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指数函数教案


北京市第三十五中学国际部教学设计
The International Department of Beijing No.35 Middle School Lesson Design 任课教师 Teacher 课题 Topic 一、 教学目标 张春利 学 科 Discipline 3.4 zeros of a function 数学 班级 Class 课型 Subject

高一 新课

1.知识和技能 理解指数函数模型的实际背景。 理解指数函数的概念和意义。 理解指数函数的单调性和特殊点。 2.过程和方法 通过引入生活实例,引发学生思考,使学生了解指数函数模型的实际背景。 通过学生探讨,教师点拨,使学生初步形成概念。 通过师生共同作图,教师动画演示,使学生理解指数函数的性质。 3.情感态度与价值观 在解决简单实际问题的过程中, 体会指数函数是一种重要的函数模型, 激发学 生学习数学的兴趣,培养学生分析、解决问题的能力和创新意识。 二、教学重点: 指数函数概念、图象、性质 三、教学难点: 指数函数性质及应用 四、教学过程 ? 引入 我们在上次课做了一个十分重要的工作,也就是当底数 a 大于零的时候, 我们把指数从一个整数推广到了全体实数。 那么这节课, 我们将学习指数函数. 1.在学习本课之前,先带大家看一小段视频: 观看视频后,引导大家思考:在细胞分裂过程中,一个细胞第一次分裂为 2

个,第二次分裂为 4 个,如果把分裂次数视为自变量 x,每次分裂后细胞个数视 为因变量 y,那么第 x 次分裂后,得到 y 个细胞,求 y 关于 x 的函数关系式。 学生:y 与 x 之间的关系式,可以表示为 y ? ?x 2.折纸问题:折的次数 x 和纸的面积 y 之间的关系(初始面积是 1) ,让大家动手 操作,并分析能折几次。 让学生自己折纸,

y?? ② 折的次数x与所得的层数y之间的关系,得出结论 ? 1 ②对折的次数x与折后面积y之间的关系. y ? ( ) x 引导学生,另一种写法 y ? x , ? 2 -x y?2 .
x

3.《庄子〃天下篇》中写道: “一尺之棰,日取其半,万世不竭。 ”请你写出截取 x 次后,木棰剩余量 y 关于 x 的函数关系式? ? 答:x 和y之间的关系. y ? ( ) x ? .
观察上述函数解析式:

? y ? ( )x ?



y ? ?x 之间的关系,并总结出指数函数的一般定义。

联系,指数都是相同的,定义域都是全体实数。正数行不行,负数行不行,取 0 行不行,指 数都是 x,定义域都是 R.,写出一般形式。对于这样的函数,我们给它起个名字,类似于一 次函数,二次函数,反比例函数。那么这节课,我们就主要研究一下指数函数的性质。

一般地,函数 y=ax(a>0 且 a≠1,x∈R)叫做指数函数。 请同学们再思考 a 应该满足什么条件? 规定 a>0 且 a≠1 的原因: (写出 a=0,a=1,a<0 三种情况,引导学生从定义域为 R 的角度考虑,是否 a 取任何值的时候都可以) (从后往前写) ① 如果 a<0,如 y=(-1)x, n 取正整数,负整数,0 都没有问题,如果 x=± 1/4 或 1/2 没有意义。 ② 如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒为 0.当 x≤0 时,ax 没有意义。 (分析该函数的

定义域) ③ 如果 a=1,为常值函数。这是个什么函数,常函数,图像特点为平行于 x

轴的一条直线。
分析完函数的概念后,做以下练习,让学生口答:

1.判断下列函数是否为指数函数?

(1)y ? x 2 (5) y ? ? x

(2)y ? 8 x
(6) y ? 52 x
2

x (3)y ? (2a ? 1) ( a ?

1 , 且a ? 1) 2

(4)y ? (?4) x (9) y ? 1x

?1

(7) y ? x x (8) y ? ?10 x

2. 已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 值. 注:在黑板上板书过程。

1 , 且a ? 1) 的图象过点 (2,9) ,求 f (0), f (1), f (?3) 的 2

那么我们在函数的朋友圈里又添加了一个新的好友,那就是指数函数,那么 对于指数函数,我们现在只知道它的样子, 研究一个函数,一般从以下几个方面:定义、图像、性质。 定义我们已经研究了,那么我们下面应该研究函数的图像,通过图像再研究 函数的性质。 现在要开始分析它的性质, 引导学生回顾函数的性质包括: 定义域、 值域、单调性、奇偶性。那么就有情我们的同学们拿出学案,开始作图吧。
x ? 在同一坐标系内作出 y ? ? 和 y ? ( ) x 的图像. ? 作图我们主要使用描点法,描点法的步骤是,列表,描点,连线。

并对点的选取给予正确的引导。 边溜达, 边拿出同学们的图像在电脑上显示, 给予点评指导。 完成后,带领学生分析两图像有何联系。并分析该联系的原因。 关于 y 轴对称。原因从指数分析。 完成后,用几何画板演示 y ? a x 当 a ? ? 和 ? ? a ? ? 时的若干图像。 x 当 ? ? a ? ? 时, y ? a 的图象,看他们具有什么公共的特征? x 当 a ? ? 时, y ? a 的图象,看他们具有什么公共的特征? x 由以上的实例,我们可以做出指数函数 y ? a 的当 a ? ? 和 ? ? a ? ? 两种情况下的图

像,并归纳出性质。

?

性质探究
a ??
y

? ? a ??
y

图像

y ? ax
1 O x 1 O

y ? ax

x

定义域 值域 重要特性 性质 渐近线 过定点 单调性 奇偶性

(?, ??) x ? 0, y ? 1;

(?, ??) x ? 0, 0 ? y ? 1;

x ? 0;0 ? y ? 1 y?0 (?,?) 在 上单增 非奇非偶

x ? 0; y ? 1 y?0 (?,?) 在 上单减 非奇非偶

利用函数性质处理以下问题: Exe: 1.利用指数函数的性质,比较下列各题中的两个值的大小 (1) 1.72.4 与 1.73.1 ; (2) 0.8?0.1 与 0.8?0.2
1 0.8 1 1.8 ( ) ( ) 与 (3) 4 2

8 7 12 (4) ( )7 与 ( ) 7 8

3

5

(5) 0.3-0.3 与 0.2-0.3 (6) 1.70.3 与 0.93.1 前两个小题,底数相同,指数不同 中间两个小题,底数不同,但可化为相同的 最后两个小题,底数不同,指数相同。 强调:借助图像分析指数函数性质,完成数值比较。 2.使用计算器计算下列各值. 1.01365 = 0.99365 = 强调,指数的计算,我们人为是不能计算的,要借助于计算器,算完后分析该式 子的意义: 1. 勿以善小而不为,你每天只做一点点,365 天后,你将收获很多。 2. 勿以恶小而为之,你每天只失误一点点,365 天后,你将失去你的全部。 数学中蕴含人生哲理。 3.思考题: x
y=c y=d
x x

y y=b

y=a

x

设 a, b, c, d 都是不等于 1 的正数, 函数 y ? a x y ? b x y ? c x y ? d x 在同一坐标系中的图像如图所示, 则 a, b, c, d 的大小关系是 (A) a ? b ? c ? d (B) a ? b ? c ? d (C) b ? a ? d ? c (D) c ? d ? a ? b ? 小结 引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法 (1)指数函数的定义 (2)指数函数的图像和性质 (3)待定系数法,特殊化方法,数形结合的思想 (4)了解指数函数的意义 (5)善于“数学地”思考现实生活中的各种问题。 ? 作业:见作业. ? 板书: 3.Example: 1. 2. 3. 4.Summary

1.Notation Exe 1.见 PPT Exe 2.板书 2.Graphs and properties

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