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4-1.4.2.1正弦、余弦函数的性质(1)--高一上学期必修四【理教案】


高一数学【理】教案

高一数学组

教学目的: 知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周 期。 德育目标: 让学生自己根据函数图像而导出周期性, 领会从特殊推广到一般的数学思想, 体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。

教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余)弦函数的图象总结规律: 自变量

x

?2? 0

?

3? 2

??
0

?

?
2

0 0

?
2
1

?
0

3? 2

2? 0

函数值

sin x

1

?1
y – 1

?1

?5?

?2?

??

?

?
2

O ?1 –

?
2

?

2?

5?

x

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言: 当 x 增加 2k? ( k ? Z ) 时, 总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函 数的周期。 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?
6

?

2? 2? ? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 3 3 6

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x ? R 是不是周期函数, k ?Z (2) 正弦函数 y ? sin x , 如果是, 周期是多少? ( 2k? ,
且k ? 0) (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么?
*

(是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2、说明:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义 域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小 的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期) 3、例题讲解 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ?

1 2

?
6

),

x? R.

解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x ,

x ? R 的值才能重复出现, ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? , 函数 y ? 3cos x ,
所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . (3)∵ 2sin( x ?

1 ? 1 ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 6 2 6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? , 函数 y ? sin 2 x ,x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . x?R 说明: (1) 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , (其中 A, ? , ? 2? 为常数,且 A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ; 1 2
(2)若 ? ? 0 ,例如:① y ? 3cos(? x) , x ? R ;② y ? sin(?2 x) , x ? R ; ③ y ? 2sin( ?

?

?

1 ? x? ), x? R. 2 6

则这三个函数的周期又是什么? 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 例 2 先化简,再求函数的周期 ① y ? sin x ? cos x ② y ? cos2 x ? 2 3 cos x sin x ? sin 2 x ③证明函数 f ( x) ?| sin x | ? | cos x | 的一个周期为 例 3 求下列三角函数的周期:

2? |? |

?
2

,并求函数的值域;

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1? y=sin(x+

? x ? ) 2? y=cos2x 3? y=3sin( + ) 2 5 3
? 而 sin(2?+z)=sinz 3
即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

解:1? 令 z= x+

f [(x+2)?+

? ? ]=f (x+ ) 3 3

2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令 z=
x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5

=3sin( 小结:形如 y=Asin(ω x+φ )

x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

∴T=4?
2?

(A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T=

?

y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 例 4 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 2? y=|sinx| 解:1? y1=sin(2x+ y2=2cos(3x-

? ? )+2cos(3x- ) 4 6
2

3? y=2 3 sinxcosx+2cos x-1
? ) 4

最小正周期 T1=?

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图

y 1 ? -? o 注意小结这两种类型的解题规律
??

2?

3?

x

3? y= 3 sin2x+cos2x 三、巩固与练习 1. y=2cos(

1

∴T=?

x ? ? ? )-3sin( x ? ) 4 4 3

2. y=-cos(3x+ 3. y=|sin(2x+ 4. y=cos

? ? )+sin(4x- ) 2 3 ? )| 6

? ? 2? sin +1-2sin 2 2 2

四、小 结:本节课学习了以下内容: 周期函数的定义,周期,最小正周期 五、课后作业:P56 练习 5、6 P58 习题 4.8

3

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补充: 1.求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+

? ? )+2cos(3x- ) 4 6

2? y=|sinx| 1? y=sin(3x+

3? y=2 3 sinxcosx+2cos2x-1 2? y=sin2x-4sinx+5 3? y=
3 ? cos x 3 ? cos x

2. 求下列函数的最值:

? )-1 4

3.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值。 六、板书设计: 课题 一、知识点 (一) (二) 例题: 1. 2.

七、课后反思: 题选 求下列函数的周期: (1) y ? sin(

?
3

?

?
2

x) ;

(2) y ? cos

(3) y ? sin x ? cos x ; 解: (1) T ?

2? |?

3x x 3x x cos ? sin sin ; 2 2 2 2 x 2 x 2 ? sin 2 ; (4) y ? cos (5) y ? cos x . 2 2

?
2

? 4 ,∴周期为 4 ; |

(2) y ? cos

3x x 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos( ? ) ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 2 2 2 2

(3) y ? cos x ? sin x ? (4) y ? sin
2

2 sin( ? x) ∴周期为 2? ; 4

?

x x ? cos 2 ? ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 1 1 1 2 (5) y ? cos x ? (1 ? cos 2 x) ? ? cos 2 x ? ,∴周期为 ? . 2 2 2


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