b ? 2 2 , 4 2
答案第 3 页,总 10 页

所以椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 8

考点:椭圆的第一定义,离心率及椭圆的方程. 14. 8 3 【解析】 试题分析:根据体积公式,应求出矩形 ABCD 的面积和球心 O 到底面 ABCD 的距离 d . 矩形 ABCD 的外接圆的半径 r ? 9 ? 3 ? 2 3 ,所以 d ? 体积 V ?

R2 ? r 2 ? 16 ?12 ? 2 ,

1 ? 6? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3

考点:棱锥的体积公式,球体中的有关计算及公式 d ? 15.②④ 【解析】

R2 ? r 2 的应用.

试题分析:①函数 y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,将函数 y ? f (? x) 与

y ? f ( x) 的图象都向右平移 2 个单位,便得函数 y ? f (? x ? 2) 与 y ? f ( x ? 2) 的图象,所
以函数 y ? f (? x ? 2) 与 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 x ? 2 对称;②作出函数 f ( x) ? e x 的图 象,从图象可看出结论成立(函数的凸性). ③函数 f ( x) ? loga x (a ? 0,a ? 1)在区间 (0, ?? ) 上单调递增,所以 a ? 1, a ? 1 ? 2 从而 ;④将函数图象左右平移,函数的最大值最小值不变,所以函数 f ( a ? 1) ? f (2) ? f (? 2)

f ( x ? 2013) ? x2 ? 2 x ?1( x ? R) 与函数 f ( x) 的最小值相同.
考点:本题综合考查函数的图象及性质. 16. (Ⅰ)180 人; (Ⅱ) p ?

3 . 5

【解析】 试题分析:首先弄清题意,1000 名学生分为了两类,每类学生有多少人?先求出抽取的样 本中的个体数,然后再根据图形求甲组中的个体数,从而可得乙组中的个体数。从乙组的频 率分布直方图可得各段的频率,然后可得各段的人数。弄清以上数据,便可解决该题。 试 题 解 析 : 总 共 抽 取 了 5% ?1000 ? 50 人 , 由 甲 组 的 条 形 图 可 知 甲 组 有 有 : 4+10+8+4+2+1+1=30 人;故乙组有 20 人 乙组的频率为: 0.05 ? 0.05 ? 0.1 ? 0.1 ? 0.3 ? 0.25 ? 0.15 即有 1+1+2+2+6+5+3=20 人。 因为按 5%的比例对这 1000 名学生按时间安排类型进行分层抽样 所以“白天背”的同学共有

30 ? 600 人, “晚上睡前背”的同学有 400 人。 5%

(Ⅰ)40 个音节的保持率不小于 60%,则至少能准确回忆 24 个,

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“白天背”的同学共有

1 ? 600 ? 20 人, “晚上睡前背”的同学有 0.4 ? 400 ? 160 人。 30

所以这 1000 名被调查学生中停止后 8 小时 40 个音节的保持率不小于 60%的人数大约为 180 人 (Ⅱ)乙组准确回忆单词个数在 [4, 20) 个范围内的学生有 6 人,能准确回忆 [16, 20) 个单词 的学生有 2 人。 从 6 人中随机抽取 2 人,用列举法可得有 15 种可能结果 法一、两人都能准确回忆 [4,16) 个单词的可能结果有 6 种,故所求概率为: p ? 1 ?

6 3 ? 15 5

法二、至少有一人能准确回忆 [16, 20) 个单词的可能结果有 4 ? 2 ? 1 ? 9 种,故所求概率为:

p?

9 3 ? 15 5

考点:抽样方法,条形图,频率分布直方图及古典概型的计算 17. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) cos ?A1DD1 ?

DD1 3 10 ? DA1 10

【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明线面平行常用以下两种方法:一是用线面平行的判定定理,二是用面面 平行的性质.本题用这两种方法都行; (Ⅱ)首先应考虑作出平面 DBB1 截三棱柱所得的截面.作出该截面便很容易得到二面角的 平面角即为 ?A1DD1 . 本题也可用向量解决. 试题解析: (Ⅰ)法一:连结 AB1 ,交 A B 于 O ,连结 DO ,则 B1C // DO ,从而 B1C // 平 1 面 A BD . 1
B1 A1 C1 O

B1 A1 D1 C1

B A D C

B A D C

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B1 A1 D1 C1

B A D C

法二:取 AC1 的中点 D1 ,连结 CD1 ,易得平面 CB1D1 // DBA ,从而 B1C // 平面 A BD . 1 1 1 (Ⅱ) AC1 的中点 D1 ,连结 DD1 、 D1B1 ,易得平面 DBB1D1 就是平面 DBB1 , 1 又 BD ? 平面 ACC1 A ,所以 BD ? A D, BD ? DD1 ,所以 ?A1DD1 就是该二面角的平面角. 1 1

cos ?A1DD1 ?

DD1 3 10 . ? DA1 10

考点:立体几何中线面平行的证明及二面角的计算. 18. (Ⅰ) a ? 2 ;(Ⅱ)每日所获最大利润为: f (4) ? 42 【解析】 试题分析: (Ⅰ)题中给出含参数的解析式,都要给一组对应值来求其中的参数.在本题中将

x ? 5 , y ? 11 代入 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 即可求出参数 a 的值; (Ⅱ)要求利润的最大值, x?3
每 日 所 获 利 润 :

就 需 要 列 出 利 润 与 销 售 价 格 间 的 关 系 式 .

2 f ( x) ? ( x ? 3)[ ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 .导数法和均值不等式 x ?3
法是求最值的两种基本方法.在本题中用这两种方法均可. 试题解析: (Ⅰ)因为 x ? 5 时 y ? 11 ,所以 ( Ⅱ ) 法 一 、

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 2
每 日 所 获 利 润 :

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 x ?3

f ?( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6),3 ? x ? 6
由此可得: f ( x ) 在 (3, 4) 上单调递增,在 (4, 6) 上单调递减. 所以 x ? 4 时, f ( x ) 取得最大值 f (4) ? 42

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2 法二: 2( x ? 3)( x ? 6) ? (2 x ? 6)(6 ? x)(6 ? x) ? (

2x ? 6 ? 6 ? x ? 6 ? x 3 ) ?8 3

所以 f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ? 2 ? 5 ? 8 ? 42 . x ?3

考点:本题考查函数的应用及求最值的方法. 19. (Ⅰ) f ( x) ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由三个条件可得三个等式,从而可求出三个未知数 a, b, c .(Ⅱ)一般地若 存在 x ? C 使得 a ? f ( x) ,则 a ? f ( x)max ;若存在 x ? C 使得 a ? f ( x) ,则 a ? f ( x)min .
2 2 在本题中,由 g ( x) ? f ?( x) 可得: m ? 4ln x ? 1 ? x .则 m 大于 4ln x ?1 ? x 的最小值.

1 3 x ? x ? 3 ;(Ⅱ) m ? 5 ? e2 3

试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由题设可得:

? f ?(1) ? 0 ?3a ? c ? 0 1 ? ?? ? a ? , b ? 0, c ? ?1 ?b ? 0 3 ? f ?(0) ? ?1 ?c ? ?1 ?
所以 f ( x) ?

1 3 x ? x?3 3

2 2 (Ⅱ)由 g ( x) ? f ?( x) 得: 4ln x ? m ? x ? 1 即: m ? 4ln x ? 1 ? x

令 h( x) ? 4ln x ? 1 ? x ,(1 ? x ? e) 由题意得: m ? h( x)min
2

h?( x) ?

4 ? 2 x ? 0 ? 1 ? x ? 2 所以 h( x) 在 [1, 2] 单调递增,在 [ 2, e] 上单调递减 x
2 2

又 h(1) ? 0, h(e) ? 5 ? e ? 0 ? h(1) , 所 以 h( x)? 4 l n ? ? x x 1

的) , ?1 x ? e 最 小 值 为 (

h(e) ? 5 ? e2
? m ? 5 ? e2
考点:函数的性质,导数的求法及应用. 20. (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (a,1) 单调递减,在 (0, a ) , (1, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, a ) 单调递减, 在 (0,1) , (a, ??) 上单调递增;

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(Ⅱ) (??, ? ] 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用导数的符号确定函数的单调区间。函数含有参数,故需要分情况讨论 (Ⅱ)思路一、一般地若任意 x ? C 使得 a ? f ( x) ,则 a ? f ( x)min ;若任意 x ? C 使得

1 2

1 x2 ? 2x ( x ? 0) 恒成立,所以 a 小于等 a ? f ( x) ,则 a ? f ( x)max .由 f ( x) ? 0 得: a ? ? 2 x ? ln x 1 x2 ? 2x ( x ? 0) 的最小值. 于 g ( x) ? ? 2 x ? ln x
思路二、除 a ? 1 外, x ? 1 是 f ( x ) 的一个极值点,故可首先考虑 f (1) 这个特殊值. 由

1 1 1 f (1) ? ? ? a ? 0 得: a ? ? ,这样只需考虑 a ? ? 时 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内是否恒成 2 2 2
立.这是本题的特点,需要仔细观察、分析.若发现其特点,则运算大大简化.所以这个题有 较好的区分度. 试题解析: (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? 1)( x ? a) ? ( x ? 0) x x

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 (a,1) 单调递减,在 (0, a ) , (1, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 当 a ? 1 时, f ( x ) 在 (1, a ) 单调递减, 在 (0,1) , (a, ??) 上单调递增.

1 x2 ? 2 x (Ⅱ)法一、由 f ( x) ? 0 得: a ? ? 2 x ? ln x
令 g ( x) ?

x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 1 ? 2ln x) ,则 g ?( x) ? x ? ln x ( x ? ln x)2
x?2 ? h( x) ? h(2) ? 3 ? 2 ln 2 ? 0 即 x ? 1 ? 2 ln x ? 0 x

令 h( x) ? x ? 1 ? 2ln x ,则 h?( x) ? 所以由 g ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 1 ? 2ln x) ? 0得 x ?1 ( x ? ln x) 2

所以 g ( x) 在 (0,1) 内单调递减,在 (1, ??) 内单调递增.所以 g ( x) ? g (1) ? ?1 从而 a ? ?

1 2
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法二、由 f (1) ? ? 又a ? ?

1 1 ? a ? 0 得: a ? ? 2 2

1 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递增 2

所以即: f ( x) ? f (1) ? 0 所以若 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 内恒成立,实数 a 的取值范围为 (??, ? ] . 考点:本题考查函数的导数、导数的应用及不等关系. 21. (Ⅰ) k ?

1 2

2 2 2 ;(Ⅱ) d ? ;(Ⅲ)详见解析 2 3

【解析】 试题分析: (Ⅰ)求出点 M 、 N 的中点坐标,再用斜率公式可求得 k 的值; (Ⅱ)求出直线 AB 的方程,再用点到直线的距离公式可求得点 P 到直线 AB 的距离;

? x12 y12 ?1 ? ? ?4 2 (Ⅲ)思路一:圆锥曲线题型的一个基本处理方法是设而不求,其核心是利用 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 ?4 2 ?
----(*).要证明 PA ? PB ,只需证明它们的斜率之积为-1. 但直接求它们的积,不好用(*) 式,此时需要考虑转化. 思路二: 设 P( x1 , y1 ) ,然后用 x1 , y1 表示出 B( x2 , y2 ) 的坐标.这种方法要注意直线 AC 的方 程应设为: x ?

2 y ? x1 ,若用点斜式,则运算量大为增加. k

此类题极易在运算上出错,需倍加小心. 试题解析: (Ⅰ)由题设知: a ? 2, b ? 2 ,所以线段 MN 的中点为 ( ?1, ?

2 ), 2

由于直线 PA 平分线段 MN ,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,

2 2 ? 2 所以 k ? ?1 2 ?
( Ⅱ ) 将 直 线 PA 的 方 程 y ? 2 x 代 入 椭 圆 方 程

x2 y 2 2 ? ?1 得 : x ? ? , 因 此 3 4 2

2 4 2 4 , )A ?( ? , , ) 3 3 3 3 2 2 于是 C ( , 0) ,由此得直线 AC 的方程为: x ? y ? ? 0 3 3 P(

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2 4 2 ? ? 3 3 3 2 2 ? 所以点 P 到直线 AC 即 AB 的距离 d ? 3 1?1
(Ⅲ)法一:设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 , ? y1 ), C( x1 ,0) 由题意得: k ?

y1 x1

设直线 PB, AB 的斜率分别为 k1 , k2 ,因为 C 在直线 AB 上,所以 k2 ? 从而 k ? 2k2 ,所以:

0 ? (? y1 ) y k ? 1 ? x1 ? (? x1 ) 2 x1 2

2 2 y2 ? y1 y2 ? y1 2 y2 ? 2 y12 4 ? x2 ? 4 ? x12 kk1 ? 1 ? 2k1k2 ? 1 ? 2 ? ?1 ? 2 2 ?1 ? ? 1 ? ?1 ? 1 ? 0 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

法二: k AC ?

0 ? (? y1 ) y k ? 1 ? x1 ? (? x1 ) 2 x1 2
2 y ? x1 代入椭圆方程 x2 ? 2 y 2 ? 4 得: k

所以直线 AC 的方程为: x ?

(

2y ? x1 ) 2 ? 2 y 2 ? 4 ? (4 ? 2k 2 ) y 2 ? 4kx1 y ? x12 ? 4 ? 0 k

由韦达定理得: ? y1 ? y2 ? ?

4kx1 4kx1 4kx1 k 3 x1 ? y2 ? ? ? y1 ? ? ? kx1 ? 4 ? 2k 2 4 ? 2k 2 4 ? 2k 2 2 ? k2

2k 2 x1 3k 2 x1 ? 2 x1 2 k 3 x1 ? x1 ? ? x1 ? 所以 x2 ? ? k 2 ? k2 2 ? k2 2 ? k2

kPB

k 3 x1 kx1 ? y ?y 2 ? k 2 ? 2k ? ? 1 , k k ? ?1 所以 PA ? PB ? 1 2? PB 3k 2 x1 ? 2 x1 ?2k 2 x1 ? x2 k x1 ? 2 ? k2

考点:本题考查椭圆的方程、直线的方程,中点坐标公式,点到直线的距离,两直线垂直的 判定;考查韦达定理.

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