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课时提升作业(六十四) 选修4-4 第一节


课时提升作业(六十四)
一、选择题 1.极坐标系中,极坐标为(2, )的点到极点和极轴的距离分别为( (A)1,1 (C)2,1 (B)1,2 (D)2,2
? 6

)

2.在以 O 为极点的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程是ρ cosθ -2=0,直线 l 与 极轴相交于点 M,以 OM 为直径的圆的极坐标方程是

( (A)ρ =2cosθ (C)2ρ =cosθ (B)ρ =2sinθ (D)ρ =2+cosθ ) )

3.在极坐标系中,与圆ρ =4sinθ 相切的一条直线的方程是( (A)ρ sinθ =2 (C)ρ cosθ =4 二、填空题 (B)ρ cosθ =2 (D)ρ cosθ =-4

4.(2013·长沙模拟)在极坐标系中,点 M(4, )到曲线ρ cos(θ - )=2 上的点 的距离的最小值为________. 5.极坐标系中,ρ ≥0,过极点倾斜角为
3? 的直线的极坐标方程为________. 4

? 3

? 3

6.在极坐标中,已知圆ρ =2cosθ 与直线 4ρ cosθ +3ρ sinθ +a=0 相切,则 a=________.

三、解答题 7.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(3, (1)求圆 C 的极坐标方程.
-1-

? ),半径 r=3. 3

(2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且 OQ ? 2QP, 求动点 P 的轨迹的极 坐标方程. 8.已知极坐标方程 C1:ρ =10,C2:ρ sin(θ - )=6, (1)化 C1,C2 的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状. (2)求 C1,C2 交点间的距离. 9.已知圆 C 的极坐标方程ρ =2asin θ ,求: (1)圆 C 关于极轴对称的圆的极坐标方程. (2)圆 C 关于直线θ =
3? 对称的圆的极坐标方程. 4 ? 3

10.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ cos(θ - )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标. (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 11.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为
? x ? 3cos? ? (α 为参数). ? ? ? y ? sin?
? 3

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ),判断点 P 与直线 l 的位置关 系. (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
? 2

12.如图,在极坐标系中,已知曲线 C1:ρ =2cos θ (0≤θ ≤ ),O1(1,0), C2:ρ =4cos θ (0≤θ ≤ ),O2(2,0),射线θ =α (ρ ≥0,0<α < )与 C1,C2 分别 交于异于极点的两点 A,B.
-2-

? 2

? 2

? 4

(1)若α =

? ,求直线 BO2 的极坐标方程. 6

(2)试用α 表示图中阴影部分的面积 S.

答案解析
1.【解析】选 C.点(ρ,θ)到极点和极轴的距离分别为ρ,ρ|sinθ|,所以点(2, 点和极轴的距离分别为 2,2sin =1. 2.【解析】选 A.直线 l:ρcos θ-2=0 的直角坐标方程是 x=2,直线 l 与 x 轴相交 于点 M(2,0),以 OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即 x2-2x+y2=0, 化为极坐标方程是ρ2-2ρcos θ=0,即ρ=2cos θ. 3.【解析】选 B.方法一:圆的极坐标方程ρ=4sin θ即ρ2=4ρsin θ,所以直角坐标 方程为 x2+y2-4y=0. 选项 A,直线ρsinθ=2 的直角坐标方程为 y=2,代入圆的方程,得 x2=4,∴x=±2,不符 合题意; 选项 B,直线ρcosθ=2 的直角坐标方程为 x=2,代入圆的方程,得(y-2)2=0, ∴y=2,符合题意.同理,以后选项都不符合题意. 方法二:如图,⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ, CO⊥Ox,OA 为直径,|OA|=4,直线 l 和圆相切,
-3-

? )到极 6

? 6

l 交极轴于点 B(2,0),点 P(ρ,θ)为 l 上任意一点, 则有 cosθ=
OB OP ? 2 ,得ρcosθ=2. ?
? 3

4.【解析】点 M(4, )的直角坐标为 M(2, 2 3 ), 曲线ρcos(θ- )=2,即ρ( cosθ+ 化为普通方程为 x+ 3 y-4=0. 点 M(2, 2 3 )到此直线的距离 d=
| 2?2 3? 3 ?4| 1?
? 3 1 2

3 sinθ)=2, 2

? 3?

2

=2 即为所求.

答案:2 5.【解析】以极点 O 为端点,所求直线上点的极坐标分成两条射线,两条射线 的极坐标方程分别为θ=
3? 7? 和θ= . 4 4 3? 7? 答案:θ= 和θ= 4 4 3? 7? 3? 和θ= ,所以过极点倾斜角为 的直线的极坐标方 4 4 4

程为θ=

6.【解析】圆ρ=2cos θ即ρ2=2ρcosθ,即(x-1)2+y2=1,直线 4ρcosθ+ 3ρsinθ+a=0,即 4x+3y+a=0, 已知圆ρ=2cosθ与直线 4ρcosθ+3ρsinθ+a=0 相切, ∴圆心到直线的距离等于半径. 即
4?0?a 42 ? 32

=1,解得 a=1 或-9.

答案:1 或-9 7.【解析】(1)设 M(ρ,θ)是圆 C 上任意一点,在△OCM 中,∠COM=|θ- |,由 余弦定理,得 CM2=OM2+OC2-2OM·OC·cos ∠COM,
-4-

? 3

∴32=ρ2+32-2×3×ρcos (θ- ), 即ρ=6cos (θ- )为所求. (2)设点 Q 为(ρ1,θ1),点 P 为(ρ′,θ′),由 OQ ? 2QP ,得 OQ ? 2(OP-OQ) .
2 3 ? 2 ? ρ=6cos (θ- )得 ρ′=6cos (θ′- ), 3 3 3 ? 即ρ=9cos (θ- )为所求. 3 ? 3

? 3

∴ OQ ? OP ,∴ρ1= ρ′,θ1=θ′,代入圆方程

2 3

8.【解析】(1)由 C1:ρ=10,得ρ2=100, ∴x2+y2=100,所以 C1 为圆心在(0,0),半径等于 10 的圆. 由 C2:ρsin(θ- )=6,得ρ( sinθ∴y- 3 x=12,即 3 x-y+12=0. 所以 C2 表示直线. (2)由于圆心(0,0)到直线 3 x-y+12=0 的距离为 d=
12
? 3 1 2

3 cosθ)=6, 2

? 3?

2

? ? ?1?

=6<10,
2

所以直线 C2 被圆截得的弦长等于 2 102 ? 62 ? 16. 9.【解析】方法一:设所求圆上任意一点 M 的极坐标为(ρ,θ). (1)点 M(ρ,θ)关于极轴对称的点为 M′(ρ,-θ), 代入圆 C 的方程ρ=2asin θ, 得ρ=2asin (-θ),即ρ=-2asin θ为所求. (2)点 M(ρ,θ)关于直线θ= 得 ρ=2asin (
3? -θ),即ρ=-2acosθ为所求. 2 3? 3? 对称的点为(ρ, -θ),代入圆 C 的方程ρ=2asinθ, 4 2

方法二:由圆的极坐标方程ρ=2asinθ,得ρ2=2ρasinθ,
-5-

利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ= x 2 ? y 2 化为直角坐标方程为 x2+y2=2ay, 即 x2+(y-a)2=a2, 故圆心为(0,a),半径为|a|. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a),圆的方程为 x2+(y+a)2=a2, 即 x2+y2=-2ay,∴ρ2=-2ρasin θ, 故ρ=-2asin θ为所求. (2)由θ=
3? 3? 得 tanθ=-1,故直线θ= 的直角坐标方程为 y=-x. 4 4

圆 x2+(y-a)2=a2 关于直线 y=-x 对称的圆的方程为(-y)2+(-x-a)2=a2, 即(x+a)2+y2=a2,于是 x2+y2=-2ax. ∴ρ2=-2ρacosθ. 此圆的极坐标方程为ρ=-2acosθ. 10.【解析】(1)由ρcos(θρ( cosθ+
1 2 ? )=1,得 3

3 sinθ)=1. 2
1 2

从而 C 的直角坐标方程为 x+ 即 x+ 3 y=2.

3 y=1, 2

当θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0); 当θ= 时,ρ=
? 2 ? 2 3 2 3 ,所以 N( , ). 2 3 3

(2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为(0, 所以 P 点的直角坐标为(1,

2 3 ). 3

3 2 3 ? ),则 P 点的极坐标为( , ). 3 3 6
-6-

所以直线 OP 的极坐标方程为θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 11.【解析】(1)把极坐标系下的点 P(4,
? )化为直角坐标,得 P(0,4). 2

? 6

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0, 所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3 cos α,sin α),从而点 Q 到
| 3cos? ? sin? ? 4 | ? 直线 l 的距离为 d= 2
? 6

? 2cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2cos(? ? ) ? 2 2, 6 2

由此得,当 cos(α+ )=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 2 . 12.【解析】(1)在直线 BO2 上任取点 P(ρ,θ),由α= ,得∠BO2x= ,在△POO2 中,由正弦定理,得: ρsin( -θ)=
? 3 ? 6 ? 3

? 2 ,所以直线 BO2 的极坐标方程为 ? 2? ? sin sin( ? ?) 3 3

3.

(2)连接 O1A,易得 O1A∥O2B,得:

∠BO2O=∠AO1O=π-2α,∠AO1O2=2α, ∴S= ×2×2sin(π-2α)3 sin 2α-α. 2 1 2 1 1 ×1×1×sin(π-2α)- ×1×2α= 2 2

-7-


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