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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-3函数的奇偶性与周期性 新人教A版

时间:


2-3 函数的奇偶性与周期性
基础巩固强化 1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数 是( ) A.y=x
3

B.y=|x|+1
2

C.y=-x +1 [答案] B [解析] y=x 是奇函数,y=-x +1 与 y=2
3 2

D.y=2

-|x|

-|x|

在(0,+∞)上为减函数,故选 B.
x

2.(文)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2 -3,则 f(-2)的值等 于( ) A.-1 C.1 [答案] A [解析] f(2)=2 -3=1,又 f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=-1,故选 A. (理)(2011·浙江杭州月考)已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+m(m 为常数),则 f(-1)的值为( A.-3 C.1 [答案] A [解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 f(0)=2 +m=0,解得 m=-1. ∴当 x≥0 时,f(x)=2 +2x-1,f(1)=2 +2×1-1=3,
x
1 0 2

B.

11 4

11 D.- 4

x

) B.-1 D.3

f(-1)=-f(1)=-3.
3. (文)函数 f(x)(x∈R)是周期为 3 的奇函数, f(-1)=a, f(2014)的值为( 且 则 A.a C.0 [答案] B [解析] ∵f(x)周期为 3, ∴f(2014)=f(671×3+1)=f(1), ∵f(x)为奇函数,f(-1)=a, ∴f(1)=-a,故选 B. B.-a D.2a )

1

(理)(2012·河南商丘模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 它的最小正周期为 T, 则

T f(- )的值为(
2 A.- 2 C.

) B.0 D.T

T

T
2

[答案] B [解析] ∵f(- )=-f( ),且 f(- )=f(- +T)=f( ),∴f( )=0,∴f(- )= 2 2 2 2 2 2 2 0. 4. (文)(2011·北京东城一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且当 x>0 时, (x) f =ln(x+1),则函数 f(x)的图象大致为( )

T

T

T

T

T

T

T

[答案] C [解析] 函数 f(x)=ln(x+1)的图象由 f(x)=lnx 的图象向左平移 1 个单位得到,选 取 x>0 的部分,然后作关于 y 轴的对称图形即得. (理)

2

(2011·北京西城模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示, 则在(-2,0)上, 下列函数中与 f(x)的单调性不同的是( A.y=x +1
?2x+1,x≥0 ? C.y=? 3 ? ?x +1,x<0
2

) B.y=|x|+1
?e ,x≥0 ? D.y=? -x ? ?e ,x<0
x

[答案] C [解析] ∵f(x)为偶函数,由图象知,f(x)在(-2,0)上为减函数,而 y=x +1 在(- ∞,0)上为增函数. 5.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=2- 3,且对任意的 x 都有 f(x+3)= 1 -f?
3

x?

,则 f(2013)的值为(

) B.-2+ 3 D.-3- 3

A.-2- 3 C.2- 3 [答案] A [解析] 由题意得 f(x+6)=f(x+3+3)=

1 -f?

= x+3? -?

1 - 1 ?

=f(x).∴

f? x?

函数 f(x)的周期为 6.

f(2013)=f(335×6+3)=f(3),而 f(3)=f(0+3)=- =- =-2- 3. f? 0? 2- 3
6.(文)(2011·合肥模拟)设 f(x)是偶函数,且当 x>0 时是单调函数,则满足 f(2x)=

1

1

x+1 f( )的所有 x 之和为( x+4
9 A.- 2 C.-8 [答案] C

) 7 B.- 2 D.8

3

[解析] ∵f(x)是偶函数,f(2x)=f( ∴f(|2x|)=f(|

x+1 ), x+4

x+1 |). x+4

又∵f(x)在(0,+∞)上为单调函数, ∴|2x|=|

x+1 x+1 x+1 |,即 2x= 或 2x=- , x+4 x+4 x+4
2

整理得 2x +7x-1=0 或 2x +9x+1=0, 设方程 2x +7x-1=0 的两根为 x1,x2,方程 2x +9x+1=0 的两根为 x3,x4. 7 9 则(x1+x2)+(x3+x4)=- +(- )=-8. 2 2 (理)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=
2 2

2

f(log47),b=f(log 3),c=f(0.20.6),则 a、b、c 的大小关系是(
1 2

)

A.c<b<a C.b<a<c [答案] C [解析] 由题意知 f(x)=f(|x|).

B.b<c<a D.a<b<c

∵log47=log2 7>1,|log 3|=log23>log2 7,0<0.2 <1, 1 2 ∴|log 3|>|log47|>|0.2 |. 1 2 又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C. 7.(文)若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=2 对称,且当 x∈(-2,2) 时,f(x)=-x +1.则 f(-5)=________. [答案] 0 [解析] 由题意知 f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=-(-1) +1=0. (理)(2011·湖南文)已知 f(x)为奇函数, g(x)= f(x)+9, g(-2)=3,则 f(2)= ________. [答案] 6 [解析] 由 g(x)=f(x)+9 知 g(-2)=f(-2)+9=3, ∴f(-2)=-6,而由于 f(x)是奇函数, 所以 f(2)=-f(-2)=-(-6)=6.
4
2 2 0.6

0.6

8.(文)若 f(x)=lg? [答案] -1

? 2x +a?(a∈R)是奇函数,则 a=________. ? ?1+x ? ? 2x +a?是奇函数, ? ?1+x ?

[解析] ∵f(x)=lg?

∴f(-x)+f(x)=0 恒成立, 即 lg?

? 2x +a?+lg?-2x+a? ? ?1-x ? ?1+x ? ? ?

?? 2x +a?? 2x +a??=0. =lg?? ?? ?? ??1+x ??x-1 ??
∴?

? 2x +a?? 2x +a?=1, ?? ? ?1+x ??x-1 ?
2 2 2

∴(a +4a+3)x -(a -1)=0, ∵上式对定义内的任意 x 都成立, ∴?
? ?a +4a+3=0, ?a -1=0, ?
2 2

∴a=-1.

[点评] ①可以先将真数通分,再利用 f(-x)=-f(x)恒成立求解,运算过程稍简单 些. ? a+2? x+a ②如果利用奇函数定义域的特点考虑, 则问题变得比较简单. (x)=lg f 为 1+x 奇函数, 显然 x=-1 不在 f(x)的定义域内, x=1 也不在 f(x)的定义域内, x=- 故 令 =1,得 a=-1.故平时解题中要多思少算,培养观察、分析、捕捉信息的能力. (理)设函数 f(x)=sin( 3 x+φ )(0<φ <π ).若 f(x)+ f ′(x)是奇函数,则 φ = ________. [答案] 2π 3

a a+2

[解析] ∵f ′(x)= 3cos( 3x+φ ). ∴f(x)+f ′(x)=sin( 3x+φ )+ 3cos( 3x+φ ) π? ? =2sin? 3x+φ + ?. 3? ?

f(x)+f ′(x)是奇函数?φ + =kπ (k∈Z),
π 即 φ =kπ - (k∈Z). 3 2π 又∵0<φ <π ,∴k=1 时,φ = . 3

π 3

5

1 9. 定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上单调递减, f( )=0, 且 则满足 f(log x)<0 2 1 4 的集合为________. 1 [答案] (0, )∪(2,+∞) 2 1 1 [解析] 由题意知 f(x)<0 的解为 x> 或 x<- , 2 2 1 1 ∴由 f(log x)<0 得 log x> 或 log x<- , 2 2 1 1 1 4 4 4 1 ∴0<x< 或 x>2. 2 10.(文)已知函数 f(x)=1- (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2 -2 恒成立,求实数 t 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴
x

4 (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. x 2a +a

f(0)=0.
即 1- 4 =0,解得 a=2. 0 2×a +a
x

2 -1 1+y x (2)∵y= x ,∴2 = , 2 +1 1-y 1+y x 由 2 >0 知 >0, 1-y ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1). (3)不等式 tf(x)≥2 -2 即为
x 2 x x

t·2x-t
2 +1
x

≥2 -2.
x

x

即:(2 ) -(t+1)·2 +t-2≤0.设 2 =u, ∵x∈(0,1],∴u∈(1,2]. ∵u∈(1,2]时 u -(t+1)·u+t-2≤0 恒成立.
? ?1 -? ∴? 2 ? ?2 -?
2 2

t+1? ×1+t-2≤0, t+1? ×2+t-2≤0,

解得 t≥0.

1 (理)(2011·烟台模拟)已知函数 f(x)=ax+ 2(x≠0,常数 a∈R).

x

(1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.
6

[解析] (1)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 当 a=0 时,f(x)= 2,满足对定义域上任意 x,f(-x)=f(x),∴a=0 时,f(x)是偶

x

函数; 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(-1)=1-a, 若 f(x)为偶函数,则 a+1=1-a,a=0 矛盾; 若 f(x)为奇函数,则 1-a=-(a+1),1=-1 矛盾, ∴当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数. (2)对任意 x1,x2∈[3,+∞),且 x1>x2,

f(x1)-f(x2)=ax1+ 2-ax2- 2 x1 x2
=a(x1-x2)+

1

1

x2-x2 x1+x2 2 1 ). 2 2 =(x1-x2)(a- x1x2 x2x2 1 2

∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数, ∴a> ∵

x1+x2 1 1 2 2 ,即 a> 2+ 2 在[3,+∞)上恒成立. x1x2 x1x2 x1x2
+ 2 2 ,∴a≥ . x x 27 27
2 1 2

1

1

xx

2 1 2

<

能力拓展提升 11.(文)(2011·泰安模拟)f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则 方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 [答案] B [解析] 由 f(2)=0,得 f(5)=0, ∴f(-2)=0,f(-5)=0. ∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0, B.4 C.3 ) D.2

f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,
故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个. (理)(2012·东北三校联考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对任意 x∈R,都有 f(2 +x)=-f(x),且当 x∈[0,1]时有 f(x)=-x +1,当 x∈(1,2]时,f(x)=x-2,f(x)=0 在[-1,5]上有 5 个根 xi(i=1,2,3,4,5),则 x1+x2+x3+x4+x5 的值为( A.7 [答案] D [解析] ∵f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=f[2+(2+x)]=-f(2+x)=f(x),∴f(x) 的周期为 4, B.8 C.9 D.10 )
2

7

∵x∈[0,1]时,f(x)=-x +1, ∴x∈[-1,0]时,f(x)=-x +1, 即 x∈[-1,1]时,f(x)=-x +1, 又 x∈(1,2]时,f(x)=x-2, ∴x∈[-2,-1)时,f(x)=-x-2, ∴x∈[2,3)时,f(x)=f(x-4)=-(x-4)-2=2-x. 从而可知在[-1,5]上有 f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=0,f(3)=0,f(5)=0,∴x1+x2 +x3+x4+x5=10,故选 D. 12.(2012·河南洛阳统考)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,
2 2

2

f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是(
A.(-1,0) C.(1,+∞) [答案] B

) B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

[解析] ∵函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0,+∞)时,f(x)=lgx,∴当 x ∈ ( - ∞ , 0) 时 , f(x) = - lg( - x) , 且 f(0) = 0 , ∴ f(x)>0 ? ?
? ?x<0, ? ? ?-lg? -x? ?x>0, ? ? ?lgx>0,



>0,

解得 x>1 或-1<x<0.

13.(文)(2011·山东淄博一模)设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若

f(1)≥1,f(2)=

2a-3 ,则 a 的取值范围是( a+1

) B.a<-1 2 D.a≤ 3

2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 [答案] C

[解析] 函数 f(x)为奇函数,则 f(-1)=-f(1). 由 f(1)=-f(-1)≥1 得,f(-1)≤-1; 函数的最小正周期 T=3, 2a-3 2 则 f(-1)=f(2),由 ≤-1 解得,-1<a≤ . a+1 3 (理)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25)
8

C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) [答案] D [解析] ∵f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x), ∴f(x+8)=f(x),∴f(x)周期为 8.∴f(80)=f(0), 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-25)=f(-24-1)=f(-1), ∴f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1), 由条件知 f(x)在[-2,2]上为增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),∴f(-25)<f(80)<f(11).

a-e 14.若函数 f(x)= x(a 为常数)在定义域上为奇函数,则实数 a 的值为________. 1+ae
[答案] 1 或-1

x

a-e ae -1 [解析] f(-x)= -x= x 1+ae e +a f(x)+f(-x)=
?

-x

x

a-ex? ? a+ex? +? 1+aex? ? aex-1? x x ? 1+ae ? ? e +a?

a2-e2x+a2e2x-1 = =0 恒成立, x x ? 1+ae ? ? e +a?
所以 a=1 或-1. 15.已知函数 f(x)=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出
2 2

x

-x

t;若不存在,请说明理由.
[解析] (1)∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x),∴f(x)为奇函数; 1 1 x x ∵f(x)=e - x,而 y=e 为增函数,y=- x为增函数,∴f(x)为增函数.
-x

x

e

e

(2)∵f(x-t)+f(x -t )≥0,∴f(x -t )≥-f(x-t), ∵f(x)为奇函数,∴f(x -t )≥f(t-x), ∵f(x)为增函数,∴x -t ≥t-x,∴t +t≤x +x. 由条件知,t +t≤x +x 对任意实数 x 恒成立, 1 2 1 1 2 当 x∈R 时,x +x=(x+ ) - ≥- . 2 4 4 1 1 2 1 2 ∴t +t≤- ,∴(t+ ) ≤0,∴t=- . 4 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

9

1 2 2 故存在 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切实数 x 都成立. 2 1-mx 16.已知函数 f(x)=loga (a>0 且 a≠1)是奇函数. x-1 (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明; (3)当 a>1,x∈(1, 3)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 的值. [解析] (1)∵f(x)是奇函数,x=1 不在 f(x)的定义域内,∴x=-1 也不在函数定义 域内, 令 1-m·(-1)=0 得 m=-1. (也可以由 f(-x)=-f(x)恒成立求 m) (2)由(1)得 f(x)=loga

x+1 (a>0 且 a≠1), x-1

任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, 令 t(x)=

x+1 x1+1 x2+1 ,则 t(x1)= ,t(x2)= , x-1 x1-1 x2-1 x1+1 x2+1 2? x2-x1? - = , x1-1 x2-1 ? x1-1? ? x2-1?

∴t(x1)-t(x2)=

∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. ∴t(x1)>t(x2),即 ∴当 a>1 时,loga 即 f(x1)>f(x2); 当 0<a<1 时,loga

x1+1 x2+1 > , x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 >loga , x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 <loga ,即 f(x1)<f(x2), x1-1 x2-1

∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数, 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 当 (3)∵a>1,∴f(x)在(1, 3)上是减函数, ∴当 x∈(1, 3)时,f(x)>f( 3)=loga(2+ 3), 由条件知,loga(2+ 3)=1,∴a=2+ 3.

1.已知 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内有 1005 个零点,则 f(x)的零点 共有( )

10

A.1005 个 C.2009 个 [答案] D

B.1006 个 D.2011 个

[解析] ∵奇函数的图象关于原点对称,g(x)在(0,+∞)上与 x 轴有 1005 个交点,故 在(-∞,0)上也有 1005 个交点,又 f(0)=0,∴共有零点 2011 个. 2.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx 1 x -x C.f(x)= (a +a ) 2 [答案] D 2-x 1 x -x [解析] y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (a +a )为偶函数,y=-|x+1|是 2+x 2 非奇非偶函数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D. 3.(2012·浙江湖州第二次质检)已知图甲是函数 y=f(x)的图象,则图乙中的图象对 应的函数可能是( ) B.f(x)=-|x+1| 2-x D.f(x)=ln 2+x )

A.y=f(|x|) C.y=-f(-|x|) [答案] D

B.y=|f(x)| D.y=f(-|x|)

[解析] 由图乙可知,该函数为偶函数,且 x<0 时,其函数图象与 f(x)的函数图象相 同,即该函数图象的解析式为 y=?
? ?f? ?f? ?

x? ,

x<0,

-x? , x≥0,

即 y=f(-|x|),故应选 D.

2?x 2 2 4.定义两种运算:a?b= a -b ,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)= ( ? x⊕2? -2 A.是偶函数 B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B

)

11

[解析] f(x)=
2

4-x , |x-2|-2

2

∵x ≤4,∴-2≤x≤2, 又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2]. 则 f(x)= 4-x ,f(x)+f(-x)=0,故选 B. -x
2

5.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 g(1) =2,则 f(2012)的值为( A.2 C.-2 [答案] A [解析] 由已知:g(-x)=f(-x-1), 又 g(x)、f(x)分别为 R 上的奇、偶函数, ∴-g(x)=f(x+1),∴f(x-1)=-f(x+1),∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), 即 f(x)的周期 T=4, ∴f(2012)=f(0)=g(1)=2,故选 A. ) B.0 D.±2

12


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