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精讲四川高考数学压轴题方法技巧归纳总结


四川高考数学压轴题 方法技巧归纳总结
付彬 编著 QQ:522597089 [草稿]

前言
本文解法皆为原创, 分析并归纳总结了若干高考难题的独到解决方法, 值得广大教师及学生 研读。题目大多取自高中数学吧,其来源于不同省市的高考题抑或高水平的模拟题。

目录
如何等比放缩证明数列不等式 一个不等式的证明

成都 2 诊 分析通项证明不等式(2) 2010 四川高考 设而不求定值问题 1 设而不求定点问题 2 设而不求定直线问题 3 设而不求取值范围问题 4 设而不求取值范围问题 5 再谈等比数列放缩捕杀数列不等式压轴题 高级篇 分析通项 构造函数证明数列不等式(1) 一个典型数列问题 二分法与数列不等式 再谈分析通项构造函数证明数列不等 加强不等式 中级篇 基本方法-作差法-判断单调性-最值 求解数列压轴题 导数压轴题 构造函数反证法:减少计算量 高中数学吧 等比放缩 圆锥曲线切线问题 1 一个不等式讲解 切线问题 1 双切线方程的运用 分离变量法--多次求导-L 'Hospital-最值问题-导数压轴题 导数绝密级题-做完绝对凶险 2013 成都二诊 21.2 一类定值问题 分离参数-多次求导-解决恒成立问题例子 再谈等比数列放缩技巧 谈一类数列不等式证明技巧 数列与函数综合问题 4 4 5 6 8 9 9 10 11 12 14 14 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 26 27 29 30

绝密级数列题 微分中值定理在高考中的应用 1 微分中值定理在高考中的应用 2 一个导数绝密级问题解答 1 一个绝密级导数解答 2 二项式和基本不等式应用 1 二项式证明不等式应用 2

31 32 32 34 36 37 38

如何等比放缩证明数列不等式

引例:bn = 2n ? 1,证明: 分析:分离常数

n=1

n X bn n 1 > ? 。 bn+1 2 3

bn bn+1
即要证明
n=1 n P bn bn+1

=

2n ? 1 1 1 1 = ? 2n+1 ? 1 2 2 2n+1 ? 1

1 >n 2 ? 3 ,只需证

n=1

n X 1

1 ?1

2 2n+1

<

1 3

构造等比数列 p n 放缩有
n X 1

1 ?1

n=1

2 2n+1

6

n=1

不妨取q = 1 2 ,则

n X

pn <

p1 1 = 1?q 3

1 1 1 p1 = ; pn = 6 3 2n
则只需证明

1 1 1 1 6 , 2n > 2; n > 1 n +1 n 22 ?1 32
这显然成立。 因此

n=1

? n n ? n n X X bn 1 1 1 n X n X1 1 n p1 n 1 = ? > ? p = ? > ? = ? n bn+1 2 2 2n+1 ? 1 2 2 3 2n 2 1 ? q 2 3
n=1 n=1 n=1

成立。 P 小结:构造等比数列证明 an < c 是非常有效的方法。通常要求 an 中含有 n 的指数。 q (0 < q < 1)的取值可以任意,当其确定后b 1也就确定了。有时候对a1开始就进行等比放缩达 不到要求,则可以考虑从第二项或第三项…开始进行等比放缩,要求保留an 前面的项。 2013.4.19【522597089】 一个不等式的证明

p n 【高中数学吧】证明:n + 1 < e n! 化为乘积形式用数列单调性证明 考虑基本不等式ln(1 + x) < x; x > 0 可得

? ln 1 +
要证明不等式 变形即证明

1 n+1

?

? ?n+1 1 1 < ;, 1+ <e n+1 n+1

p n n + 1 < e n!

?(n) =
注意到

?

n+1 e

?n

1 <1 n!
? ? ?n+1 1 1 1 = 1+ < ?e = 1 e n+1 e

?(n + 1) = ?(n)
可得

??

n+2 e

?n+1

1 (n + 1)!

!,??

n+1 e

?n

1 n!

?(n) 6 ? (1) =
即 分析通项证明不等式(1) 证明:n + 1

2 <1 e

p n + 1 < e n n! ,成立!

p < e n n!
1 ln (n!) n

分析:变形即证明

ln (n + 1) < 1 +
亦即

ln (n + 1)n < n + ln (n!)

ln nn?1 < (n ? 1) + ln (n ? 1)!

)

两式相减可考虑证明通项 ? ? (n + 1)n (n + 1)n 1 1 ln < 1 + ln n , ln < 1 , ln 1 + < n ? 1 n n n n n 因为

ln(1 + x) < x; x > 0
因此,通项显然成立。 故:n + 1

p < e n n! ,成立!
2013.4.19【522597089】

【成都 2 诊】分析通项证明不等式(2)
n P
n+1

证明: 要证明

k=1

q

1 2k

(

2k +1

)

2 > ln 2 n +1

n X

运用分析通项方法只需证

1 2n+1 p > ln n = sn 2 +1 2k (2k + 1) k=1

因为

? ? 2n+1 2n 1 p > ln n ? ln n?1 = ln 1 + n 2 +1 2 +1 2 +1 2n (2n + 1) ? ? 1 1 ,p > ln 1 + ; x > 0; x = 2n x + 1 x (x + 1) 1
? ) ln 1 + 1 x+1 ?

ln(1 + x) < x; x > 0 1 1 1 < =p <p x+1 (1 + x) (1 + x) x (x + 1) ,证毕!

2013.4.19【522597089】

2010 四川高考

已知f (x) =

1+ax 1?ax ; a

分析:注意到

? ? ? ? 1 1 + ak 2 2 a 2 0; ; f (k) = = ?1 + 2 1; k +1 2 1 ? ak 1 ? ak 2 ?1
则有
n X k=1 n X k=1

? ? n ?P ? ? 1¤ ? f ( k ) ? n? 2 0; 2 ,比较? ?与4 的大小。
k =1

0<
n P

f (k) ? n 6

2k

2 ?1

容易验证n = 1; 2有0 < 于是猜想
n P 2 2k ? 1

k =1

< 4,

构造等比数列bn 放缩证明(*)
n X k=1

k=1 n P

f (k ) ? n < 4 。
1 2k ?1

< 2(*)

k=1

X 1 b1 6 bk < =2 k 2 ?1 1?q (1)
k=1

n

不妨取q = 1 2 ,则b1 = 1,bn = 要证明式(1) ,则只需证明

? 1 ?n?1 。 2
? ?n?1 1 , 2n?1 > 1 2

1 6 n 2 ?1
这显然成立。 因此猜想成立!故

【注:本题还有其他很多方法】

? n ? ?X ? ? ? f (k ) ? n? < 4 ? ? ? 。
k=1

2013.4.19【522597089】

解:A (0; 1) ; B (0; ?1) ; P (X0; Y0) ; C (X1; Y1) ; D (X2; Y2)

9 P A : Y = K1 X + 1 > =
2 2

P 在曲线 X +Y = 1上解得 A2 B2

P B : Y = K2X ? 1 ) M > ; L1; Y = 2

?

? ? ? ? ? 1 3 2 K2 + K1 ;2 ;N ;2 ;P ; K1 K2 K2 ? K1 K2 ? K1

1 K1 K2 = ? ; O0 2
不妨设K1 < 0; K2 > 0则 ? ? 1 ? K1 ? R= 2 取等号时有
3 ? K2 ?

? ? ? ? 1 1 3 + ;2 2 K1 K2
? 1 2 ? 3 + 2K2 K2 ? p 6

?

=

1 2

?

3 1 ? K2 K1

=

>

?
圆方程

3 = 2K2 ; K2 = K2

r

3 1 =? 2 2K1

!

; O0 (0; 2) ; Rmin =

p 6

解得

X2 + (Y ? 2)2 = 6 9 X0 + ?X1 = ? (1 + ?) > ? ? ! ? ? ! > > P F1 = ?F1 C ) > = Y0 + ?Y1 = 0 ( ) ?X1 ? ?X2 = ? [21 + (? + ?)] (*) X0 + ?X2 = (1 + ?) > > ? ? ! ? ? ! > > P F2 = ?F2 D ) ; Y0 + ?Y2 = 0 9 2 X0 Y02 > > = (X + ?X ) (X ? ?X ) (Y + ?Y ) (Y ? ?Y ) + 2 =1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 A B + = 1 ? ?2 2 2 2 > A B ?2 X 1 ?2 Y12 ; + = ?2 > A2 B2
(
X0 ? ?X1 = A2 (? ? 1) (1) 9 2 X0 Y02 > > = (X + ?X ) (X ? ?X ) (Y + ?Y ) (Y ? ?Y ) + =1 0 2 0 2 0 2 0 2 A2 B2 + = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > A B ? X2 ? Y2 ; + = ?2 > A2 B2 X0 ? ?X2 = A2 (1 ? ?) ?X1 ? ?X2 = A2 [2 ? (? + ?)]

解得

(2) (**)

由(1)(2)解得 由(*) (**)有

解得

A2 [2 ? (? + ?)] = ? [2 + (? + ?)] ; A2 = 2

?+? = 6
2013.4.19【522597089】

设而不求定值问题 1

曲线方程 A2

X2

? ? ! ? ? ! ? ? ! ? ? ! 2 P F = ? F C P F = ? F D,有定值结论 §Y = 1 , , 2 1 1 2 2 B
?+?= 2 A2 + C 2 A2 ? C 2

证明:设P (X0; Y0) ; C (X1; Y1) ; D (X2; Y2) ; F1 (?C; 0) ; F2 (C; 0) ( 9 X0 + ?X1 = ?C (1 + ?) > ? ? ! ? ? ! > > P F1 = ?F1 C ) > = Y0 + ?Y1 = 0 ( ) ?X1 ? ?X2 = ?C [2 + (? + ?)] X0 + ?X2 = C (1 + ?) > > ? ? ! ? ? ! > > P F2 = ?F2 D ) ; Y0 + ?Y2 = 0 运用点在曲线上有

(1)

解得

9 2 X0 Y02 > > = (X + ?X ) (X ? ?X ) (Y + ?Y ) (Y ? ?Y ) § 2 =1 0 1 0 1 0 1 0 1 A2 B § = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > A B ? X1 ? Y1 2> § =? ; A2 B2

X0 ? ?X1 =
同理

A2 (? ? 1) C

(2)

解得

9 2 X0 Y02 > > = (X + ?X ) (X ? ?X ) (Y + ?Y ) (Y ? ?Y ) § 2 =1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 A B § = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > A B ? X2 ? Y2 > § = ?2 ; A2 B2

X0 ? ?X2 =
(2) (3)可得

A2 (1 ? ?) C

(3)

?X1 ? ?X2 =
(1) (4)可得

A2 [2 ? (? + ?)] C

(4)

A2 [2 ? (? + ?)] = ?C [2 + (? + ?)] C
解得

?+?= 2

A2 + C 2 A2 ? C 2
2013.4.20【522597089】

设而不求定点问题 2

若过点 Q(m,0) ( m 为非零常数)的直线 l 与曲线 E: A2

X2

§Y B 2 = 1相交于不同于

2

双曲线顶点的两点 M、N,且 MQ ? ? QN ( ? 为非零常数) ,问在 x 轴上是否存在定 点 G, 使 F1F2

(GM

求出所有这种定点 G 的坐标; 若不存在, GN ) ?若存在,

请说明理由. 分析:充分利用点在曲线上,设而不求

X2 Y 2 § 2 =1 A2 B M (X1 ; Y1 ) ; N (X2 ; Y2 ) ; F1 (?C; 0) ; F2 (C; 0) ; Q (m; 0) ; G (T; 0) ( X1 + ?X2 = m (1 + ?) ? ? ! ? ? ! M Q = ?QN ; (m ? X1 ; ?Y1 ) = ? (X2 ? m; Y2 ) ) Y1 + ?Y2 = 0 ? ? ! ? ? ! ? ? ? ! GM = (X1 ? T; Y1 ) ; ?GN = ? (X2 ? T; Y2 ) ; F1 F2 = (2C; 0) ? ? ! ? ? ! GM ? ?GN = (X1 ? ?X2 ? T + ?T; Y1 ? ?Y2 ) ? ? ? ! ?? ? ! ? ? !? F1 F2 ? GM ? ?GN , X1 ? ?X2 = T (1 ? ?) 9 2 X1 Y12 > > = § 2 =1 (X1 + ?X2 ) (X1 ? ?X2 ) (Y1 + ?Y2 ) (Y1 ? ?Y2 ) A2 B ) § = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > A B ? X2 ? Y2 ; § = ?2 > A2 B2 ? 2 ? mT (1 + ?) (1 ? ?) A2 A 2 ) = 1 ? ? ) T = ; G ;0 : A2 m m E:

2013.4.20【522597089】

设而不求定直线问题 3

2008 安徽设椭圆C :

x2 a2

+

y2 b2

p p = 1; (a > b > 0)过点M ( 2; 1),且左焦点为F1(? 2; 0)

x2 y2 + =1 4 2 (Ⅱ)当过点P (4; 1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A; B 时,在线段AB 上取点Q ,满足
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

?? ? ?? ? !? ?? !? !? ? !? ?? ? ?? ? ?? ? ?AP ? ? ?QB ? = ?AQ? ? ?P B ?,证明:点Q 总在某定直线上

分析:设点 A、B、Q 的坐标分别为A (X1; Y1) ; B (X2; Y2) ; Q (X; Y ),命

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ? QB 解得

?? ? ?? ? ? !? ? !? ?AP ? ?AQ? ?? ?= ? ? !? !? ?? ? = ?? ? P B QB ? ? ? ?

(

X1 ? ?X2 = 4 (1 ? ?) Y1 ? ?Y2 = 1 ? ?

;

(

X1 + ?X2 = X (1 + ?) Y1 + ?Y2 = Y (1 + ?)
(1)

(1)代入(2)有 ? ? ? ? ? ? 4X 1 ? ?2 Y 1 ? ?2 + = 1 ? ?2 ; ?2 6= 1; A2 = 4; B 2 = 2 2 2 A B 即

9 2 X1 Y12 > > = + 2 =1 2 (X1 + ?X2 ) (X1 ? ?X2 ) (Y1 + ?Y2 ) (Y1 ? ?Y2 ) A B ) + = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > A B ? X2 ? Y2 > (2) + = ?2 ; A2 B2

1 X+ Y =1 2
因此,点 Q 总在定直线上X + 1 2 Y = 1上运动。证毕! 2013.4.20【522597089】 设而不求取值范围问题 4 【16 届 05 年“希望杯” 】 点P; Q在椭圆方程 x 9 + 分析:
2

y2 4

? ? ! ? ? ! = 1上运动,定点C (0; 3),且CP + ?CQ = 0,则?的范围为?

x2 y2 + = 1; a; b > 0 a2 b2 ? ? ! ? ? ! C (0; 3) ; P (x1 ; y1 ) ; Q (x2 ; y2 ) ; CP = ?QC ( x1 + ?x2 = 0 (x1 ; y1 ? 3) = ? (?x2 ; 3 ? y2 ) ) y1 + ?y2 = 3 (1 + ?) :::::: (1) 9 2 x2 y1 > 1 > = + =1 2 2 (x1 + ?x2 ) (x1 ? ?x2 ) (y1 + ?y2 ) (y1 ? ?y2 ) a b ) + = 1 ? ?2 2 2 2 2 2 2 > a b ? x2 ? y2 ; + 2 = ?2 > a2 b 3 (1 + ?) (y1 ? ?y2 ) 1 4 = 1 ? ?2 ) y1 ? ?y2 = b2 (1 ? ?) = (1 ? ?) :::::: (2) 2 b 3 3 · ? 13 5 1 (1) (2) ) y1 = + ?; y1 2 [?2; 2] ) ? 2 ?5; ? 6 6 5
2013.4.21【522597089】 设而不求取值范围问题 5

+ 【高中数学吧】已知 F1、F2 分别是椭圆 x a2

2

y2 b2

= 1(a > b > 0)的左、右焦点,其左准线与

? ? ! ? ? ! ? ? ? ! ? ? ! ? ? ? ! x 轴相交于点 N, 并且满足F1F2 = 2NF1; jF1F2j = 2。 设 A、 B 是上半椭圆上满足N A = ?N B
1 的两点,其中? 2 [ 1 (I)求此椭圆的方程及直线 AB 的斜率的取值范围; (II)过 A、B 5 ; 3 ]。

两点分别作此椭圆的切线,两切线相交于一点 P,求证:点 P 在一条定直线上,并求点 P 的纵坐标的取值范围。
2 分析:容易求得椭圆方程为 X , 2 + Y = 1 N (?2; 0)
2

设A (X1; Y1) ; B (X2; Y2) ; P (X0; Y0),由

? ? ! ? ? ! NA = (X1 + 2; Y1 ) = ?NB = ? (X2 + 2; Y2 ) )
因为 A,B 在曲线上有

(

X1 ? ?X2 = 2 (? ? 1) Y1 ? ?Y2 = 0

(1)

解得

9 X2 > 2 > = +Y =1 (X1 + ?X2 ) (X1 ? ?X2 ) 2 ) + (Y1 + ?Y2 ) (Y1 ? ?Y2 ) = 1 ? ?2 2 2 > 2 ? X ; + ?2 Y 2 = ?2 > 2

X1 + ?X2 = ? (1 + ?)
由(1) (2)解得 2X1 = ? ? 3; Y12 = 1 ?
2 X1 2

(2)

2 ) (2Y1 )2 = 4 ? 1 2 (? ? 3) ,则

kAB

Y1 ? YN Y1 = = ; k2 = X1 ? XN X1 + 2 AB

?

2Y1 2X1 + 4

?2

=?

?2 ? 6? + 1 2(1 + ?)2

= ? (?)

? · ? ? ? ?? · ? 1 1 1 1 1 1 ? (?) = 4 > 0; ? (?) %; ? 2 ; ; ? (?) 2 ? ;? = ; 5 3 5 3 18 4 (1 + ?)3
0

(1 ? ?)

·

* kAB > 0 ) kAB

"p # 2 1 2 ; 6 2 。

由(1)我们有 ( X1 + 2 = ? (X2 + 2) X1 + 2 X2 + 2 ; = , X2 Y1 ? X1 Y2 = 2 (Y2 ? Y1 ) Y1 Y2 Y1 = ?Y2

8 9 2 (Y2 ? Y1 ) 2 (Y2 ? Y1 ) X1 X > > > < X0 = ? X Y ? X Y = ? 2 (Y ? Y ) = ?1 `P A : + Y1 Y = 1 = 2 1 1 2 2 1 2 ) P (X0 ; Y0 ) ; X2 X X ? X X ? X 1 > > 2 1 2 1 > : Y0 = `P B : + Y2 Y = 1; = = 2 X2 Y1 ? X1 Y2 2(Y2 ? Y )1 2kAB "p # " # p 2 1 1 3 2 * kAB 2 ; ) Y0 = 2 1; 6 2 2kAB 2
h p i 故点 P 在定直线x = ?1上, P 纵坐标取值范围为 1; 3 2 2 。2013.4.23【522597089】
再谈等比数列放缩捕杀数列不等式压轴题【高级篇】 【04 全国高考】已知数列fang,sn = 2an + (?1)n,求证 1 1 1 1 7 m > 4; + + + ::: + < a4 a5 a6 am 8 分析:先用待定系数法求通项fang sn = 2an + (?1)n,a1 = 1

n > 2; sn?1 = 2an?1 + (?1)n?1

则有an = sn ? sn?1 = (2an + (?1)n) ? 2an?1 + (?1)n?1

即an + 2(?1)n = 2an?1,命an + ?(?1)n = 2 an?1 + ?(?1)n?1

?

? ? n?1 2 n 2 比较系数解得? = 3 ,因此,an + 2 。 3 (?1) = a1 + 3 (?1) 2 ? ? n?2 ? (?1)n ; n > 1。因此 解得,an = 2 3 2

?

?

?

1 1 1 1 7 1 1 1 1 7 + + + ::: + < , 2 + 3 + 4 + ::: + m?2 m < a4 a5 a6 am 8 2 ?1 2 +1 2 ?1 2 ? (?1) 12
1 ;m 2m?2 ?1

1 6 稍放缩杀死交错项 2m?2 ? (?1)m

> 4为等比放缩提供条件,这是关键。

为了使不等式更加的紧, 构造等比数列 pn考虑从第三项(m = 6)进行等比放缩, 保留前两项 稍变形即证明

1 1 1 + ::: + m?2 24 ? 1 25 + 1 2 ? (?1)m 6
m X k=6

1 2k?2 ? 1

6

m=6

m X

p6 7 pk < = ? 1?q 12

?

1 1 + 22 ? 1 23 + 1

?

=

5 36

(1)

不妨取q = 1 2 ,则 p6 =

5 72 , pn

= p6

那么要证明(1)成立,则只需证明
m X k=6

? 1 ?n?6
2

=

? ? 5 1 n?3 9 2
pk = ? ? m X 5 1 k?3 9 2 m=6

1 2k?2 ? 1

6

m=6

m X

可考虑证明

? ? 5 1 k?3 6 ; , 2k?2 > 10; k > 6 2k?2 ? 1 9 2 1
这显然成立。因此(1)成立。 因此,自然有

亦即

1 1 1 1 1 + 3 + 4 + 5 ::: + m?2 ?1 2 +1 2 ?1 2 +1 2 ? (?1)m ? ? ? ? 1 1 1 1 1 6 + + + ::: + 22 ? 1 23 + 1 24 ? 1 25 ? 1 2m?2 ? 1 ? ? X ? ?k?3 m 1 1 5 1 6 + 3 + 2 2 ?1 2 +1 9 2 m=6 ? ? 1 1 p6 7 < + 3 + = 2 2 ?1 2 +1 1?q 12 22
1 1 1 1 7 + + + ::: + < ;m > 4 a4 a5 a6 am 8

证毕! 本帖为 1 楼拓展,若从第一或第二项取公比1 =2放缩是达不到要求的。关于公比的取值:若 题目中只含2n 可取q = 1=2,若同时含2n ; 3n 可取较小者q = 1=3… 2013.4.21.【522597089】

分析通项 构造函数证明数列不等式(1)
n P

【2012 四川】当0 < a < 1; f (x) = ax ,比较 分析:
k =1 n P 1 1 f (k )?f (2k ) 的通项为 f (n)?f (2n)

k =1

27 f (1)?f (n) 1 f (k )?f (2k ) 与 4 f (0)?f (1) 大小。

=

1 an ?a2n

而 f (0)?f (1) =

f (1)?f (n)

a?an s 1?a ,长的似乎像等比数求和的模样: n

=

a1 (1?qn ) 1?q

不妨取q = a; a1 = a,则

sn =

n X k=1

ak =

a ? an+1 a ? an > 1?a 1?a

上面这一步很关键,根据不等式的传递性,倘若我们能证明通项

比较大小的问题就自然解决了。下面我来考察(1)是否成立呢? (1) 变形即证明

1 27 > an an ? a2n 4

(1)

an
因为

? 1 27 27 ? 27 > an , an an ? a2n 6 1 , x2 (1 ? x) 6 1; x = an 2 (0; 1) 2 n ?a 4 4 4
27 2 x x x (1 ? x) = 27 ? ? (1 ? x) 6 27 4 2 2 ?x
2

+

x 2

+ (1 ? x) 3

?3

=1

因此(1)成立,且当仅当x 这时我们有
n X k=1

= 2 3 取等号。
n

1 27 27 X k 27 a ? an+1 27 a ? an 27 f (1) ? f (n) > sn = a = > = f (k) ? f (2k) 4 4 4 1?a 4 1?a 4 f (0) ? f (1)
k=1


n X k=1

1 27 f (1) ? f (n) > f (k) ? f (2k) 4 f (0) ? f (1)

解毕! 注:四川高考压轴题往往具有探索性,她并不直接给出不等式关系,需要我们去探索,这增 加了不少难度。 2013.4.21.【522597089】 一个典型数列问题 【07 四川】证明

证明:运用基本不等式 取x =
1 n有

? ? 1 n 2 6 1+ <3 n

ln(1 + x) < x; x > 0
? ? ? ? 1 1 1 n ln 1 + < , 1+ <e<3 n n n

运用基本不等式,证明单调性有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 n 1 n 1 1 1 1+ = 1+ ?1= 1+ 1+ ::: 1 + ?1 n n n n n ?? !n+1 ? ? ? ? ? ? ?n+1 1 1 1 1+ n + 1+ n + ::: + 1 + n +1 1 < = 1+ n+1 n+1 因此,数列

?? ? ? 1 n 1+ n 为增数列,从而

? ? ? ? 1 n 1 1 1+ > 1+ =2 n 1



证毕! 注:另外本题也可采用二项式放缩等其他方法。 一般的,如果 lim
'(n) 存在,则 ? n!1 (n)

? ? 1 n 2 6 1+ <3 n

n!1

? lim 1 +

1 ?(n)

?'(n)

' (n) = exp lim n!1 ?(n)

?

?

【例】

? ? e 1 ? ? ? 1 = t ? ln (1 + t ) = 1 ? n ln 1 + ;n ! 1 1 n n 1+ n ? ! ? ? ?? e 1 ? ? 1 = lim n 1 ? n ln 1 + lim n ? 1 n n!1 n!1 n 1+ n ? ? ? ??? 1 1 1 1 1 = lim n 1 ? n ? +o = 2 2 n!1 n 2n n 2
2013.4.21【522597089】 二分法与数列不等式 【2013广州二模】设an 是函数f (x) = x3 + n2x ? 1的零点. (1)证明:0 < an < 1
n (2)证明: n+1 < a1 + a2 + ::: + an < 3 2。

分析:由初等函数性质可知f (x)在[0; 1]上连续,又f (0) = ?1 < 0; f (1) = 1 > 0 且f 0 (x) = 3x2 + n2 > 0; x 2 [0; 1],因此,又连续函数介质定理知必存在唯一an 2 (0; 1) ; 2 使得f (an) = a3 n + n an ? 1 = 0。 要证明左边,可以用分析通项的方法证明 n sn = n+1 < a1 + a2 + ::: + an 相减即可考虑证明通项:

sn?1 =

n?1 n

< a1 + a2 + ::: + an?1

an >
注意到

1 n (n + 1)

(1)

? ? 1 1 1 an 2 (0; 1) ; ) an = 2 2 ; n + a2 n2 + 1 n2 n 1 1 1 1 = 2 < 2 < an < 2 n (n + 1) n +n n +1 n
n X k=1 n X k=1

因此, (1)成立,则有

ak >

1 n = k (k + 1) n+1

(2)

对于右边不等式, 如果直接利用an < 得太松了) ,事实上

1 从第一项或第二项….进行拆项放缩是行不通的 (放 n2 ,

这 时 我 们 对 非 线 性 方 程 f (a1) = a3 1 + a1 ? 1 = 0 运 用 二 分 法 对 a 1 进 行 估 值 , 再 结 合 1 an < n2 ; n > 1看能不能证明右边不等式。 注意到

X

an <

X 1 ?2 3 = > ;n ! 1 n2 6 2

? ? ?3? 8 1 f 2 = 27 +2 3 ? 1 = ? 27 < 0; f 4 = ?3 ? 3 因此,存在a1 2 2 3 ; 4 使得,f (a1) = 0。 故
n X

27 64

+

3 4

?1 =

11 64

>0

n n X X 1 1 1 < a + + 1 2 2 k 2 k (k ? 1) k=1 k=2 k=3 ·? ? ? ? ? ?? 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 < + + ? + ? + ::: + ? < + + = 4 4 2 3 3 4 n?1 n 4 4 2 2

ak < a1 +

(3)

由(2) (3)可知命题成立! 2013.4.23【522597089】 再谈分析通项构造函数证明数列不等 加强不等式 中级篇 【2012天津】证明:
n X k=1

分析:对于形如

P

2 ? ln (2n + 1) < 2; n 2 N ¤ 2k ? 1

an < c用数学归纳法递推(或者分析通项方法证明)是失效的,这是因

为常数c(与n 无关)在作祟无法实现递推过渡。这时我们可以考虑走极限路线对常数c 进行 加强c = cf (n),这里要求f (n)在1 附近,可以根据不等式方向确定,且f (n)通常和需证明的 表达式中的因子有着密切联系。 证明:我们考虑对常数2进行加强,结合要证明的表达式中所含n 的因子及不等式方向,不 妨加强为证明 ? ? ? n n ? X X 2 1 1 1 ? ln (2n + 1) < 2 1 ? =2 ? <2 2k ? 1 2n + 1 2k ? 1 2k + 1 (1)
k=1 k=1

那么(1)究竟成立吗?我们运用分析通项法来考察(1) n P k +1 注意到ln (2n + 1) = ln 2 2k ?1 ,因此,要证明(1)可考虑证明其通项
k =1

因为

? ? ? ? 2 2k + 1 1 1 2 2 ? ln <2 ? , ln 1 ? <? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k + 1 2k + 1 2k + 1

(2)

因此, (2)显然成立!

ln(1 ? x) < ?x; x 2 (0; 1)

现在对(2)求和自然有(1)成立,故原命题成立! 用积分的方法证明起来也简单,如下: 2 4 f (x) = ; x 2 [1; 1) ; f 0 (x) = ? < 0; f (x) & 2x ? 1 (2x ? 1)2 由几何意义有
n X k=2

f (k ) 6

Z

n

f (x) d x

1


n X k=2

2 6 2x ? 1

Z

n

1

2 d x = ln (2x ? 1) jn 1 = ln (2n ? 1) 2x ? 1


n X k=1

f (k) = 2 +

n X k=2

f (k ) < 2 + ln (2n ? 1) < 2 + ln (2n + 1)

从而
n X k=1

2 ? ln (2n + 1) < 2; n 2 N ¤ 2k ? 1

注:本题为天津高考最后一题最后一问,按这样的思路根本不需要前面问的结论。 加强之后的不等式也可以用数学归纳法证明。 n P 1 <1 再如简单的,证明 4 ,走极限路线可以加强为 (2k+1)2
k=1

n X

1 1 2 < 4 (2k + 1) k=1

? 1?

1 n+1

?

? n ? 1X 1 1 1 = ? < 4 k k+1 4
k=1

这时考虑证明通项

1 (2k+1)2

<

1 ,这个显然成立,故原不等式成立。 4k2 +4k

事实上,用 Fourier 级数或者考虑留数求级数和有
1 X k=1

1 (2k + 1)2

=

?2 ? 1 ? 0:2337 8
2013.4.24【522597089】

基本方法-作差法-判断单调性-最值 求解数列压轴题
100 P p x, 试比较f (100) h (100) ? h (k)与 1 6的 k=1

1 【2011 四川高考】 已知f (x) = 2 3 x + 2 ; h (x) =

大小关系? 分析:命:

? (n) = f (n) h (n) ?
可得? (1) = 0; ? (2) = ? 因为 ?
p 5 2?7 6

n X k=1

1 h (k ) ? = 6

?

? n p X 2 1 p 1 n+ n? k? 3 2 6
k=1

> 0,当n > 1时,可以证明 ? ? ? 2 1 p 2 1 p n+ n+1 > n+ n 3 6 3 2
? 2 1 n+ 3 2 ?

(1)

2 1 n+ 3 6

?

p n+1 >

p n , (n + 1) (4n + 1)2 > n(4n + 3)2 , 1 > 0

因此, (1)成立。 作差有

) ? (n) %; ? (n) > ? (1) = 0; n > 2; n 2 N¤


? ? ? p 2 1 p 2 1 p ? (n + 1) ? ? (n) = (n + 1) + n+1? n+ n? n+1 3 2 3 2 ? ? ? ? p 2 1 2 1 p = n+ n+1? n+ n>0 3 6 3 2
8 n X 1 > > f ( n ) h ( n ) ? h (k ) = ; n = 1 > > < 6
k=1

?

自然有

n X > 1 > > > h (k ) > ; n > 2 : f (n) h (n) ? 6 k=1

f (100) h (100) ?

100 X k=1

h (k) >

1 6。

【数学吧】已知a1 = 1; an+1

2013.4.24【522597089】 ? ? ? ? 1 1 = 1 + 2n an + n2 ,求证:an < exp 11 4 。

证明:

? 1 1 a1 = 1; an+1 = 1 + n an + 2 ) an > 1; n > 2 2 n ? ? ? ? 1 1 1 1 ) an+1 < 1 + n an + 2 an = an 1 + n + 2 2 n 2 n ? ? an+1 1 1 1 1 ln < ln 1 + n + 2 < n + 2 ; [ln (1 + x) < x; x > 0] an 2 n 2 n ? ? n ? 1 n ? 1 X 1 an X ak+1 1 ln = ln < + 2 k a1 ak 2 k k=1 k=1 ? ? ?? ? ·? ? ? ? ? ??? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? 2n?1 < + 1+ 2 + ? + ? + ::: + ? 2 2 3 3 4 n?2 n?1 1? 1 2 ? ? 1 1 11 11 <1+1+ 2 + = ) an < exp 2 2 4 4
2013.4.24【522597089】 导数压轴题 构造函数反证法:减少计算量

?

【高中数学吧】 已知函数f (x) =

ln x 的图像为曲线 x

ax + b 的图像为直线 L, C,函数g (x) = 1 2

设 L 与 C 的交点横坐标分别为x1 ; x2 ; (x1 6= x2 )求证:(x1 + x2 ) g (x1 + x2 ) > 2 。 证明:不妨设0 < x2 < x1,并假设 · ? 1 (x1 + x2 ) g (x1 + x2) 6 2 , (x1 + x2 ) a (x1 + x2) + b 6 2 2 (1) 由题有 9 1 > · ? ln x1 = ax2 + bx 1= x1 1 2 1 ) ln = (x1 ? x2 ) a (x1 + x2 ) + b 1 2 > x2 2 ; ln x2 = ax2 + bx2 2 则(1)等价于

x1 + x2 x1 ln 62, x1 ? x2 x2

, ? (t) = (t + 1) ln t ? 2 (t ? 1) 6 0; t > 1

x1 x2 x1 x2

+1 ?1

ln

x1 t+1 62, ln t 6 2 x2 t?1

(2)

?0 (t) = ln t +

1 1 1 ? 1; ?00 (t) = ? 2 > 0; ?0 (t) %; ?0 (t) > ?0 (1) = 0; ? (t) % t t t

? (t) > ? (1) = 0
显然(2) (3)矛盾,故假设不成立! 从而,原命题成立即

(3)

(x1 + x2 ) g (x1 + x2 ) > 2
证毕! 2013.4.24【522597089】

高中数学吧 等比放缩
n X k=1

show : Note

1 3k + (?2)
k

<

7 6 ? ?n?1 3 7 > ;n > 3 2 4

1 1 7 1 6 k ; 8n > 1; k < , k k k k 3 ?2 3 ?2 13 3n?1 3 + (?2) Hence n X 1
n

1

X X 7 1 1 1 1 1 1 6 + + < + + 3 ? 2 32 + (?2)2 3k ? 2k 3 ? 2 32 + (?2)2 13 3n?1 k=3 k=3 <
7 1 1 1 7 13 ? 32 + + = 2 1 2 3 ? 2 3 + (?2) 6 1? 3

X 1 1 1 = + + 2 k k 2 k k 3 ? 2 3 + (?2) k=1 3 + (?2) k=3 3 + (?2)
n

n

2013.4.25[522597089]

lim n sin (2? e n!) · ? ? ? 1 1 1 1 = lim n sin 2? 1 + 1 + + + ::: + + + ::: n! n!1 2! 3! n! (n + 1)! · ? ? ?? ? 1 1 = lim n sin 2? +o n! n!1 (n + 1)! (n + 1)! · ? ?? 1 1 = lim n ? 2? +o n! n!1 (n + 1)! (n + 1)!
n!1

= 2?

圆锥曲线切线问题 1 设M (x0 ; y0 )为曲线方程:? (x; y) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0上的点, 过曲线外一点T (s; t)向曲线做切线,切点分别为P (x1 ; y1 ); Q(x2 ; y2 )求过M 点切线 方程、切点弦PQ方程及双切线方程? 分析:先求曲线任意一点法向量,求导有 ? 0 x = 2ax + by + d; ? 0 y = by + 2cy + e ? 0 ? 则~ n = ? x; ?0y = (2ax + by + d; by + 2cy + e)

? ? ! ! nM ,即 设N (x; y)为过M 切线上任意一点,则M N ??

(x ? x0; y ? y0) (2ax0 + by0 + d; by0 + 2cy0 + e) = 0 M ( x ; y ) 又 0 0 在曲线上有
2 ax2 0 + bx0 y0 + cy0 + dx0 + ey0 + f = 0 由(1) (2)解得过M 点切线方程为 x0 y + y0 x x + x0 y + y0 ax0 x + b + cy0 y + d +e +f =0 2 2 2 类似的,还可以证明以 M 为中点,弦 AB 方程(A,B 在曲线上)

(1) (2)

(3)

x0 y + y0 x x + x0 y + y0 + cy0 y + d +e + f = ? (x0 ; y0 ) 2 2 2 事实上,当? (x0; y0) ! 0割线方程就变为切线方程。 因此 9 x1 y + y1 x x + x1 y + y1 = `P N : ax1x + b + cy1 y + d +e + f = 0> 2 2 2 x2 y + y2x x + x2 y + y2 > `QN : ax2 x + b + cy2 y + d +e + f = 0; 2 2 2 ax0 x + b

(4)

T (s; t)在 `P N ,`QN 上

可知切点弦PQ方程

9 x1 t + y1 s s + x1 t + y1 = + cy1 t + d +e + f = 0> 2 2 2 x2 t + y2 s s + x2 t + y2 > ax2 s + b + cy2 t + d +e + f = 0; 2 2 2 ax1 s + b

asx + b

sy + tx x+s y+t + cty + d +e +f = 0 2 2 2

(5)

它与曲线上的切线方程形式一样。 设曲线外一点T (s; t),由曲线簇的概念知P T; QT 双切线方程也可表示为

ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f ? ?2 sy + tx x+s y+t +? asx + b + cty + d +e +f =0 2 2 2

(6)

T (s; t)代入可确定?。
注:以上几个方程非常有用!后面将举例说明讨论。 2013.4.25【522597089】 一个不等式讲解

n X 1 1 n 【高中数学吧】证明: 。 > ln (n + 1) + k 2n+1 k=1

作差法 考虑证明其通项成立(必要不充分)

n n X X 1 1 n 1 1 n > ln (n + 1) + , s (n) = ? ln (n + 1) ? >0 k 2n+1 k 2n+1 k=1 k=1 ? ? 1 n+1 1 n n?1 ? (n) = s (n) ? s (n ? 1) = ? ln ? ? n n 2 n+1 n ? ? ? ? · ? ??? ?? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + ? ln 1 + = ? 1+ ? ln 1 + 2 n n+1 n 2 n n n n ? ? 2 1 t t ? (t) = t+ ? ln (1 + t) ; t 2 (0; 1) ; ? 0 (t) = >0 2 1+t 2(1 + t)2 n X ? (t) %; ? (t) > ? (0) = 0; ) ? (n) > 0; ) ? (k ) > 0 k=1

)

用定积分 注意到

n X k=1

1 1 n > ln (n + 1) + k 2n+1

1 n 1X = 2n+1 2
k=1

n

?

1 1 ? k k+1

? ?

则原命题可等价为
n X 1 k=1

1 n 1X > ln (n + 1) + , k 2n+1 2
k=1

n

?

1 1 + k k+1

> ln (n + 1)

1 考虑到f (x) = x 为[1; +1)上的凹函数,由几何意义有 Z n+1 n X f (k) + f (k + 1) > f (x) d x 2 1
k=1



1X 2
k=1

n

?

1 1 + k k+1

?

>

Z

n+1

1

1 d x = ln (n + 1) x

因此,原命题成立! 2013.4.25【522597089】 切线问题 1 双切线方程的运用 P 为抛物线y2 = 2x上的动点,点 B,C 在 y 轴上圆(x ? 1)2 + y2 = 1内切于三角形 PBC,求三角形 PBC 最小值。 分析:不妨设yB > yC P 为抛物线y2 = 2x上的点可设为P (2s2; 2s)。 圆方程可写为x2 ? 2x + y 2 = 0,则切点弦方程可写为

2s2x ? (x + 2s2) + 2sy = 0,双切线方程可写为

? ? ? ¤2 x2 ? 2x + y 2 + ? 2s2 x ? x + 2s2 + 2sy = 0

(1)

P (2s2; 2s)代入解得
?=? 1 4s4

?代入(1)并令x = 0,得
s s ; yC = ;s > 1 1+s 1?s ? ? 1 1 s s sMP BC = (yB ? yC ) xP = ? ? 2s2 2 2 1+s 1?s · ? ? 2 ? 2s4 1 = 2 =2 s ?1 + 2 +2 >8 s ?1 s ?1 yB =

当仅当s =

p 2取等号。

因此,三角形 PBC 最小值为8 。 分离变量法--多次求导-L 'Hospital-最值问题-导数压轴题 引例 2012 湖北八校联考第三问题
x (1) 证明:ln (1 + x) < p1+ ; x > 0。 x

(2) 若f (x) = ln(1 + x) ?
x + (3) 若 1+ bx 1 ex

ax ;x a+x

> 0为增函数,求a范围。

> 1; x > 0恒成立,求b的最大值。

分析: (1)利用导数证明不等式,先杀死根号减小求导时的困难。 p x ln (1 + x) < p , 1 + x ln (1 + x) < (x + 1) ? 1; x > 0 1+x 因为

, 2t lnt < t2 ? 1 , ? (t) = 2t lnt ?t2 + 1 < 0; t > 1
? 0 (t) = 2 (ln t ? t + 1) < 0; ? (t) &; ? (t) < ? (1) = 0

因此,原命题成立。 (2)

(x + 1) (x + a)2 故要使f (x)为(0; 1)上的增函数,只需a2 ? 2a 6 0,解得a 2 [0; 2]。 (3)分离参数b ,有 ex 1 b6 x ? = ? (x) ; x > 0恒成立。 e ?1 x 只需 b 6 min ? (x) ; x > 0 e2x ? ex x2 ? 2ex + 1 ' (x ) ? 0 (x) = = 2 2 x 2 x (e ? 1) x (ex ? 1)2 ? ? '0 (x) = 2e2x ? ex x2 ? 2xex ? 2ex = ex 2ex ? x2 ? 2x ? 2 = ex ? (x) ? 0 (x) = 2ex ? 2x ? 2 = 2 (ex ? x ? 1) > 0 则

f 0 (x) =

? ? ?¤ x x ? a2 ? 2a

?0 (x) > 0; ? (x) %; ? (x) > ? (0) ? x ? e 1 xex ? ex + 1 xex ? ex + 1 0 min ? (x) = lim ? = lim = lim ; ; L'Hospital x!0 ex ? 1 x!0 (ex ? 1) x x!0 x x2 0 xex ex 1 = lim = lim = x!0 2x x!0 2 2 故 1 ? (x) > ? (0) = ; x > 0 2
1 因此,b 6 1 2 ,求b 的最大值为 2 。

? (x) %; ? (x) > ? (0) = 0; '0 (x) > 0; ' (x) %; ' (x) > ' (0) = 0

小结: 分离参数法求最值时有个好处就是可以免去在求导时对参数的分类讨论, 但常常可能 会用到 L 'Hospital 法则。并可能会用到多次求导,在求导时是有技巧的,通常在求了一阶导 数后, 会发现其分母常常是大于零的, 但分子符号不知晓, 这时我们考虑令分子为一个函数, 并运用导数判断它的符号,如果还不能判断它的符号,再重复上面的步骤,直到能判断一阶 导数符号为止(如上题描述) 。这种方法可避免求原函数二阶或者三阶导数所带来繁琐,因 为有时候函数很复杂。 另 外 , 在 用 L 'Hospital 法 则 求

(1 ? 1; 0 ? 0)等,首先可考虑通分,并运用如下等价无穷小替换乘积因子。 e?x ? ?x ? 1; ln (1 + ?x) ? x; sin ?x ? ?x; x ! 0 h i 1 1 比如求 lim ln(1+ ,这样用等价无穷小替换是错误的 ? x) x
x!0 x!0

?1

? 0 极限时,分子分母同时求导。对于未定型如 ; 1 0

lim

因为它不是替换的乘积因子。因该先通分如下 · ? 1 1 x ? ln (1 + x) x ? ln (1 + x) 0 lim ? = lim = lim ; ; L'Hospital x!0 ln (1 + x) x!0 x ln (1 + x) x!0 x x2 0 分子分母求导代值结果为 1 。 2
x + 如果第三问改为 1+ bx 1 ex

h

1 ln(1+x)

i ?1 1? 1 ?x = lim x ?x =0
x!0

> 1; x > 0,其结果也一样,想想为什么?
2013.4.26【522597089】

导数绝密级题-做完绝对凶险

1、函数f (x) = loga (1)设函数g(x) =

(x+1)

(a > 0; a 6= 1)

f (x) x ,判断g(x)的单调性;

1 (2)证明对于任意m; n 2 N ¤都有 1 + m + n

?

?m

< (1 + m)m+ n成立;

1

(3)设k1 =

? 1? 1 2、函数f (x) = x ln x ? ax; (a 2 R),设函数g(x) = f x 7 x? 7 + a ?

f (x1)?f (x2) ; k2 x1?x2

= f0

? x1+x2 ?
2

比较并证明k 1和k 2的大小.
x?1 3x+4

(1)求函数g(x)的单调区间和极值; (2)方程f (x) ? b = 0有两个不同的实数根x1 ; x2, 求b 的取值范围并证明: x1 + x2 > 2ea?1; n ? ? P 1 f 1+ k (3)当a = 1时试比较n + 7n4 和ln 4 ? 2 +5 + 3 的大小.
k=1

3、函数f (x) (a; b; c 2 R) (1)已知a = 0,c = ?2b,求函数g(x) = f (x)e?x的极值; (2)在曲线y = f (x)上任取两点A(x1; f (x1)); B(x2; f (x2))曲线上都存在平行于AB 的切 2 线l ,直线l 方程为: y = (x1 + x2 + 1)x ? 1 4 (x1 + x2) + 1,若对于任意m 2 z 都有不等式 ? ?t+f (m) 恒成立求实数 t 的取值范围; e > 1 + f (1 m) (3)已知a; b; c 均大于零且b2 ? 4ac 6 a2, 证明任意n 2 N ¤都有不等式 4、函数fn(x) (1)求fn(x)的单调区间和极值;
k=1 2 1 2 3 2 n n = n ? x + (nx ? x )Cn + (nx ? x )Cn + ? ? ? + (nx ? xn+1)Cn
1 (1+x1 )10

= ax2 + bx + c,

n P

1 f (k)

<

2 a+b 成立.

(2)正项数列fxmg的前10项和为90, 证明: 设函数 gn(x) =
fn+1(x) fn(x) ,证明对任意 n

+

1 (1+x2 )10

+??? +
n+1 2n

1 (1+x10 )10

1 9 > ( 10 );

2 N ¤都有

k=1

5、函数f (x) = a ln x + bx2 + cx + d,曲线y = f (x)在x = 1处的切线为y = 0,在x = 2处 的切线方程为3x ? 2y + ln 4 ? 6 = 0. (1)求f (x)的单调区间和极值; (2)若f (sin ?) = f (cos ?)且sin ? 6= cos ? ,证明:cos2? + cos2? < 2 cos ?; i n h P +2 k f(k ) + f ( ) <2 (3)证明:对任意n 2 N ¤都有不等式 k+1 k+1 3.
k=1

n P

gn (1 ? k ) <

?

n(n?1) 2

+ ln 2n+1。

2013.4.26【522597089】

2013 成都二诊 21.2

已知g (x) = x +

1 ? ln2 x; x > 0,求g(x)最小值。 x 1 ? ln2 x; x > 0 x

分析: g (x) = x +

g0 (x) = 1 ?

1 2 ln x x2 ? 2x ln x ? 1 ' (x) ? = = ;x > 0 x2 x x2 x2

'0 (x) = 2 (x ? 1 ? ln x) > 0; ' (x) %; ' (1) = 0 8 < x 2 (0; 1) ; ' (x) < 0; g 0 (x) < 0; g (x) & ) ) min g (x) = g (1) = 2 : x 2 (1; 1) ; ' (x) > 0; g 0 (x) > 0; g (x) %

' (x) = x2 ? 2x ln x ? 1

可见这里不易求g00 (x)。标准答案不易懂。

一类定值问题

2 椭圆 C 为 x 若过点 A (1,0) 的直线 L(非 X 轴) 与椭圆 C 相交于两个不同点 4 +y = 1

2

P、Q 试问在 X 轴上是否存在定点 E(m,0)使PE ? QE为定值 β,若存在求出点 E 的坐标及实数 β 的值,若不存在,请说明理由。 比如证明

? ? ! ? ? !

1 n+1 1 < ln < n+1 n n
在[n; n + 1]对f (x) = ln x运用拉格朗日中值定理有

f (n + 1) ? f (n) = f 0 (?) [(n + 1) ? n] = 1 ? ; ? 2 (n; n + 1)


n+1 1 ln = = n ?


?

1 1 ; n+1 n

?

1 n+1 1 < ln < n+1 n n
分离参数-多次求导-解决恒成立问题例子

对 n

N 恒有(1

1 2n ) n

a

e 2成立, 求a的最大值. 1 2n ) n

解:对 n

N 恒有(1

a

e 2, 两边取对数有对 n 1 ) n

N 恒有

(2n

a )ln(1

2

分离参数即a ln(1
1 ln(1 x )

2 1 ) n

2n, 对 n

N 恒成立, 取

1 n

x

(0,1]

即a

2[

1 ], 对 x x 记h(x )

(0,1]恒成立只需a 1 ln(1 x ) 1 ,x x

min 2[

1 ln(1 x )

1 ], x x

(0,1]

(0,1]

h (x )

(1

x )ln2 (1 x ) [x ln(1 x )]2
2 ln(1 x)

x2

g(x ) ,x [x ln(1 x )]2
2 x

(0,1]

g (x )

ln2 (1

x)

2x, g (x )

ln(1 x ) 1 x

0, g (x )

g (x )

g (0)

0, g(x )

, g(x )

g(0)

0, h (x )

0, h(x )

故 min h(x ) 2 ln 2

h(1)

1 ln 2

1, x

(0,1] 1 2n ) n 2 ln 2

a

min 2h(x )有, a

2, 故对 n

N 恒有(1 2 ln 2

a

e 2, 只需a

2

此时,a的最大值为

2.
2013.4.26.【522597089】

再谈等比数列放缩技巧 如何证明形如
n c1 + ?1 q1 6 n X k=1 n ak 6 c2 + ?2 q2

只要转换为形如C1 6 因为
n X k=1 k q1 ;2

k=1

n P

Ak 6 C2就解决了,可按照如下思路实现。

? ? n n q1;2 1 ? q1 1 ? q1;2 X k ;2 n = ; ) q1;2 = 1 ? q1;2 ; 0 < q1;2 < 1 1 ? q1;2 q1;2
k=1

则实现转换

n c1 + ? 1 q 1 6

n X k =1

n ak 6 c2 + ?2 q2 ,

8 ? n ? X > 1 ? q1 k > > > c + ? = C 6 a + ? q 1 1 1 1 k > > q1 1 > > k=1 | {z } > > < A
k1

通常情况下, 两个方框之中的一个不等式是非常好证明的, 而另一个可用等比放缩得到 证明,方法不再介绍。 7 4 1 例:已知a1 = 1 3 ; a2 = 9 ; an+2 = 3 an+1 ? 3 an,求证

? > n ? > X 1 ? q2 k > > > a + ? q 6 C 2 = c2 + ? 2 2 k > 2 > q 2 > > k=1 | {z } > :
Ak2

X 1 ? ak 3 1 3 an+1 ? 6 < an+1 4 12 1 + ak 4
k=1

n

分析:先求通项

an+2 =

4 1 1 1 1 2 an+1 + an , an+2 ? an+1 = an+1 ? an = ::: = a2 ? a1 = 3 3 3 3 3 3

1 1 2 (an + ?) ) ? = ?1; an ? 1 = (a1 ? 1) n?1 ) an = 1 ? n 3 3 3 则原命题等价于证明 an+1 + ? =

X 1 ? ak X 1 3 1 3 2 1 1 3 1 1 an+1 ? 6 < an+1 , ? 6 < ? n n 4 12 1 + ak 4 3 23 3 ?1 4 2 3n
k=1 k=1

n

n

下面将其化为形如C1 6

k=1

n X 1 = 3k k=1

n P

Ak 6 C2的不等式,考虑到
1 3

? ? n 1 ? 31 1 1 1 X 1 n ) = ? 2 3n 2 3n 1? 1 3 k=1

则原命题转换为证明

? n ? n 1 X 1 1 1 1 X 1 1 6 ? < , 6 < n n 2 n n 6 3 ?1 3 4 6 3 ?3 4
k=1 k=1

显然数列? (n) =

n X k=1

32n

1 为增数列,则 ? 3n
? (n) > ? (1) = 1 6

即左边得证。 考虑证明右边,构造等比数列 p n 放缩,假如下面成立
n X k=1

? ? 1 1 1 1 1 1 不妨取q = 3 ,则 p1 = 1? = ; pn = 4 3 6 2 3n
则要证明(1)成立,可考虑证明

X 1 p1 1 6 pk < = 2 n n 3 ?3 1?q 4
k=1

n

(1)

1 1 1 6 , 3n > 3; n > 1 n ?3 2 3n 这是显然成立。因此(1)成立。故不等式右边得证! 综上所述,原命题成立! 32n
2013.4.26【522597089】

谈一类数列不等式证明技巧

? ?? ? ? ? 1 1 1 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n > c p p p
本人提供以下几种思路供参考 (1)考虑基本不等式 (此不等式可用数学归纳法证明)则可放缩为等比数列 ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n > 1 ? + 2 + ::: + n p p p p p p (2)构造递推放缩,只要下面不等式成立 ? ? ? ? 1 2 1 1? n > 1 ? n?1 , pn (p ? 2) > 1 p p 则

(1 + x1) (1 + x2) ::: (1 + xn) > 1 + (x1 + x2 + ::: + xn) ; xk > ?1; k = 1; 2; :::

? ?? ? ? ? ·? ?? ? ? ?? ?? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n > 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n?1 1? n 1? n p p p p p p p p ? ?? ? ? ?2 ? ?? ?2 ? ?2 1 1 1 1 1 1 > 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n?1 > :::: > 1 ? 1? 2 > 1? p p p p p p
适当选择前面有限项即可快速达到目的。 (3)构造错项相消放缩,只要下面不等式成立 ? ? ? ??? ? 1 1 1 1? n > 1+ n 1 + n?1 , (p ? 2) pn?1 > 1 p p p (4)运用基本不等式

x < ln (1 + x) < x; x > ?1 1+x
取左边不等式完成等比放缩 ? ? ? ??? ? 1 1 1 1 1 ln 1 ? n > ? n 1? n =? n >? p p p p ?1 (p ? 1) pn?1 注:当所给不等式较强时,应该多保留前面的项,再用上述不等式放缩。 例:证明一个较强的不等式: ? ?? ? ? ? 1 1 1 2 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n > 4 4 4 3

分析按上面分析依次提供如下证明,不难验证前三项是成立的。 (1)基本不等式等比放缩 ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 2 ::: 1 ? n > 1 ? + + + ::: + n 4 4 4 4 42 43 4 ?? ? 1 1 2 >1? 1? = 4 4 3 (2)第 3 项开始运用递推法达到目的

? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1? 1? 2 1 ? 3 ::: 1 ? n > 1 ? 1? 2 1? 3 ? 0:670 > 4 4 4 4 4 4 4 3

(3)第 4 项开始运用错项相消才能达到目的 ? ?? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1? 1? 2 1 ? 3 ::: 1 ? n 4 4 4 4 ? ?? ?? ?? ??? ? 1 1 1 1 1 > 1? 1? 2 1? 3 1+ n 1+ 3 4 4 4 4 4 ? ?? ?? ??? ? 1 1 1 1 2 > 1? 1? 2 1? 3 1 + 3 ? 0:681 > 4 4 4 4 3 (4)第 2 项开始运用对数不等式放缩 ? ? ? ? ? 1 1 ln 1 ? + ln 1 ? 2 + ln 1 ? 4 4 ? ? n 1 1X 1 3 > ln 1 ? ? > ln ? 4 3 4k?1 4
k=2

? ? ? 1 1 + ::: + ln 1 ? n 43 4 ? ??? ? 1 1 1 1? 3 4 4

3 1 2 = ln ? ? ?0:3988 > ln = ?0:4054 4 9 3

证毕! 1 可见方法 3 的放缩比较松,方法 2 收缩自如,本题如果将 2 3 改为 2 就太好证明了。 练习:

? ? 1 a1 = 1; an+1 = an 1 ? n ; show : an > 0:89: 10

2013.4.27【522597089】

数列与函数综合问题

【数学吧】a1 = e; an+1 = an ? ln an; show : 1 < an+1 < an 6 e; 0 < 分析:下面用数学归纳法证明:1 < an+1 < an 6 e 当n = 1命题显然成立。 当n = 2; a2 = a1 ? ln a1 = e ? 1 2 (1; e) ; a1 > a2命题也成立。 假定an 2 (1; e),注意到

n X ak ? ak+1 < 2: p ak ak k=1

f (x) = x ? ln x; x > 1; f 0 (x) =

x?1 > 0; f (x) %,则 x

an+1 = f (an) = an ? ln an 2 (f (1) ; f (e)) = (1; e ? 1) ? (1; e) ; an+1 < an
也成了!因此,对任意n 2 N ¤都有,1 < an+1 < an 6 e。 构造裂项相消放缩

? ? ? ?? ? ak ? ak+1 1 1 ak+1 1 1 1 1 ak+1 = ? ?p +p p p = p p p a k ak ak+1 ak ak ak+1 ak ak+1 ak ak ? ?? ?r ? ? r 1 1 ak+1 ak+1 1 1 = p ?p 1+ <2 p ?p ; ak+1 < ak ak+1 ak ak ak ak+1 ak

因此

? ? ? ? n X ak ? ak+1 1 1 1 0< <2 p ?p <2 1? p <2 p ak ak an+1 a1 e
k=1

2013.4.27[522597089] 【一个函数的单调性】

x ln (1 + x) > ; x > ?1 1+x ? ? 1 x y = 1+ >0 x ? ? 1 ln y = x ln 1 + = x [ln (1 + x) ? ln x] x ? ? ? ? 1 1 0 1 1 1 y = ln 1 + ? = ln 1 + ? x y x 1+x x 1+ ) y0 > 0
绝密级数列题 1.在正项数列fang中an = Sn ? bn = Sn(Sn + 2). (1)证明数列fbng是等差数列. (2)设cn = 前n 项和Rn. (3)设Pn = anan+1an+2an+3,证明对于任意n 2 N ¤都有 2.数列fang fbng都为正项等比数列满足,b1 = a1,log2
an 3

1 x

> 0; x > ?1; x 6= 0

p Sn (Sn + 2) + 1,其中Sn 为fang的前n 项和,令
cn+1 Tn Tn+1 求数列ffng的

b1 21

b2 b3 bn +2 2 + 23 + ? ? ? + 2n .令Tn为fcng的前n 项和,设fn =
n P

Pi <
bn

i=1

1 30 . 1 n!1 i=1 ai bi n P

= log32 已知 lim

=

1 30

(1) 求fang fbng的通项; (2) 设mn = abn; wn = anb, jn = m1wn + m2wn?1 + m3wn?2 + ::: + mn?1w2 + mnw1, n P 2 2 b jk < (1?a 若a; b 2 (0; 1),证明: a)(1?b) .
k=1

(3) 设cn =

36n a1bn +a2bn?1 +a3 bn?2 +:::+anb1 ,设fcng的前n 项和为Sn ,证明对于任意n

2 N ¤都有

不等式Sn < 26 15 成立. 2 ) + (?1)n = 0; (n 2 N ¤) 3 在数列fang中a1 = ?1; an+1 + an(1 + n

(1)求a2 ; a3合理的猜想fang的通项并证明. ? n ? P ak ; (q > 0),求 lim xn. (2)设xn = 1 2 3 k 2 3 k qC +2q C +3q C +:::+kq C
k=1
k k k k

? n ? ?P ? ? (3) 记Sn = a1 + a2 + ::: + an; bnSn = 4022n + 2011, 比较? bi + 2011? ?和 2011 的大小.
i=1

n!1

2013.4.28【522597089】

微分中值定理在高考中的应用 1 费马引理:函数f (x)在点x 0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x 0处可导,如果对于任意的 x 2 U (x0),都有f (x) 6 f (x0) (或f (x) > f (x0)),那么f 0 (x0) = 0。 那么在(a; b)内至少有一点? ,使得f 0 (?) = 0。 证明:根据f (x)是闭区间[a; b]上连续函数的性质,由极值定理得在[a; b]上有最大值M 和最 小值m 。 ⒈如果M = m,此时f (x)在[a; b]上恒为常数,结论显然成立。 ⒉如果M > m,由条件f (a) = f (b)知,两个数M; m中至少有一个不等于端点的函数值 不妨设M 6= f (a) (如果设m 6= f (a), 证法完全类似) , 那么必定在开区间(a; b) f (a) = f (b), 内有一点? 使f (?) = M 。 因此, 8x 2 [a; b],有f (x) 6 f (?),由费马引理可知f 0 (?) = 0 拉格朗日中值定理:如果函数f (x)满足:在闭区间[a; b]上连续,在开区间(a; b)内可导,那么 在(a; b)内至少有一点? ,使等式f (b) ? f (a) = f 0 (? ) (b ? a)成立。 证明:构造函数

罗尔定理: 如果函数f (x)满足:在闭区间[a; b]上连续, 在开区间(a; b)内可导且f (a) = f (b),

f (b) ? f (a) (x ? a) + f (a) ? f (x) b?a 注意到? (a) = ? (b),在[a; b]运用罗尔定理,则存在? 2 (a; b)使得?0 (?) = 0整理即得证明。 ? (x) =
微分中值定理在高考中的应用 2 微分中值定理建立了原函数与其导数的关系, 这里我们主要运用拉格朗日中值定理, 该定 理可以方便解决如下问题:
x) x) 类型 1 参数范围 f ( 或f( x >a x 6 a; x > 0

假如f (0) = 0,在(0; x)上对f (x)运用拉格朗日中值定理,可将问题转化为

f (x) f (x) ? f (0) >a, = f 0 (? ) > a ; ? 2 (0; x) x x?0 解决方框中最值问题即可。 例【2007 全国高考】已知f (x) = ex ? e?x若对任意x > 0,都有f (x) > ax,证明: a 2 (?1; 2]。 分析:当x = 0显然命题成立。 x > 0时,注意到f (0) = 0,在(0; x)上对f (x)运用拉格朗日中值定理有 f (x) 1 = f 0 (? ) = e? + ? > 2 x e

f (x) > ax,只需
a 6 min
证毕! 类型 2 证明不等式,形如

?

f (x) x

?

) a 2 (?1; 2]

? (a) + ? (b) ? 2?

例【2004 四川高考】f (x) = ln (1 + x) ? x; g (x) = x ln x; 0 < a < b < 2a,证明: ? ? ? ? a+b b?a g (a) + g (b) ? 2g < ln 2 2 2

?

a+b 2

?

6 ? (b ? a)

? · ? ?? · ? ? ? a+b a+b a+b g (a) + g (b) ? 2g = g (b) ? g ? g ? g (a) 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? a+b a+b a+b a+b = g0 (?1 ) b ? ? g0 (?2 ) ? a ; ?1 2 ; b ; ?2 2 a; 2 2 2 2 ¤ b ? a ?1 ? 0 ¤ b?a? 0 = g (?1 ) ? g 0 (?2 ) = ln ; g (x) = ln x + 1 2 2 ?2 ? ? b?a b b ? a 2a b?a < ln < ln = ln 2 2 a 2 a 2
证毕! 类型 3 证明不等式,形如 f (x2) ? f (x2) 6 ? (x2 ? x1) ; jf (x2) ? f (x2)j 6 j? (x2 ? x1)j 例【2007 四川高考】

分析:

?

分析: (1)因为

8 ? ? f (x1 ) + f (x2 ) x1 + x2 > < a 6 0; >f 2 2 2 f (x) = x2 + + a ln x; x1 6= x2 ; show ? > x : a 6 4; ? ?f 0 (x1 ) ? f 0 (x2 )? > jx1 ? x2 j
f 0 (x) = 2x ? 2 a 4 a 2x3 ? ax + 4 + ; f 00 (x) = 2 + 3 ? 2 = 2 x x x x x3

不妨设0 < x1 < x2 · ? ?? · ? ? ? x1 + x2 x1 + x2 f (x2 ) ? f ? f ? f (x1 ) 2 2 · ? ?? ·? ? ? x1 + x2 x1 + x2 = f 0 (?1 ) x2 ? ? f 0 (?2 ) ? x1 2 2 ? ? ? ? ¤ x2 ? x1 ? 0 x1 + x2 x1 + x2 0 = f (?1 ) ? f (?2 ) ; ?1 2 ; x2 ; ?2 2 x1 ; 2 2 2

=
=

x2 ? x1 00 f (?) (?1 ? ?2) ; ? 2 (?2; ?1) 2

x2 ? x1 2? 3 ? a? + 4 (?1 ? ?2 ) > 0; a 6 0 2 ?3 则当a 6 0有 ? ? f (x1 ) + f (x2 ) x1 + x2 >f 2 2

注: 如果用函数凹凸性证明, 利用二阶导数的符号判断得到证明, 这里a 6 0, 有f 00 (x) > 0, 则f (x)下凸,故原命题成立! (2)要证明 ? 0 ? ?f (x1) ? f 0 (x2)? > jx1 ? x2j 在[x1; x2]上,对f 0 (x)运用拉格朗日中值定理,则只需证明

其中? 2 (x1; x2) 事实上,可以证明

? 0 ? ? ? ? f (x1 ) ? f 0 (x2 ) ? ? 00 ? ? ? ? ? = ?f (? )? = ?2 + 4 ? a ? > 1 ? ? ? 3 2 x1 ? x2 ? ? ?

(1)

a 6 4; 2 +
注意到

4 a 4 ? 2 > 1 , a < ?2 + 3 ? ? ?

(2)

?2 +
因此(2)成立,则(1)成立! 故原命题成立!

p 4 2 2 3 = ?2 + + > 3 4 > 4 ? ? ?

2013.4.28【522597089】 一个导数绝密级问题解答 1 函数f (x) = a ln x + bx2 + cx + d, 曲线y = f (x)在x = 1处的切线为y = 0, 在x = 2处的切 线方程为3x ? 2y + ln 4 ? 6 = 0. (1)求f (x)的单调区间和极值; (2)若f (sin ?) = f (cos ?)且sin ? 6= cos ? ,证明:cos2? + cos2? < 2 cos ?; i n h P +2 k 2 (3)证明:对任意n 2 N ¤都有不等式 f(k k+1 ) + f ( k+1 ) < 3 .
k=1

分析: (1)

(2)不妨设sin ? = x1 < cos ? = x2; x1;2 2 (0; 1)则

( a=b=1 a f (x) = + 2bx + c; ) 3 0 : x c = ?3; d = 2 f (2) = ln 2; f (2) = 2 1 (x ? 1) (2x ? 1) f (x) = ln x + x2 ? 3x + 2; f 0 (x) = + 2x ? 3 = x x ? ? 8 1 > > x 2 0; 8 ? ? ; f 0 (x) > 0; f (x) % > > 2 1 3 > > < < ? ? J max f (x) = f = ? ln 2 2 4 1 ) ) x2 ; 1 ; f 0 (x) < 0; f (x) & > > > : J min f (x) = f (1) = 0 > 2 > > : x 2 (1; 1) ; f 0 (x) > 0; f (x) %
0

8 < f (1) = f 0 (1) = 0

cos2 ? + cos2 ? < 2 cos ? ,
注意到

x1 + x2 1 > 2 2

则可考虑证明

? ? ? ? 1 1 0 x 2 0; ; f (x) > 0; x 2 ; 1 ; f 0 (x) < 0 2 2

f
用反证法,假设f
0

0

?

x1 + x2 2

?

?

x1 + x2 2

?

<0

> 0,即

2 2 (x2 ? x1 ) + (x1 + x2) ? 3 > 0 , + (x1 + x2 ) (x2 ? x1 ) ? 3 (x2 ? x1 ) > 0 (1) x1 + x2 x1 + x2
由f (x1) = f (x2)有
2 ln x1 + x2 1 ? 3x1 + 2 = ln x2 + x2 ? 3x2 + 2 ) (x2 ? x1) (x1 + x2) ? 3 (x2 ? x1) = ? ln

x2 x1

则(1)转化为

2 (x2 ? x1 ) x2 ? ln >0, x1 + x2 x1
此时注意到

2

?

x2 x1

?1
x2 x1

1+

?

? ln

x2 2 (t ? 1) > 0 , ? (t) = ? ln t > 0; t > 1 x1 1+t

< 0; ? (t) &; ? (t) < ? (1) = 0 ? ? x1 + x2 1 0 x1 + x2 > ,即 由此得矛盾,故假设不成立。因此原命题f < 0成立,得 2 2 2 t(1 + t)2

?0 (t) = ?

(t ? 1)2

cos2 ? + cos2 ? < 2 cos ? 2 (3)走极限路线(参考前面帖子讲述)把 杀死,并用分析通项法证明。 3 我们先看能不能证明如下加强命题

? ? ?? n · ? X k+2 k f +f k+1 k+1
k=1

=

方框 1 等价于证明

n · ? X ln 1 ? k=1

1 (k + 1)2

?

+

? ? ? n n 2 2X 1 2X 1 2 1 2 < < = 1 ? < 2 2 3 3 k ( k + 1) 3 n + 1 3 (k + 1) (k + 1) k=1 k=1

n · ? X ln 1 ? k=1

1 (k + 1)2

?

+

? 4 <0 3(k + 1)2

构造

4 ' (x) = ln (1 ? x) + x; x 2 3
则有

? ? 1 1 + 4x 0; ; '0 (x) = ? < 0; ' (x) &; ' (x) < ' (0) = 0 4 1?x

? ln 1 ?
因此

1 (k + 1)2

?

? ? n · ? X 4 1 4 + < 0; ln 1 ? + <0 3(k + 1)2 (k + 1)2 3(k + 1)2 k=1 ? ? ?? n · ? X k+2 k 2 f +f < k+1 k+1 3
k=1

证毕! 2013.4.28【522597089】

一个绝密级导数解答 2
1 + (nx2 ? x3)C2 + ? ? ? + (nxn ? xn+1)Cn (n 2 N ¤) 函数fn(x) = n ? x + (nx ? x2)Cn n n (1)求fn(x)的单调区间和极值;

(2)正项数列fxmg的前10项和为90,证明: (3)设函数gn(x) =
n P

1 (1+x1 )10

+

1 (1+x2 )10

+??? +

1 (1+x10 )10

1 9 > ( 10 );

fn+1(x) (n fn(x)

2 N ¤)证明:对任意n 2 N ¤都有

k=1

gn (1 ? k ) <

n+1 2n

?

n(n?1) 2

+ ln 2n+1成立.

分析:
0 (x) = (n + 1)(n ? 1 ? x)(x + 1)n?1 (1)易得fn(x) = (n ? x)(1 + x)n,fn 当n 为奇数时,fn(x)在(?1; n ? 1)单增,在(n ? 1; +1)单减;函数fn(x)极大值 f (n ? 1) = nn,没有极小值。 当n 为偶数时,fn(x)在(?1; n ? 1)单增,在(?1; ?1); (n ? 1; +1)单减;函数fn(x)极大值 f (n ? 1) = nn,极小值f (?1) = 0。 (2)取n = 10,当x > 0时,有f10(x) = (10 ? x)(1 + x)10 6 1010,即 1 10 ? xm 10 > 1010 (1 + xm )



1 (1 + x1 )10

+

1 (1 + x2 )10

+ ??? +

1 (1 + x10 )10

100 ? (x1 + x2 + ? ? ? + x10 ) > = 1010

?

1 10

?9

因此原不等式成立。 (3)由题 ? ? (n + 1 ? x)(1 + x) 1 1+x n+1 gn (x) = = 1+ (1 + x) = 1 + x + =x+ n?x n?x n?x n?x
n X k=1

1 1 1 1 1 gn(1 ? k) = ?(0+1+? ? ?+1?n)+(n+1) + + +??? + + n n+1 n+2 n+n?2 n+n?1
? 1 1 1 1 + + ??? + + n+1 n+2 n+n?1 n+n ? + n + 1 n + 1 n(n ? 1) ? ? n 2n 2

?

?

= (n + 1)

则原不等式等价于证明

取左边不等式有
n X k=1

1 1 1 + + ??? + < ln 2 n+1 n+2 n+n ? ? x 1 n+1 1 考虑基本不等式: < ln (1 + x) < x; x > 0 ) < ln < 1+x n+1 n n

? ? n X 1 n+k n+1 n+2 n+3 2n < ln = ln ? ? ??? = ln 2 n+k n+k?1 n n+1 n+2 2n ? 1
k=1

或者用定积分证明
n X k=1

X 1 1 1X 1 < lim = lim = k n + k n!1 n + k n!1 n 1+ n
k=1 k=1

n

n

Z

1

0

1 d x = ln 2 1+x

证毕! 二项式和基本不等式应用 1

2013.4.29【522597089】

1 ; h (x) = f (x) g (x) ; x > 0 x (1) 若 8x > 0,都有不等式af (x) + a > g (x) + 1恒成立求a 范围;
【高中数学吧】设函数f (x) = a x ? 1; a > 0; g (x) =
n X k=1
1

(2) 设a > 1,证明 8n 2

N ¤都有

h (k) 6

5 (a ? 1)成立; 3

n+1 1 P (3) 设a 2 [1; e],证明 8n 2 N ¤都有f (1) f (2) f (3) :::f (n + 1) 6 n h (k)。 ! k=1 ? ? 1 ln 1 + x 解: (1) 8x > 0; af (x) + a > g (x) + 1 , ln a > ,只需 1 1+ x ? ? ln t ln a > max ? (t) = ;t > 1 t ( t 2 (1; e) ; ?0 (t) > 0; ? (t) % 1 ? lnt 1 因为?0 (t) = ; ) max ? (t) = ? (e) = 0 2 t e t 2 (e; 1) ; ? (t) < 0; ? (t) &

h 1 ? 故a 范围为a 2 e e ; 1 。
(2)注意到

则有
n X k=1

? ? 1 a?1 k a?1 0 1a ? 1 1+ > Ck + Ck = a; ) a k ? 1 6 ; a > 1; k 2 N ¤ k k k ? ? 1 4 4 1 1 = < = 2 ? ;k > 2 k2 4k2 4k2 ? 1 2k ? 1 2k + 1

· ? ?? 1 n n X X ak ? 1 1 1 1 5 h (k ) = 6 (a ? 1) 6 (a ? 1) 1 + 2 ? = (a ? 1) 2 k k 3 2n + 1 3
k =1 k =1

(3)假如n = 1命题成立,则有

h p i 解得a 2 1; 3 + 11 ,又a 2 [1; e],因此命题成立。
假设k = n,k > 2命题成立,则有

1 X f (1) f (2) 6 h (k ) 2!
k=1

2

X 1 f (1) f (2) f (3) :::f (n) 6 h (k) (n ? 1)!
k=1

n

那么k = n + 1只需证

f (n + 1) X 1 X [f (1) f (2) f (3) :::f (n)] f (n + 1) 6 h (k ) 6 h (k ) (n ? 1)! n!
k=1 k=1

n

n+1

变形即证

nf (n + 1)
考虑基本不等式

n X k=1

n n +1 ? 1 ?X X h (k) = n a n+1 ? 1 h (k ) 6 h (k) k=1 k=1

(*)

? ? ln a 1 1 1 6 < ln 1 + < ; a 2 [1; e] n+1 n+1 n n
取左边不等式变形有
1

a n+1 ? 1 <
代入(*)式有
n X k=1

? 1 ? 1 , n a n+1 ? 1 < 1 n
n +1 X k =1

h (k ) 6

h (k ) ; h ( k ) > 0

显然成立,综上命题成立! 2013.5.3【522597089】 二项式证明不等式应用 2

? ?n+1 an ; n 2 N¤ 【高中数学吧】已知数列fan g ; fbn g满足bn = 1 + n+1 (1) 若an = 1,证明bn < e。
n n +1 X X 1 k 1 k Cn ; Cn (2) 试比较 的大小。 +1 nk (n + 1)k k =2 k=2

n X a1 ? an (3) 若常数r 2 (0; 1),an = rn,求证: bk ? n > ; n 2 N ¤。 1 ? a1 k=1

分析:(1)由基本不等式:ln(1 + x) < x; x > 0,有 ? ? ? ?n+1 1 1 1 ln 1 + < , 1+ <e n+1 n+1 n+1 (2)运用基本不等式有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 n 1 n 1 1 1 1+ = 1+ ?1= 1+ 1+ ::: 1 + ?1 n n n n n ?? !n+1 ? ? ? ? ? ? ?n+1 1 1 1 1+ n + 1+ n + ::: + 1 + n +1 1 < = 1+ n+1 n+1 命
n +1 X k =2 n X k =2

? (n ) =

k Cn +1

1 (n + 1)
k

?

k Cn

1 nk

# ·? ? ? 1 1 1 n 1 0 1 1 1 ? Cn+1 ? 1+ ? Cn 0 ? Cn 1 n n n (n + 1)0 (n + 1)1 ? ?n+1 ? ? 1 1 n = 1+ ? 1+ >0 n+1 n 因此 1 n+1 ?n+1
0 ? Cn +1
n +1 X k=2 k Cn +1

"? = 1+

1 (n + 1)
k

>

n X k=2

k Cn

1 nk

(2)从通项入手,运用二项式稍放缩有 ? ?n+1 rn rn 0 1 bn ? 1 = 1 + ? 1 > Cn ? 1 = rn +1 + Cn+1 n+1 n+1 则
n X k=1

(bk ? 1) >

n X k=1

rn =

r ? rn+1 r ? rn a1 ? an > = ; r 2 (0; 1) 1?r 1?r 1 ? a1



n X k=1

bk ? n >

a1 ? an ; n 2 N ¤,证毕! 1 ? a1
2013.5.3【522597089】

连续函数介值定理运用 【高中数学吧】设函数f (x)在(0; 1)上连续f (0) = f (1) ? ? ? ? 1 = f (x1) (1)证明:9x1 2 0; 使得f x1 + 1 2 2 (2)若 80 < m < M; 0 < m < a1 < a2 < ::: < an < M; 8bn > 0;
bn 1 b2 证明:m < ab 1 a2 ? ? ? an < M ? ? ? ? 1 1 (3)证明:9x2 2 0; 1 ? ; f x2 + = f (x2 ) n n

n X k=1

bk = 1,

分析: (1)命

由f (x)的连续性可知? (x)在(0; 1)上连续,且 ? ? ? ? 8 1 1 > > < ? (0) = f 2 ? f (0) = f 2 ? f (1) ? ? ? ? ; f (0) = f (1) > 1 1 > :? = f (1) ? f 2 2 ? ? 1 1 若f = f (1) = f (0)可取x1 = 2 (0; 1)就有 2 2 ? ? 1 f x1 + = f (x1 ) 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 若f 6= f (1)则必有? (0) ? < 0 ,由连续函数介值定理知9x1 2 0; 使得 2 2 2 ? ? 1 ? (x1 ) = f x1 + ? f (x1 ) = 0 2 (2)注意到

? ? 1 ? (x) = f x + ? f (x) 2

=1 0 < m < a1 = ak 1

n P

bk

b1 b2 bn k=1 bn b1 b2 bn 1 b2 = ab 1 a1 ? ? ? a1 < a1 a2 ? ? ? an < an an ? ? ? an = an

n P

bk

= an < M

因此,命题成立! (3)记' (x) = f (x) ? f (0) ; ' (0) = ' (1) ? ? ? ? 1 1 设? (x) = ' x + ? ' (x) = f x + ? f (x) ; n > 2 n n 则

? ? ? ? ? ? 8 1 1 1 > > ? (0) = ' ? ' (0) = ' =f ? f (0) < n n n ? ? ? ? ? ? ? ? > 1 1 1 1 > :? 1 ? = ' (1) ? ' 1 ? = ?' 1 ? = f (1) ? f 1 ? n n n n ? ? ? ? 1 1 1)若' = 0,只需取x2 = 0就有f x2 + = f (x2 ) n n

? ? 1 2)不妨设' >0 n ? ? ? ? 1 1 1 ①若' 1 ? = 0 = ' (1),只需取x2 = 1 ? 就有f x2 + = f (x2 ) n n n ? ? ? ? ? ? 1 1 1 ②若' 1 ? 使得 > 0则? (0) ? 1 ? < 0,因此,由连续性知9x2 2 0; 1 ? n n n ? ? 1 ? (x2 ) = f x2 + ? f (x2 ) = 0 n
证毕! 2013.5.4【522597089】


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