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空间向量在立体几何中的应用。。。


空间向量在立体几何中的应用
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的坐标;③写出向量 的坐标;④结合公式进行计算,论证;⑤转化为几何结论. 求平面法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量, AB、 CD 是 M 内的两条相交直线,则

则①α∥β 或 α 与 β 重合 ?v1∥β 且 v2∥β

? 存在实数 λ、 μ,对 β 内任一 向量 a,有 a= λv1+ μv2. ②? ? ? ? ?

?n ? v1 ?n ? v1 ? 0 ?? ?n ? v2 ?n ? v2 ? 0

求异面直线所成的角 设 l1 与 l2 是两异面直线,a、 b 分别为 l1、 l2 的方向向量, l1、 l2 所成的 角为 θ,则〈 a, b〉与 θ 相等或互补,则 cos ? ? 求直线与平面所成的角 如图, 设 l 为平面 ? 的斜线,l ? ? ? A , a 为 l 的方向向量, n 为平面 ? 的法向量, ? 为 l 与平面 ? 所成的角,则

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? n ? AB =0, n ? CD =0. 由此可以求出一个法向量 n( AB 及 CD 已知).
用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、 l2 的方向向量分别为 a、 b. (1) l1∥l2 或 l1 与 l2 重合 ? a∥b? 存在实数 t,使 a= tb. (2) l1⊥l2? a⊥b? a· b= 0. 用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n, v1、 v2 是与 α 平行的 两个不共线向量. (1)l∥α 或 l? α? 存在两个实数 λ、 μ,使 a= λv1+ μv2? a· n= 0. (2)l⊥α? a∥n ? 存在实数 t,使 a= tn.

| a ?b | . | a |?|b |

sin ? ?| cos ? a, n ?|?
求二面角

| a?n | | a |?| n |

平面 ? 与 ? 相交于直线 l,平面 ? 的法向量为 n1,平面 ? 的法向量为 n2,< n1,n2>= ? ,则二面角 ? ? l ? ? 为 ? 或 ? ? ? . 设二面角的大小为 ? , 则 | cos ? |?| cos ? |?

?a ? v1 ?a ? v1 ? 0 l ?? ? ? ?? ?a ? v2 ?a ? v2 ? 0
用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、 β 的法向量分别为 n1、 n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合 ?n1∥n2? 存在实数 t,使 n1= t n2. (2)α⊥β?n1⊥n2?n1· n2= 0. 若 v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量, n 是平面 β 的法向量.

| n1 ? n2 | . | n1 | ? | n2 |

求点到平面的距离 如图所示,已知点 B( x0 , y0 , z0 ) ,平面 ? 内一点

A( x1, y1, z1 ) ,平面 ? 的一个法向量 n,直线 AB 与平面 ? 所成的角为 ? ,

别为两平面上的任意点 . ( 2)转化为点面距或线面距求解 . 课堂典例 题型一 用向量证明平行 [例 1] 在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, M、 N 分别是 C1C、 B1C1 的中

??? ? ??? ? ? ?? n, AB ? ,则 sin? ?| cos? n ,AB ? ? | | cos ? .| 由数量积的定义知,
n AB =|n|| AB cos ? |,所以点 B 到平面 ? 的距离

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? | n ? AB | . d ?| AB | ? sin ? ?| AB | ? | cos ? |? |n|
求异面直线间的距离 如右图,若 CD 是异面直线 a, b 上的公垂线, A、B 分别是 a, b 上 的任意两点, 令向量 n⊥a, n ⊥b, 则 n//CD . 则由 AB ? AC ? CD ? DB得,

点.求证: MN∥平面 A1BD. 证明:方法 1:如图所示,以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,设 正方体的棱长为 1,则可求得 1? ?1 ? M ? ?0, 1, 2? , N ?2, 1, 1? , → A1(1,0,1) , B(1,1,0) , 于 是 MN = ?1, 0, 1?,设平面 A1BD 的法向量 2? ?2 → → 是 n = (x , y , z) .则 n· DA1 = 0 ,且 n· DB = 0 ,
? ?x+ z= 0 ∴? , ? ?x+ y= 0

??? ?

???? ??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB · n= AC · n+ CD · n+ DB · n, 所以 AB · n= CD · n, 所以 | AB · n|=| CD · n|,

??? ? ??? ? ??? ? | AB ? n | | AB ? n | 故 | CD |? ,所以,异面直线 a、 b 间的距离为 d ? . |n| |n|
求直线到平面的距离 设直线 a//平面 ? , A ? a , B ? ? , n 是平面 ? 的法向量,过 A 作

取 x= 1, 得 y=- 1, z=- 1.∴n = (1,- 1,- 1). 1 1 → , 0 , ?· 又 MN· n= ? 2 2? (1,- 1, ? - 1)= 0, → ∴MN⊥n, 又 ∵MN? 平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 1 → 1→ 1 → → → 方法 2 : ∵ MN = C1N - C1M = C1B1 - C1C = 2 2 2

???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? ? ,垂足为 C,则 AC //n. 因为 AB · n= ( AC ? CB) · n= AC · n,

??? ? ???? ??? ? ???? | AB ? n | 所以 | AB · n|=| AC |· |n |,故直线 a 到平面 ? 的距离为 d ?| AC |? |n|
求两平行平面间的距离

??? ? | AB ? n | ( 1)用公式 d ? 求, n 为两平行平面的一个法向量, A、 B 分 |n|

1→ → → (D1A1- D1D)= DA1, 2 → → ∴MN∥DA1,又 ∵MN? 平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD. 题型二 用向量证明线面垂直 [例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, E、 F 分别为棱 AB

(2)平面 ADE⊥平面 A1D1G; (3)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE. → → → 解析:以 D 为原点,DA、DC、DD1为正交基底建立空间直角坐标系 O - xyz, 则 D(0,0,0), D1(0,0,2), A(2,0,0), A1(2,0,2), E(2,2,1), F(0,0,1), G(0,1,0), B1(2,2,2), C1(0,2,2). (1)设 n1= (x1,y1,z1),n2= (x2,y2,z2)分别是平面 ADE、 → → 平面 B1C1F 的法向量,则 n1⊥DA, n1⊥AE. → ? ?2x1= 0 DA= 0 ?n1· ? ∴? , ∴? , → ?2y1+ z1= 0 ? ? AE= 0 ?n1· 取 y1= 1, z1=- 2, ∴n1= (0,1,- 2). 同理可求 n2= (0,1,- 2). ∵n1∥n2, ∴平面 ADE∥平面 B1C1F. → → → → (2)∵DA· D1G= (2,0,0)· (0,1,- 2)= 0, ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· D1G= (0,2,1)· (0,1,- 2)= 0, ∴AE⊥D1G. → → ∵DA、 AE不共线, ∴D1G⊥平面 ADE. 又 ∵D1G? 平面 A1D1G, ∴平面 ADE⊥平面 A1D1G. → → (3)由于点 M 在 AE 上,所以可设AM= λ· AE= λ· (0,2,1) 1 , ∴m = . 2 = (0,2λ, λ), → ∴M(2,2λ, λ), A1M= (0,2λ, λ- 2). 要使 A1M⊥平面 DAE,只需 A1M⊥AE, → → ∴ A 1 M· AE= (0,2λ, λ- 2)· (0,2,1)= 5λ- 2= 0, 2 2 ∴λ= .故当 AM= AE 时, A1M⊥平面 DAE. 5 5 题型四 用向量法求异面直线所成的角

和 BC 的中点,试在棱 B1B 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1. 证明:分别以 DA、 DC、DD1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直 角坐标系 D- xyz, 1 → ? M(1,1, 则 A(1,0,0), B1(1,1,1), C(0,1,0), D1(0,0,1), E? m ). ∴AC ?1 , 2 , 0 ?, = (- 1,1,0), 又 E、 F 分别为 AB、 BC 的中点, 1 1 → 1→ ? ∴EF= AC= ? ?-2, 2, 0?. 2 1 → ? → 又 ∵B 1E= ? ?0,- 2,-1?, D1M=(1,1, m- 1), ∵D1M⊥平面 FEB1, ∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. → → → → 即 D 1 M· EF= 0,且 D1M· B1E= 0. 0= 0 ?-2+2+(m-1)· ∴? 1 ?0-2+(1-m)=0 1 1

故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 题型三 用向量法证明面面垂直与面面平行 [例 3] 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 2, E、 F、 G 分别是 BB1、

DD1、 DC 的中点,求证: (1)平面 ADE∥平面 B1C1F;

[例 4]

(2010· 衡水市模考 )正四棱锥 P- ABCD 的所有棱长相等, E 为 ) D.

可得 2m= 2m2+ 1. 解得 m= 2 2 2 → ,所以 DH=? , , 1?. 2 2 2 ? ?

PC 的中点,那么异面直线 BE 与 PA 所成角的余弦值等于( A.

1 2

B.

2 2

C.

2 3

3 3

1 → → → → → → → 1 → → 解析:以AD,AB,AP为基向量,则 BE= (BP+ BC)= (AD+ AP-AB), 2 2 → → → → → 1 → → 1 → → 由条件知, |AD|= |AP|= |AB|= 1, AP· AD= , AP· AB= , AD· AB= 0, 2 2 1 1 1 1 → → 1 → → → → → + 1- ? = , ∴AP· BE= (AP· AD+ |AP|2- AP· AB)= ? 2? 2 2 2 ?2 1 → 1 → → → → → → → → → |BE|2 = (|AD|2 + |AP|2 + |AB|2 - 2AD· AB- 2AP· AB+ 2AD· AP) = (1+ 1+ 4 4 3 1- 0- 1+ 1)= , 4 1 → → 2 3 AP · BE 3 → → → ∴|BE|= ,∴cos〈 AP,BE〉= = = ,故选 D.题型五 2 → → 3 |AP|· |BE| 1× 3 2 线面角 [例 5] 如图,已知点 P 在正方体 ABCD- A′B′C′D′的对角线 BD′上,

2 2 ×0+ ×0+ 1×1 2 2 2 → → (1)因为 cos〈 DH, CC′〉= = , 2 1× 2 → → 所以〈 DH,CC′〉= 45° , 即 DP 与 CC′所成的角为 45° . → (2)平面 AA′D′D 的一个法向量是 DC= (0,1,0). 2 2 ×0+ ×1+ 1×0 2 2 1 → → 因为 cos〈 DH, DC〉= = , 2 1× 2 题型六 二面角 [例 6] (2010· 陕西理 )如图,在四棱锥 P- ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, PA⊥平面 ABCD, AP= AB= 2, BC= 2 2 , E, F 分别是 AD, PC 的中点. (1)证明: PC⊥平面 BEF. (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小. 解析: (1)如图,以 A 为坐标 原点 AB,AD,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直 角坐标系, ∵AP= AB= 2,BC= AD= 2 2,四 边形 ABCD 是矩形. ∴A, B, C, D, P 的坐标为 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2 2 , 0), D(0,2 2, 0), P(0,0, , 2), 又 E, F 分别是 AD, PC 的中点,

∠PDA= 60° . (1)求 DP 与 CC′所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. 解析: 如图, 以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D- xyz. → → 则 DA= (1,0,0),CC′= (0,0,1),连结 BD, B′D′. 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′于 H . → → → 设 DH= (m, m,1)(m>0),由已知〈 DH,DA〉= 60° , → → → → → → 由 DA· DH= |DA||DH|cos〈 DH, DA〉

∴E(0, 2, 0), F(1, 2, 1), → → → ∴PC= (2,2 2,- 2), BF= (- 1, 2 , 1)EF= (1,0,1), → → → → ∴PC· BF=- 2+ 4- 2= 0, PC· EF= 2+ 0- 2= 0, → → → → ∴PC⊥BF, PC⊥EF, ∴PC⊥BF, PC⊥EF, BF∩EF= F, ∴PC⊥平面 BEF. → (2)由 (1)知平面 BEF 的法向量 n1=PC= (2,2 2,- 2), → 平面 BAP 的法向量 n2= AD= (0,2 2 , 0), ∴n1· n 2= 8, 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ, 解法 2: (1)连接 PE, EC, 在 Rt△ PAE 和 Rt△ CDE 中, PA= AB= CD, AE=DE, ∴PE= CE,即 △ PEC 是等腰三角形, 又 F 是 PC 的中点,∴EF⊥PC, 又 BP= AP + AB = 2 2= BC, F 是 PC 的中点, ∴BF⊥PC, 又 BF∩EF= F,∴PC⊥平面 BEF. (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 ABCD 是矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面 BAP, BC⊥PB, 又由 (1)知 PC⊥平面 BEF,∴直线 PC 与 BC 的夹角即为平面 BEF 与平 面 BAP 的夹角, 在 △ PBC 中, PB= BC,∠PBC= 90° ,∴∠PCB= 45° . 所以平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45° . 题型七 异面直线间的距离 [例 7] 已知正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 1.求异面直线 DA1 与 AC
2 2

的距离. 解析: 如图建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0) 、 C(0,1,0) 、 B1(1,1,1) 、 → → → A1(1,0,1),向量AC= (- 1,1,0), DA1= (1,0,1), DA= (1,0,0). → → 设向量 n= (x, y,1),且 n⊥DA1, n⊥AC,则
?(x, y, 1)· ?x=- 1 (1, 0, 1)= 0 ? ? ? ,解得 ? , ? ? (- 1, 1, 0)= 0 ?(x, y, 1)· ?y=- 1

所以 n= (- 1,- 1,1). → |DA·n| |(1,0,0)·(-1,-1,1)| ∴ 异面直线 DA1 与 AC 的距离为 d= = = |n| |(-1,-1,1)| 3 . 3 题型八 点、线、面到平面的距离 [例 8] 如图,在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中,所有棱长

均为 1,则点 B1 到平面 ABC1 的距离为 ________. 解析: 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 C(0,0,0),A? 3 1 ?,B(0,1,0),B (0,1,1), 1 ? 2 , 2, 0?

3 1 → → → C1(0,0,1),则 C1A=? , ,- 1?, C1B1= (0,1,0), C1B= (0,1, ?2 2 ? - 1), 设平面 ABC1 的法向量为 n= (x, y,1),

→ ? n= 0 ?C1A· 则有? → ? n= 0 ?C1B· 得 n= ? 3 ?, ? 3 , 1, 1?

,解

? → n? 则 d = ? C 1 B 1· ?= ? |n | ?
答案: 21 7

1 21 = . 7 1 + 1+ 1 3


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