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成才之路人教A版数学必修2-2.3.1


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

第二章

2.3

2.3.1

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预习导学

第二章

2.3

2.3.1

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●课标展示 1 .理解并掌握直线与平面垂直的定义,明确定义中“任 意”两字的重要性. 2 .掌握直线与平面垂直的判定定理,并能解决有关线面

垂直的问题.
3.了解直线与平面所成的角的含义,并知道其求法.

第二章

2.3

2.3.1

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●温故知新 旧知再现

1 .在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有:①等腰
垂直平分 底 边 ; ② 菱 形 对 角 线 互 相 三 角 形 底 边 上 的 中 线 __________ 垂直平分 ;③正方形对角线互相__________ 垂直平分 ;④圆的直径所 __________ 90° 对圆角等于________. 2 .在上一节,我们已经学习了直线与平面平行的判定定 理和平面与平面平行的判定定理及其应用,线面平行、面面平 行的判定最终归结为线线平行的判定,并且研究了线面平行和 面面平行的三种判定方法: (1) 定义法; (2) 判定定理; (3) 反证

法.
第二章 2.3 2.3.1

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新知导学 1.直线与平面垂直
定义 记法 有关 概念 图示 画直线与平面垂直时, 通常把直线画成与表示平面 画法 的平行四边形的一边垂直
第二章 2.3 2.3.1

任意一条 直线都垂直, 如果直线 l 与平面 α 内的__________ 我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直 l⊥α 垂线 ,平面 α 叫做直线 l 直线 l 叫做平面 α 的_______ 垂面 .它们唯一的公共点 P 叫做______ 垂足 . 的_____

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[破疑点]

(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所

有直线”是同义语,与“无数条直线”不是同义语. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式. (3)由直线与平面垂直的定义,得如果一条直线垂直于一个

平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.

第二章

2.3

2.3.1

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2.判定定理 相交 直线都 一条直线与一个平面内的两条_______ 文字语言 垂直,则该直线与此平面垂直

图形语言

a∩b=P ?l⊥α 符号语言 l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,__________ 垂直 作用 判断直线与平面__________

第二章

2.3

2.3.1

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[破疑点]

直线与平面垂直的判定定理告诉我们:可以通

过直线间的垂直来证明直线与平面垂直.通常我们将其记为 “线线垂直,则线面垂直”.因此,处理线面垂直转化为处理 线线垂直来解决.也就是说,以后证明一条直线和一个平面垂

直,只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即
可.

第二章

2.3

2.3.1

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3.直线和平面所成的角 (1) 定义:一条直线和一个平面 ______ 相交 ,但不和这个平面 垂直 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的______ 交点 ______ 垂线 ,过 叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引 _______

垂足 和 ________ 斜足 的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平 _______
锐角 ,叫做这条 面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________ 直线和这个平面所成的角.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于

90° ;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的 _____
? π? ?0, ? 0 ° 2? 角等于______.因此,直线与平面所成的角的范围是________. ?

第二章

2.3

2.3.1

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●自我检测 1.直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( A.平行 C.异面 B.相交 D.垂直 )

[答案] A
[解析] ∵直线l⊥平面α,∴l与α相交, 又 ∵ m?α , ∴ l 与 m 相交或异面,由直线与平面垂直的定 义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.

第二章

2.3

2.3.1

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2.直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的
关系是( ) B.l和平面α相互垂直 D.不能确定 A.l和平面α相互平行 C.l在平面α内 [答案] D

[解析]

如下图所示,直线l和平面α相互平行,或直线l和

平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.

第二章

2.3

2.3.1

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3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所
成的角等于________. [答案] 45°

[解析]

如图所示,因为正方体ABCD

-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB 即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即 为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意 知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结: 求直线与平面所成的角的关键是找出平 面的垂线,从而找出直线在平面内的射影.

第二章

2.3

2.3.1

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4 .如下图所示,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,求证: AC⊥平面BDD1B1.

[分析] 转化为证明AC⊥BD,AC⊥BB1.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明] ∵BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴BB1⊥平面AC, 又AC?平面AC,∴BB1⊥AC. 又 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , ∴ BD⊥AC. 又 BD? 平 面

BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,
∴AC⊥平面BDD1B1.

第二章

2.3

2.3.1

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互动课堂

第二章

2.3

2.3.1

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●典例探究
线面垂直的判定
如图, P 为△ABC 所在平面 外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90° ,AE ⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F.求证: (1)BC⊥平面 PAB; (2)AE⊥平面 PBC; (3)PC⊥平面 AEF.

第二章

2.3

2.3.1

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[分析]

本题是证线面垂直问题,要多观察题目中的一些

“垂直”关系,看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC,可想到 PA⊥AB 、 PA⊥BC 、 PA⊥AC , 这 些 垂 直 关 系 我 们 需 要 哪 个 呢?我们需要的是PA⊥BC,联系已知,问题得证.

第二章

2.3

2.3.1

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[证明] (1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,
∴PA⊥BC. ∵∠ABC=90°,∴AB⊥BC. 又AB∩PA=A,∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB,AE?平面PAB,∴BC⊥AE.

∵PB⊥AE,BC∩PB=B,
∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC,PC?平面PBC, ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC,AE∩AF=A, ∴PC⊥平面AEF.
第二章 2.3 2.3.1

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规律总结:线面垂直的判定定理的应用 (1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的 步骤: ①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直; ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线; ③根据判定定理得出结论.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的 技巧: 证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目 中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、

等腰三角形、梯形底边的中线、高;菱形、正方形的对角线、
三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.

第二章

2.3

2.3.1

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如图,在△ ABC 中,∠ ABC = 90°, D 是 AC 的中点, S 是
△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC.

(1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
[分析] 在平面内找两条相交 由线面垂直的判定 → 直线与已知直线垂直 定理得线面垂直
第二章 2.3 2.3.1

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[解析] (1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=BD, 又SA=SB,SD=SD, 所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.

又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 由(1)知SD⊥BD,又SD∩AC=D, 所以BD⊥平面SAC.

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结: 线面垂直的判定定理实质是由线线垂直 推论线面垂直,途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线 垂直.推论线线垂直时注意分析几何图形,寻找隐含条件.

第二章

2.3

2.3.1

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线面角

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值. (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
第二章 2.3 2.3.1

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[分析]

求线面角的关键是找出直线在平面内的射影,为

此 须 找 出 过 直 线 上 一 点 的 平 面 的 垂 线 . (2) 中 过 A1 作 平 面 BDD1B1的垂线,该垂线必与B1D1、BB1垂直,由正方体的特性 知,直线A1C1满足要求.

[解析] (1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD, ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角,设 A1A=1,则 AC= 2,∴tan∠A1CA 2 =2.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)连接 A1C1 交 B1D1 于 O,在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥ B1D1,∵BB1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1?平面 A1B1C1D1,∴BB1 ⊥A1C1, 又 BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面 BDD1B1,垂足为 O. ∴∠A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角,在 Rt△ 1 1 A1BO 中,A1O=2A1C1=2A1B,∴∠A1BO=30° . 即 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角为 30° .

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结:求线面角的方法:
(1)求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平 面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射 影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角 归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

(2)求线面角的技巧:在上述步骤中,其中作角是关键,而
确定斜线在平面内的射影是作角的关键,几何图形的特征是找 射影的依据,射影一般都是一些特殊的点,比如中心、垂心、 重心等.

第二章

2.3

2.3.1

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(2013~2014·湖南陶铸中学月考)如图所示, Rt△BMC 中,斜边 BM = 5 且它在平面 ABC 上的射 影AB长为4,∠MBC=60°,求MC与平面ABC所 成角的正弦值.
[分析] 找出相应 利用直角三角形的性质 → 的线面角 计算该线面角的正弦值

第二章

2.3

2.3.1

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[解析] 由题意知,A 是 M 在平面 ABC 内的射影, ∴MA⊥平面 ABC, ∴MC 在平面 ABC 内的射影为 AC, ∴∠MCA 为直线 MC 与平面 ABC 所成的角. 又在 Rt△MBC 中,BM=5,∠MBC=60° , 3 5 ∴MC=BMsin∠MBC=5sin60° =5× 2 =2 3. 在 Rt△MAB 中,MA= MB2-BA2= 52-42=3. 3 2 MA 在 Rt△MAC 中,sin∠MCA=MC=5 =5 3. 2 3 2 ∴MC 与平面 ABC 所成角的正弦值为5 3.
第二章 2.3 2.3.1

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线面垂直的综合应用
如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD⊥底面 ABCD, AD=PD,E,F 分别为 CD,PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAB; (2)设 AB= 2BC, 求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.

第二章

2.3

2.3.1

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[分析]

(1)要证线面垂直,需证平面内有两条相交直线与

已知直线垂直,而根据条件易得EF⊥PB,EF⊥AF,所以本题 得证;(2)要求线面角,得先找出或作出这个角.根据条件易得 BP⊥平面 EFA. 故在△ BEF 中,只需过 AC 与 BE 的交点 G 作 BF 的

平行线GH,则GH⊥平面EFA,∠GAH为所求角.

第二章

2.3

2.3.1

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[解析] (1)证明:连结BE,EP. ∵ED=CE,PD=AD=BC, ∴Rt△PDE≌Rt△BCE,∴PE=BE. ∵F为PB中点,∴EF⊥PB.

∵PD⊥底面ABCD,DA⊥AB,∴PA⊥AB.
在Rt△PAB中,∵PF=BF,∴PF=AF. 又∵PE=BE=EA,∴△EFP≌△EFA,∴EF⊥FA. ∵PB∩AF=F,∴EF⊥平面PAB.

第二章

2.3

2.3.1

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(2)不妨设 BC=1,则 AD=PD=1,AB= 2,PA= 2,AC = 3. ∴△PAB 为等腰直角三角形,且 PB=2. ∵F 是 PB 的中点,∴BF=1,AF⊥PB. ∵AF∩EF=F,∴PB⊥平面 AEF. 设 BE 交 AC 于点 G, 过点 G 作 GH∥PB 交 EF 于点 H, 则 GH⊥平面 AEF.故∠GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角.

第二章

2.3

2.3.1

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1 由△EGC∽△BGA 可知,EG=2GB,AG=2CG, 1 2 2 3 ∴EG=3EB,AG=3AC= 3 . 1 1 由△EGH∽△EBF,可知 GH=3BF=3. 3 GH ∴sin∠GAH= AG = 6 , 3 ∴AC 与平面 AEF 所成角的正弦值为 6 .

第二章

2.3

2.3.1

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规律总结:(1)中还可取AB中点Q,连结EQ,FQ,证 明 AB⊥ 平 面 EFQ , 则 AB⊥EF , 加 上 EF⊥PB , 则 EF⊥ 平 面

PAB.(2)中在求线面角时,首先得找出或作出这个角,再解三角
形求角.

第二章

2.3

2.3.1

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如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD= 2. (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.
[分析] 利用线面垂直的判定 分别求出四棱锥 → 定理证明线面垂直 的底面面积和高

计算出该四 → 棱锥的体积

第二章

2.3

2.3.1

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[解析] (1)证明: 因为四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA=1,PD= 2, 所以 PD2=PA2+AD2,所以 PA⊥AD, 又 PA⊥CD,AD∩CD=D,所以 PA⊥平面 ABCD. (2)四棱锥 P-ABCD 的底面积为 1, 因为 PA⊥平面 ABCD, 所以四棱锥 P-ABCD 的高为 PA=1, 1 所以四棱锥 P-ABCD 的体积为3.

第二章

2.3

2.3.1

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●误区警示 易错点一 空间情形 已知四边形 ABCD 中,四个角∠ABC,∠BCD, ∠CDA,∠DAB 都是直角,求证:四边形 ABCD 是矩形. 在几何题的证明中,只考虑平面情形,而忽略

[错解]

∵ 四 边 形 ABCD 中 , 四 个 角 ∠ ABC , ∠ BCD , 把ABCD当作平面四边形(未加共面证明)就得

∠CDA,∠DAB都是直角,∴四边形ABCD是矩形. [错因分析]

出结论.
第二章 2.3 2.3.1

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[ 思路分析 ]

四边形 ABCD 有两种存在形式:平面四边形

ABCD和空间四边形ABCD,需分类证明. [正解] 当四边形ABCD是平面图形时,它显然是矩形. 若四边形 ABCD 是空间四边形时, 可设点C在平面ABD之外.如图,过点C

作 CC1⊥ 平 面 ABD , 则 AB⊥ 面 BCC1 ,
∴∠ABC1=90°.同理,∠ADC1=90°.

第二章

2.3

2.3.1

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又∵∠BAD=90° ,∴∠BC1D=90° ,
2 ∴BD2=BC2 + DC 1 1.

又∵∠BCD=90° ,
2 2 2 ∴BD2=BC2 + DC = BC + DC . 1 1 2 而事实上,BC2+DC2>BC2 1+DC1,矛盾.

∴点 C 在平面 ABD 内,即四边形 ABCD 是矩形.

第二章

2.3

2.3.1

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如图所示, a∥b ,点 P 在 a , b 所确定的平面外, PA⊥a 于
点A,AB⊥b于点B.求证PB⊥b.

[错解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b, ∴PA⊥平面α,∴PB⊥b.

第二章

2.3

2.3.1

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[错因分析] 交.

上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直

的判定定理,由 PA⊥a , PA⊥b ,得 PA⊥α ,忽略了 a 与 b 不相 [正解] ∵PA⊥a,a∥b,∴PA⊥b.

又∵AB⊥b,且PA∩AB=A,∴b⊥平面PAB.
又∵PB?平面PAB,∴PB⊥b.

第二章

2.3

2.3.1

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随堂测评

第二章

2.3

2.3.1

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1 .若直线a与平面 α内的两条直线垂直,则直线a与平面α 的位置关系是( A.垂直 C.斜交或在平面内 ) B.平行 D.以上均有可能

[答案] D
[解析] ∵a与α内的两条直线垂直,而这两条直线的位置 关系不确定,∴a与α可能平行、垂直、斜交或a在α内.

第二章

2.3

2.3.1

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2.如果一条直线垂直于一个平面内的:
①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正 六边形的两条边. 则能保证该直线与平面垂直( A.①③ ) B.①②

C.②④
[答案] A [解析]

D.①④
三角形的两边,圆的两条直径一定是相交直线,

而梯形的两边,正六边形的两条边不一定相交,所以保证直线 与平面垂直的是①③.
第二章 2.3 2.3.1

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3.下列命题中正确的个数是(

)

①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α; ②如果直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α; ③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线; ④如果直线l不垂直于α,则 α内也可以有无数条直线与 l垂

直.
A.0 C.2 [答案] B [解析] 只有④正确.
第二章 2.3 2.3.1

B.1 D.3

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4.一条直线和平面所成角为θ,那么θ的取值范围是( A.(0°,90°) C.(0°,90°] [答案] B B.[0°,90°] D.[0°,180°]

)

[解析] 由线面角的定义知B正确.

第二章

2.3

2.3.1

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5.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB= 2,BC=AA1=1, 则 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角的大小为________.

[答案]

π 6

[解析] 如下图所示,连接B1D1.

第二章

2.3

2.3.1

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则 B1D1 是 BD1 在平面 A1B1C1D1 上的射影,则∠BD1B1 是 BD1 与平面 A1B1C1D1 所成的角. BB1 1 3 在 Rt△BD1B1 中, tan∠BD1B1=B D = = 3 , 则∠BD1B1 3 1 1 π =6.

第二章

2.3

2.3.1

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6 . (2013· 重 庆 ) 如 图 , 四 棱 锥 P - ABCD 中 , PA⊥ 底 面
ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求证:BD⊥平面PAC.

[分析]

解答本题的关键是将证明线面垂直问题转化为证

明线线垂直问题.
第二章 2.3 2.3.1

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[证明] 因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD. 从而BD与平面PAC内两条相交直线 PA,AC都垂直,所以

BD⊥平面PAC.

第二章

2.3

2.3.1

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课后强化作业
(点此链接)

第二章

2.3

2.3.1


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成才之路人教A版数学必修3-2.2.1

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成才之路人教A版数学必修2-1.3.1 第2课时

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成才之路人教A版数学必修2-1.2.1、2

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成才之路·人教A版数学选修2-3 2.1.2 第2课时

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