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2005年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷


2005 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高 二 试 题
命题人: 薛祖坚
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、动点 P 在抛物线 y 2 ? ?6x 上运动,定点 A(0,1) ,线段 PA 中点的轨迹方程是( A、 (2 y ? 1)2 ? ?12 x B、 (2 y ? 1)2 ? 12 x C、 (2 y ?1)2 ? ?12 x D、 (2

y ?1)2 ? 12 x ?y ? 0 y ?1 ? ,? ? 2、实数 x 、 y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则有( ) x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A、 ? 1 ? ? ? C、 ? ? ? ).

1 3

B、 ?

1 2 ??? ? ??? ? 3、直线 y ? x ? m 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,且 OA ? OB ? 0 ,则 m 的
值等于( A、1 ) B、-1 C、2 D、-2 )

1 1 ?? ? 2 3 1 D、 ? ? ? ? 1 2

4、在圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? 2 的切线中,在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有( A、4 条 B、5 条 C、6 条 )对称. D、 (?1,1) D、8 条

5、方程 ( x ? 1)( y ? 1) ? 1( x ? 0) 表示的曲线关于( A、 y ? x B、 y ? x ? 2

C、 y ? ? x

6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。那么满足不等式

(| x | ?1)2 ? (| y | ?1)2 ? 2 的整点 ( x, y ) 的个数为(
A、16 B、17 C、18

)个. D、25

7、已知 f ( x) ? ( x ? 2005)( x ? 2006) 的图象与 x 轴、 y 轴有 3 个不同的交点,有一个圆恰好经过 这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( A、 (0,1) B、 (0, 2) C、 (0, ) D、 (0,

2005 ) 2006


2006 ) 2005

8、设 x, y, z 都是正数,则

xy ? 2 yz 的最大值为( x ? y2 ? z2
2

A、1

B、2

C、

5 2

D、

2 5 5

1

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)
9、不论 a , b 为何值,直线 ax ? by ? a ? b ? 0 过定点______________________. 10、若函数 f ( x ) 满足 f ( a ? b) ? f ( a) f (b),且 f (1) ? 1 ,则 于__________________. 11 、 若 P 是 双 曲 线

f (2) f (3) f (2005) 的值等 ? ?? ? f (1) f (2) f (2004)

x2 ? y 2 ? 1 的 右 支 上 的 动 点 , F 是 双 曲 线 的 右 焦 点 , 已 知 A(3,1) , 则 3

| PA | ? | PF |的最小值是_____________________________.
12、正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ?

1 1 (an ? ) ,则该数列的通项公式 an =__________ 2 an

13、方程 cos

2

x2 ? x ? 2 x ?1 ? 2? ( x ?1) ? 0 的解为____________________. 2

14 、如果关于 x 的不等式 | x ? a |?| x | ? | x ? 1| 的解集为一切实数,那么实数 a 的取值范围是 _____________________

答题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1 2 3 4 5 6 7 8

9、_________________ 10、__________________ 11、____________________

12、________________ 13、__________________ 14、____________________

2

三、解答题(每小题 10 分,共 30 分)
15 、已知过点 A(1, 1) 且斜率为 ?m(m ? 0) 的直线 l 与 x, y 轴分别交于点 P, Q ,过 P, Q 作直线

2 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 R, S . 求四边形 PRSQ 面积的最小值。

16、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 在此椭圆上是否存在点 M , 使 | MF 1| a 2 b2

是 M 到左准线的距离 d 与 | MF2 | 的等比中项?若点 M 存在,求出离心率 e 的取值范围;若 点 M 不存在,也求出离心率 e 的取值范围。

3

17、设 a0 ? 5, an ? an ?1 ?

1 , n ? 1, 2,3,? an?1

求证: 45 ? a1000 ? 45.1

4

2 2 17、给定正整数 n 和正数 M ,对于满足条件 a1 ? an ?1 ? M 的所有等差数列 a1 , a2 ,?, an . 试求

S ? an?1 ? an?2 ? ?? a2n?1 的最大值。
17、解: S ?

a ?a n ?1 n ?1 n ?1 (an ?1 ? a2 n ?1 ) ? (an ?1 ? an ?1 ? nd ) ? (2an ?1 ? n ? n ?1 1 ) 2 2 2 n n ?1 ? (3an ?1 ? a1 ) 2
2

令 a1 ? r cos ? , an ?1 ? r sin ? (r ? M )

?S ?

n ?1 n ?1 n ?1 (3r sin ? ? r cos ? ) ? ? r (3sin ? ? cos ? ) ? ? r 10 sin(? ? ? ) 2 2 2 n ?1 1 ? 10M (其中 tan ? ? ? ) 2 3 ? 1 n ?1 ?? ? ? arctan 时,S 的最大值为 10 M 2 3 2
5

2005 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案
一、选择题 1 C 二、填空题 9、 (1, ?1) 三、解答题 10、 2004 11、 26 ? 2 3 12、 n ? n ? 1 13、 x ? 0 14、 ?1 ? a ? 0 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 A 8 C

1 , 0) , Q(0,1 ? m) ----------------1分 m m ?1 ? 0 和 x ? 2 y ? 2(m ? 1) ? 0 --------2 分 从而可得直线 PR 和 QS 的方程分别为 x ? 2 y ? m 1 1 | 2m ? 2 ? 1 ? | 3 ? 2m ? m ? m, 又 PR || QS ,? | RS |? 5 5 2 2? m ,| QS |? m ? 1 。-----------------------------------------------------------------------5 分 又 | PR |? 5 5
15、解:设 l 方程为 y ? 1 ? ?m( x ? 1) ,则 P (1 ? 所以四边形 PRSQ 的面积为:

2 1 2? 3 ? 2m ? 1 m ? 1 m? m = 1 (m ? 1 ? 9 ) 2 ? 1 -------------------------------8 分 S PRSQ ? ( )? 2 5 m 4 80 5 5 5 1 9 1 18 ? (2 ? ) 2 ? ? 。 5 4 80 5 18 所以四边形 PRSQ 面积的最小值为 --------------------------------------------------------------10 分 5 | MF1 | ? e ,即 | MF1 |? de ,--------------------------1 分 16、解:设椭圆的离心率为 e ,则 d 又 | MF 1 | ? | MF2 |? 2a ,所以 | MF2 |? 2a ? de ,---------------------------------------3 分 2a 2 2 2 d? 2 由题意可得 | MF ,------5 分 1 | ? d | MF 2 | ,所以 d e ? d (2a ? de) ,故 e ?e 由 d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离,即 ? 2a a2 ? ?a ? a2 a2 ? e2 ? e c ?a ? d ? ?a? ? ? 2 ? 1 ? e ? 1 -----------------------------9 分 2 c c ? 2a ? a ? a ? ? e2 ? e c
故当 2 ?1 ? e ? 1 时,符合条件的点 M 存在, 当0 ? e ?

2 ? 1 时,点 M 不存在。----------------------------------------------------------10 分

6

17、证明:? an ? an ?1 ?
2 2

1 ? 2, n ? 1, 2,?,1000. ---------------------------2 分 2 an ?1

2 ? a1000 ? 52 ? (

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2 ?1000 ? 2025, 2 a0 a1 a999

? a1000 ? 45 --------------------------------------------------------------------5 分
又{

1 2 } 单调递减,且 a0 ? 25 , 2 an 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ) ? 2 ?100 ? 225, -----------------------7 分 2 a0 a1 a99

2 a100 ? 52 ? (

所以

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ?100 ? 2 ? 900 2 a0 a1 a999 a0 a100
? 1 1 ?100 ? ? 900 ? 8 25 225

2 所以 a1000 ? 2033 ,所以 a1000 ? 45.1

因此 45 ? a1000 ? 45.1 ---------------------------------------------------------10 分

7


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