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向量方法在高中数学解题中的应用


向量方法在高中数学解题中的应用
王贤举
摘要:向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象,又是代数的研究对象,是 沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和 几何问题相互转化的一些实例, 体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优 点。

关键词:高中数学;向量法;解题;应用 Abstrac

t: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics. Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application

1、向量与高中数学教学
向量是既有大小,又有方向的量【1】 ,是数学中的重要概念之一。向量具有丰 富的物理背景,如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高 中数学新课程中设置向量的内容,是基于以下几方面原因: 1.1 向量是几何的研究对象 物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置,也 是一种几何图形(几何里用有向线段表示向量:所指的方向为向量的方向,线段 的长度表示向量的大小) ,因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研 究对象,向量有方向,可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系;向量 有长度,可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。 1.2 向量是代数的研究对象
1

运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量 积(点乘)等多种运算,这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构,使得向量 具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。 1.3 向量是代数研究对象和几何研究对象的桥梁。 著名数学家拉格朗日曾经说过: “只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓 慢.它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸收新鲜的 活力,从而以快捷的步伐走向完美” 。我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形 时少直观,形缺数时难入微”的精辟论述。高中数学中引入向量后【2】 ,通过在代 数、几何中应用,改善教材结构、简化解题方法,也可通过在几何中的应用,加 【3】 深对向量内容的理解。数学《新大纲》 引入向量后学习这部分内容既可了解向 量的实际应用,又可加深对该部分内容的理解。 本文通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何 问题相互转化的一些实例, 体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作 用和优点。 从而让学生学会使用向量法来解决高中数学问题, 提高数学解题能力。

2、向量方法在高中数学解题中的应用
2.1、向量法使代数问题几何化 向量沟通了代数与几何的联系, 因此对某些代数问题, 如能巧妙地构造向量, 便能将其转化为几何问题【4】 ,从而使问题简化。

例 1、证明:对于任意两个向量 a, b ,都有 | | a | - | b | |?| a ? b |?| a | ? | b | 。 证明:若 a, b 中有一个为 0 ,则不等式显见 成立 若 a, b 都不是 0 时,作 OA ? a , AB ? b 则 OB ? a ? b . (1) 当 a, b 不共线时,如图 1 所示, 则 || OA | ? | AB | |?| OB |?| OA | ? | OB | , 即 || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | . (2) 当 a, b 共线时,若 a, b 同向,如图 2 所示,
2

| OB |?| OA | ? | AB | 即 | a ? b |?| a | ? | b | .
若 a, b 反向,如图 3 所示, || OA | ? | AB ||?| OB | , 则 || a | ? | b ||?| a ? b | 综上可知: || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | . 评注:该命题的证明方法有多种,但应用向量工具把代数问题几何化,使其理解 更容易和具体化。通过向量具有数形结合的性质,当两个向量不共线时,利用向 量的三角形法则,转化为几何中三角形的性质进行讨论,得出

|| a | — | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | .当两向量共线时,转化为对线段的讨论,从而可得
到 || a | — | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 。 2.2、向量法使几何问题代数化 通过对向量的学习可知, 向量有一整套的符号和运算系统,对大量的几何问 题,不但可以用向量的语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明, 从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算【5】 。 例 1、求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 证明:如图 4 所示,在 Rt ?ABC 中, ?C ? Rt ? , D 是 AB 边上的中点。由向量加法的平行四边形法则 知
CD ? 1 (CA ? CB) , 2
1 (CA ? CB )( CA ? CB ) 4

? CD ? CD ?

? CA ? CB ? 0,
?| CD | 2 ? ?| CD |? 1 1 (| CA | 2 ? | CB | 2 ) ? | AB | 2 4 4

1 | AB | . 2

评注:向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁,它可以使图形量化,使图形间 的关系代数化。 本题将直角三角形的各边及斜边上的中线用向量表示出来,利用 平面向量的平行四边形法则和两向量垂直时数量积为 0,转化为向量的代数运
3

算,得

CD ?

1 AB ,即证得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2

例 2、设抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点。点 C 在抛物线的准线上,且 BC // x 轴.求证:直线 AC 经过原点 O 【6】 。
? y2 ? ? y2 ? 证明:如图 5 所示,设 A ? 1 , y1 ? , B ? 2 , y2 ? , ? 2p ? ? 2p ?

?p ? ? p ? 由题设可知 F ? , 0 ? , C ? ? , y2 ? , ?2 ? ? 2 ?

? p2 ? 2 y1 ? ? ? AF ? ? ,? y1 ? ? 2p ? ? ?, 故
由三点共线,知 AF // AB ,

? ? AB ? ? ? ?

y ?y
2

2

2

1

2p

? ? , y2 ? y1 ? ? ?.
(图 5)

?

p 2 ? y12 y 2 ? y12 ? ? y2 ? y1 ? ? 2 ? ? ? y1 ? ? 0 , 2p 2p

? ? y2 ? y1 ? ? p 2 ? y1 y2 ? ? 0 .

? y1 ? y2 ,? y1 y 2 ? ? p 2 , y 2 ? ?
2 ? ? ? y1 ? ? AO ? ? ? ,? y1 ? ? 2p ? ? ?

p2 y1

2 ? ? ? p2 ? 2 p2 ? 2 ? y1 y1 ? ? p y1 ? ? AC ? ? ? ? , y 2 ? y1 ? ? ? ? ,? 2p y1 ? ? 2 2p ? ? ? ? ? ? ?

? y12 ? ? p 2 ? y12 ? ? p 2 ? y12 ? ???? ?? ??? ? ? ? ? ? y1 ? ? 0, 且直线 AO 与直线 AC 有公共点 y1 ? ? 2p ? ? 2p ? ?
A ,? A 、 O 、 C 三点共线,即直线 AC 经过原点 O .

评注:用向量方法去解传统的立体几何题也是有优势的,能使问题很清晰,本题 通过建立平面直角坐标, 可得到向量 AF, AB, AO, AC 。 根据三点共线得 AF, AB 是
4

共线的向量,从而可求得 AO, AC 也是共线向量。由平面上共线的两向量有公共 点时,那么这三点在同一直线上,所以直线 AC 经过原点 O。 例 3、如图 6,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面是等腰直角 三角形, ?ACB ? 90? , 侧棱 AA1 ? 2 , D, E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 的重心 G 。 (1) 求 A1B 与平面 ABD 所成的角的大小 ( 结果用 三角函数值表示); (2)求点 A1 到平面 AED 的距离。 解: 以 C 为原点, CA, CB, CC1 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,设 CA ? a 则 反

A ? (a, 0, 2),B(0,a, 0),D(0,0,1 ),A1 (a, 0,2)

,





?a a 2? ? a a 1 ? AD ? (?a,0,1), GE ? ? 6 , 6 , 3 ? ?a a ? ? ? , 由 GE ? AD 得 E? , , , ? ,G ? 1 ? ,, 3 ?3 ?3 ?2 2 ?
2 GE ? AD ? 0, 即 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 2 . 6 3

? ??? ? ??? (1) 设 A1B 与平面 ABD 所成的角,即 BE 与 BG 所成的角为 ? ,
2 4 1 BG ? ( ,? , ), BE ? (1,?1,1), 3 3 3

cos ? ?

BE .BG | BE | ? | BG |

?

7 , 3

?? ? arccos

7 . 3

(2) 设点 A1 在平面 AED 上的射影为 H ? p, s, t ? , 则 A1H ? AH, A1 H ? EH,

A1H ? DH , 即 A1H ? AH ? 0, A1 H ? EH ? 0, A1 H ? DH ? 0, 代入运算得
?? p ? 2 ?2 ? s 2 ? t ? t ? 2 ? ? 0, ? ? ?? p ? 2 ?? p ? 1? ? s ? s ? 1? ? ? t ? 2 ?? t ? 1? ? 0, ? 2 ? ? p ? p ? 2 ? ? s ? ? t ? 1?? t ? 2 ? ? 0.

5

4 ? ?p ? 3, ? p ? 2, ? 2 ? ? ? ? s ? , 或 ? s ? 0, (舍去) 3 ? ?t ? 2. ? ? 2 t ? . ? 3 ?
2 2

?4 2 2? ?H ? , , ?, ?3 3 3?

2 6 ?4 ? ?2? ?2 ? . 从而 A1 H ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 3 ?3 ? ?3? ?3 ?

2

评注: 向量解决问题的直接好处体现得异常充分,学生比较容易找到落脚点,把空 间的问题转化为代数问题,从向量的角度切入,可以有效地避开很多难点。 本题通 过建立空间直角坐标系,设 CA ? a ,得到向量 AD, GE , BE, BG 。根据空间直线 与平面间的定理可得 GE ? AD ,算出 CA 的长,在由 BE, BG 之间的数量积、夹 角和模的关系, 可求出 BE, BG 的夹角, 即为设 A1B 与平面 ABD 所成的角。 设点 A1 在平面 AED 上的射影为 H ? ( p, s, t ) ,可得到向量

A1H ? AH, A1 H ? EH, A1 H ? DH 由 两 向 量 垂 直 时 其 数 量 积 为 0 得 A1H ? AH ? 0, A1H ? EH ? 0, A1 H ? DH ? 0 可算出 A1 H 的长度,也就是点 A1 到平面
AED 的距离。

2.3、向量法使几何与代数问题相互转化 在直角坐标系中,向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。建 立适当的直角坐标, 通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合 起来【7】 ,充分体现了解析几何的思想,让学生初步利用" 解析法"来解决实际问题。 例 1、 已知直线 AA ' ⊥平面α ,直线 BB ' ⊥平面α ,垂足 分别为 A,B。求证: AA ' ∥ BB ' 证明 如图 1 ,在平面 α 内,过点 A 作互相垂直向量

AC, AD ,以 AC , AD , AA ' 三个不共面的向量作为基底,
沿基底,分解向量 BB' ,
6

由空间向量基本定理可设
BB ? AC ? x AC ? AC ? y AD ? AC ? z AA ? AC ,
' '

(图 1)

(1) (2)

BB ' ? AD ? x AC ? AD ? y AD ? AD ? z AA ' ? AD

由 BB ' ⊥α ,得 BB ' ⊥AC, BB ' ⊥AD,同理 AA ' ⊥AC, AA ' ⊥AD. 又 AC ⊥AD, ∴ AC ? AD ? 0, BB ' ? AC ? 0, BB ' ? AD ? 0, AA ' ? AC ? 0, AA ' ? AD ? 0 且 AD ? 0, AC ? 0 ,分别代入(1) 、 (2)得 x ? 0, y ? 0 . ∴ AA ' ∥ BB ' 。. 评注:本题根据空间的任一向量都可以用不共面的一组基底线性表示,利用不共 线向量基本定理及两向量垂直时的数量积为 0,证得 BB ' ? ? AA ' (? ? R) ,则

BB' ∥ AA' 。
例 2 、如图 2,给出定点 A(a,0)(a ? 0) 和直线 l : x ? ?1
?BOA 的角平分线交 AB 于点 C, B 是直线 l 上的动点, 求 C 点的轨迹方程 , y 并讨论方程表示的曲线类型 a 值的关系。



设 OA ? (a,0), BC ? (?1, b),OC ? ( x, y),0 ? x ? a, 则

AC ? ( x ? a, y), BC ? ( x ? 1, y ? b),
由 OC 平分 ?BOA ,知 cos ?AOC ? cos ?BOC (1) 当 b ? 0, y ? 0,0 ? x ? a, ∵

B C

OA ? OC OA ? OC

?

OB ? OC OB ? OC

-1

O (图 2)

A

x

,

∴x ?

by ? x 1? b2

?????????????①

又 AC 与 BC 共线,有 ( x ? a)( y ? b) ? y( x ? 1) ? 0,
1? a y. a?x 将②代入①得:

∴b ?

????????????②

(1 ? a) x 2 ? 2ax ? (1 ? a) y 2 ? 0(0 ? x ? a) ???③
(2) 当 b ? 0 时, ?AOB ? ? ,点 C(0,0)适合③。
7

综上(1) 、 (2)得 C 的轨迹方程为:

(1 ? a) x 2 ? 2ax ? (1 ? a) y 2 ? 0(0 ? x ? a).

评注:本题通过数形结合,建立平面坐标,设出相应的向量 OA 、 BC、 OC ,可得到 向量 AC, BC ,根据角平分线定理得向量 OA, OC 和 OB, OC 的夹角相等,找出等 量关系式

OA ? OC OA ? OC

?

OB ? OC OB ? OC

, 进而求出 c 点的

轨迹方程。 例 3、设点 A 和 B 为抛物线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 知原点 以外的两个动点, 已知 OA ? OB, OM ? AB, 求点 M 的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线。 解:如图 3 设 A(
2 y12 y2 , y1 ), B( , y 2 ), M ( x, y), 4p 4p

则 OA ? (

y12 y2 , y1 ), OB ? ( 2 , y 2 ). 4p 4p
2 y2 ? y12 , y 2 ? y1 ), 4p

OM ? ( x, y ), AB ? ( AM ? ( x ?

(图 3)

y12 , y ? y1 ). 4p

∵ OA ? OB, ∴ OA ? OB ? 0, 即
2 y12 y 2 ? ? y1 y 2 ? 0 4p 4p

化简得 y1 ? y2 ? ?16 p 2 又 OM 垂直 AB,

??????????????????①
2 y2 ? y12 ? x ? ( y 2 ? y1 ) ? y ? 0, 4p

∴ OM ? AB ? 0. 即

8

化简得 :

y1 ? y 2 ? x ? y ? 0. 4p

??????????????②

又 AM ∥ AB, ∴ ( x ?

y12 y2 y2 )( y 2 ? y1 ) ? ( 2 ? 1 )( y ? y1 ) ? 0. ???③ 4p 4p 4p

即 (x ?

y1 ? y 2 yy ) ? y ? 1 2 ? 0. 将①②代入③得: x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0. 4p 4p

A、B 是异于原点的点,故 x?0 ,所以点 M 的轨迹方程为

x 2 ? y 2 ? 4 px ? 0( x ? 0)
它表示 (2 p,0) 为圆心,以 2p 为半径的圆(除去圆点).

评注:本题通过建立平面直角坐标,将 OA,OB, OM,AB ,AM 转化为向量,根 据 OA ? OB, OM ? AB, 由两向量垂直,它们的数量积为 0,得

OA ? OB ? 0. OM ? AB ? 0. 又 AM ∥ AB, 由共线向量的基本定理进行代数运算,从
而求出点 M 的轨迹方程。 例 4、 如图 4,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ? ?ABC ? , OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点【8】 O 4 (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 解: 方法一(空间定理法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE
? ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD
A B N (图 4 ) C M

D

又? NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD
(2)? CD‖ AB,
∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)

作 AP ? CD于P, 连接 MP

9

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP
∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2

MD ? MA2 ? AD2 ? 2



∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作
AQ ? OP 于点 Q, ∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD

又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?
2 2

1 3 2 ? 2 2



AP ? DP ?

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2

方法二(向量法) 解:作 AP⊥CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x,y,z 轴建立坐 标系

(图)

A(0,0,0), B(1,0,0) ,

2 2 2 P ? (0, , 0) D ? (? , , 0) 2 2 2 , , N ? (1 ? 2 2 , , 0) 4 4
10

O(0,0,2), M (0,0,1) ,

(1)

MN ' ? (1 ?

2 2 2 2 2 , , ? 1) OP ? (0, , ? 2) OD' ? (? , , ? 2) 4 4 2 2 2 , ,

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? OP =0, n ? OD =0 即 取 Z ? 2 ,解得



MN ? n ? (1 ?

2 2 , ,?1) ? (0,4,,2 ) ? 0 4 4

∴MN∥平面 OCD. (2)设 AB 与 MD 所成的角为θ , ∵

AB' ? (1, 0, 0), MD ? (?

2 2 , , ? 1) 2 ,2

? ∴AB 与 MD 所成角的大小为 3
4,2 ) 上的投 (3) 设点 B 到平面 OCD 的距离为 d, 则 d 为 OB 在向量 n ? (0,
影的绝对值, 由 OB=(1,0,-2),得 d=

| OB ? n | n

?

2 3

2 所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 .

评注:本题通过用用常规法和向量法两种方法来解题,可以看出向量法解题的方 便,通过作 AP⊥CD 于点 P,建立空间直角 A-xyz 坐标系,找出向量

MN、 OP、 OD AB 、 MD、 OB 的坐标,设平面 OCD 的法向量为 n, 则 n ? OP ? 0,

n ? OD ? 0, 可以得到 MN∥平面 OCD。根据 AB 与 MD 的夹角、模和数量积的关系可
算出 AB 与 MD 所成角。 由向量 OB 在法向量 n 上投影的绝对值求得点 B 到平面 OCD 的距离。运用向量法解题,是解决立体几何题得好方法。

3、小结与展望
向量既是代数的对象,又是几何的对象。是沟通代数与几何的桥梁。向量作 为代数对象,向量可以进行运算。作为几何对象,向量有方向,可以刻画直线、 平面、切线等几何对象;向量有长度,可以刻画长度、面积、体积等几何度量问
11

题。因此学好向量在高中数学中的应用是非常重要的。 本文通过用向量方法解决高中数学中的一些几何问题与代数问题,认识向量 是一种处理几何问题、 代数问题等的好方法。 其中包括向量法使代数问题几何化、 向量法使几何问题代数化及向量法使几何与代数问题相互转化。 把向量的代数和 几何联系在一起。 让学生学好向量在高中数学中的解题方法,进一步促进学生对 代数几何的理解,运用代数几何化、几何代数化的方法,从多角度思维,充分体 现了在应用向量来解题的过程中用到的数形结合的思想方法给我们带来方便。 增 进对数学中向量的理解, 注重向量的代数性质及其几何意义,掌握向量方法在数 学解题中的应用。
参考文献 [1] 《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)第一册(下) 》[M].人民教育出版 社 2003 [2]王列惠.谈高中数学中增加“向量”内容[J].数学通讯,1998 年第 12 期 [3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验) [M] .北京:人民教育出版社, 2003 [4]汪尊国,吕听听.向量复习的实践与思考[J].中学数学月刊.2003 年第 4 期 [5]刘绍学,章建跃.几何中的向量方法[J].数学通报,2004,(3) [6]张雄,李得虎.向量方法论与解题研究[M].高等教育出版,2003 年 8 月第 1 版 [7] 《全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)第二册(下) 》[M],人民教育出版 社 2003 [8]韩文美.向量学习的“四注重”和“四不能”[J].中学数学,2004,(10)

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