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2001年全国高中数学联赛试题及详细解析


二○○一年全国高中数学联赛
(10 月 4 日上午 8:00—9:40) 题号
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13

14

r />
15

合计

加试
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总成绩

得分 评卷人 复核人 学生注意:1、本试卷共有三大 题(15 个小题) ,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 个小是题,每题均给出(A) (C) (B) (D)四个结论,其中有且仅有一个是 正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或 选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 2 2 1、已知 a 为给定的实数,那么集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数为 (A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定

5.若(1+x+x ) 的展开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x , 则a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ) . 333 666 999 2001 (A)3 (B)3 (C)3 (D)3 6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小 于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . (A)2 枝玫瑰价格高 (B)3 枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. 8、若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=

2

1000

2000

3 -I,则 z1z2= 2

。 。

9、 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1 , 则直线 A1C1 与 BD1 的距离是

1

10、不等式

1 3 ? 2 ? 的解集为 log 1 x 2
2



11、函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为



14、设曲线 C1:

x2 ? y 2 ? 1 (a 为正常数)与 C2:y2=2(x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P。 2 a
1 时,试求⊿OAP 的面积的最 2

(1) 求实数 m 的取值范围(用 a 表示) ; (2) O 为原点,若 C1 与 x 轴的负半轴交于点 A,当 0<a< 大值(用 a 表示) 。

15、用电阻值分别为 a1、a2、 a3、a4、a5、a6、 1>a2>a3>a4>a5>a6)的电阻组装成一个如图的 (a 组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。

2

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题 (10 月 4 日上午 10:00—12:00) 学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分 150 分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、 (本题满分 50 分) 如图:⊿ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交 于点 M,FD 和 AC 交于点 N。求证: (1)OB⊥DF,OC⊥DE; (2)OH⊥MN。

二、 (本题满分 50 分) 设 xi≥0(I=1,2,3,?,n)且

?x
i ?1

n

2

i

?2

1? k ? j ? n

?

n k ,求 ? x i 的最大值与最小值。 xk x j ? 1 j i ?1

三、 (本题满分 50 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行 于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。

3

2001 年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 一.选择题:CBDDCA

2.命题 1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点. 命题 2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点; 命题 3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有( ) . A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【答案】B 【解析】由于 长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题 1 正确.对于命题 2 和命 题 3,一般的长方体(除正方体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距 离相等的点.因此,本题只有命题 1 正确,选B.

4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取 值范围是( ) . A. k ? 8 3 C.k≥12 B.0<k≤12 D.0<k≤12 或 k ? 8 3

【答案】D 【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个逆向问 题,由课本结论知,应选结论D. 说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C. 5.若(1+x+x ) 的 展开式为a0+a1x+a2x2+?+a2000x 则a0+a3+a6+a9+?+a1998 的值为( ) . 333 666 999 2001 A.3 ? B.3 ? C.3 ? D.3
2 1000 2000



4

【答案】C

6.已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24,而 4 枝攻瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小 于 22 元,则 2 枝玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较,结果是( ) . A.2 枝玫瑰价格高 B.3 枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 【答案】A

二.填空题

5

7.

2 3 3
(0 , 1) ? (1 , 2 7 ) ? (4 , ? ?)
2

8.

?

30 72 ? i 13 13
3 ) ? [ 2 , ? ?) 2

9.

6 6

10.

11.

[1,

12. 732

7.椭圆 ρ =1/(2-cosθ )的短轴长等于______________. ?【答案】

2 3 3

8.若复数z1、z2满足|z1|=2,|z3|=3,3z1-2z2=(3/2)-i,则z 1·z2=______________. ?【答案】 ?

30 72 ? i 13 13

sin(α +β )=12/13,cos(α +β )=-5/13.
故z1·z2=6[cos(α +β )+isin(α +β )] =-(30/13)+(72/13) i.

6

说明:本题也可以利用复数的几何意义解. ?

10.不等式|(1/log1/2x)+2|>3/2 的解集为______________. 2/7 【答案】x>4,或 1<x<2 ,或 0<x<1.? 【解析】从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得log1/2x<-2,或-2/7<l 2/7 og1/2x<0,或log1/2x>0.从而x>4,或 1<x<2 ,或 0<x<1. ?

11.函数y=x+

的值域为_______ _______.

【答案】[1,3/2)∪[2,+∞). 【解析】先平方去掉根号. 2 2 2 由题设得(y-x) =x -3x+2,则x=(y -2)/(2y-3). 2 由y≥x,得y≥(y -2)/(2y-3).解得 1≤y<3/2,或y≥2. 由于 能达到下界 0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞).

说明:(1)参考答案在求得 1≤y<3/2 或y≥2 后,还用了较长的篇幅进行了一番验证, 确无必要. (2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读 者不妨一试.

12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3) ,要求同一块中种同一种植物, 相邻的两块种不同的植物.现有 4 种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方 案. 【答案】732 ?【解析】为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按

7

间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.

三.解答题 13. 【解析】设所求公差为 d,∵a1<a2,∴d>0.由此得
2 a1 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) 4 2 化简得: 2a1 ? 4a1d ? d 2 ? 0

? x2 ? y2 ?1 ? 14. 【解析】(1)由 ? a 2 ? y 2 ? 2( x ? m) ?

消去 y 得: x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ? 0



设 f ( x) ? x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 m ? a 2 ,问题(1)化为方程①在 x∈(-a,a)上有唯一解或等 根.

8

只需讨论以下三种情况:

a2 ?1 2 2 , 此时 xp=-a , 当且仅当-a<-a <a, 0<a<1 时适合; 即 2 2°f (a)f (-a)<0,当且仅当-a<m<a; 2 2 3°f (-a)=0 得 m=a,此时 xp=a-2a ,当且仅当-a<a-2a <a,即 0<a<1 时适 合. f (a)=0 得 m=-a,此时 xp=-a-2a2,由于-a-2a2<-a,从而 m≠-a.
1°△=0 得:m ? 综上可知,当 0<a<1 时, m ?

a2 ?1 或-a<m≤a; 2 当 a≥1 时,-a<m<a.

15. 【解析】设 6 个电阻的组件(如图 3)的总电阻为 RFG,当 R i=a i,i=3,4,5,6,R1、 R2 是 a1、a2 的任意排列时,RFG 最小 证明如下: 1.设当两个电阻 R1、R2 并联时,所得组件阻值为 R,则

1 1 1 ? ? .故交换二电阻 R R1 R2

的位置,不改变 R 值,且当 R1 或 R2 变小时,R 也减小,因此不妨取 R1>R2.

9

2





3













(





1)











RAB R AB ?

R R ? R1 R3 ? R2 R3 R1 R2 ? R3 ? 1 2 R1 ? R2 R1 ? R2

显然 R1+R2 越大,RAB 越小,所以为使 RAB 最小必须取 R3 为所取三个电阻中阻值最小的— 个.

4°对于图 3 把由 R1、R2 、R3 组成的组件用等效电阻 RAB 代替.要使 RFG 最小,由 3°必需使 R6<R5;且由 1°应使 RCE 最小.由 2°知要使 RCE 最小,必需使 R5<R4,且应使 RCD 最小. 而由 3°,要使 RCD 最小,应使 R4<R3<R2 且 R4<R3<R1, 这就说明,要证结论成立

2001 年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

10

另证:以 BC 所在直线为 x 轴,D 为原点建立直角坐标系,

a a , k AB ? ? c b a c ∴直线 AC 的方程为 y ? ? ( x ? c) ,直线 BE 的方程为 y ? ( x ? b) c a c ? ? y ? a ( x ? b) a 2 c ? bc 2 ac 2 ? abc ? , 由? 得 E 点坐标为 E( 2 ) a a ? c2 a2 ? c2 ? y ? ? ( x ? c) ? c ?
设 A(0,a),B(b,0),C(c,0),则 k AC ? ? 同理可得 F(

a 2 b ? b 2 c ab 2 ? abc , ) a2 ? b2 a2 ? b2

a c c ? (x ? ) 2 a 2 b?c 直线 BC 的垂直平分线方程为 x ? 2 a c c ? ? y ? 2 ? a (x ? 2 ) b ? c bc ? a 2 ? , 由? 得 O( ) 2 2a b?c ?x ? ? 2 ?
直线 AC 的垂直平分线方程为 y ?

k OB

bc ? a 2 bc ? a 2 2a ? ? b?c ac ? ab ?b 2

, k DF ?

ab 2 ? abc ab ? ac ? a 2 b ? b 2 c a 2 ? bc

11

∵ kOB k DF ? ?1

∴OB⊥DF

二. 【解析】先求最小值,因为 (

?
i ?1

n

xi ) 2 ?

?
i ?1

n

xi2 ? 2

1?k ? j ?n

?

k xk x j ? 1 ? j

?x
i ?1

n

i

≥1

等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i ∴

?x
i ?1

n

i

最小值为 1. 再求最大值,令 xk ? k yk



? ky
k ?1

n

2 k

?2

1?k ? j ?n

? ky
n

k

yj ?1



设M ?

?x ? ?
k k ?1 k ?1

n

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y 2 ? ? ? y n ? a2 ? k yk , 令 ? ?? ? ? y n ? an ?

2 2 2 则①? a1 ? a2 ? ? ? an ? 1
n

令 a n ?1 =0,则 M ?

?
k ?1

k (ak ? ak ?1 )

12

?

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1

n

k ak ?1 ?

?
k ?1

n

k ak ?

?
k ?1

n

k ? 1ak ?

?(
k ?1

n

k ? k ? 1 )ak

三. 【解析】记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为 rn +n-(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n<k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法使得 所得正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)=m- D D1 C (m,n),于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正方形 边长之和为 rn+n-(m,n) n (2)关于 m 归纳可以证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n -(m,n) m A1 A B 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)= rn+n-(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,?,ap 不妨 a1≥a2≥?≥ap 显然 a1=n 或 a1<n.

13

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