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空间向量及其加减运算学案


高二数学学案(选修 2-1)

编写人:吴疆

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3.1.1 空间向量及其加减运算导学案
使用说明: 1、 先仔细阅读教材 84—85 页,有针对性的二次阅读教材。 2、 限时 25 分钟,规范完成预习,探究案部分。 3、 A 层掌握好导学案,并完

成好课后题,B 层完成好导学案和课后题,C 层完成好学案。 学习目标: (1)理解空间向量的概念掌握空间向量加减运算及其运算律。 (2)通过与平面向量及运算作类比并借助图形,理解空间向量的概念,掌握空间 向量的加法、减法运算及其运算律,并思考两者的联系和区别。 (3) 经历向量由平面向空间推广的过程, 使学生体会类比和归纳的数学思想方法, 并体验数学在结构上的和谐性。 学习重点:理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法运算。 学习难点:空间向量加减法运算律的灵活应用。

预习案
一.新知预习 1.在 ,我们把 ,叫做空间向量.

____________叫做向量的长度或模. 2.与平面向量一样, 空间向量也用 如右图,此向量的起点是 A,终点是 B,可记作 也可记作 3. 零向量的方向是 4. 5.与向量 a 6. 因此,在空间, .其模长记为__________或 叫做零向量,记为 . , 时, AB ? 0 表示, 此表示法为空间向量的 , .

.当有向线段的起点 A 与终点 B

的向量称为单位向量. 的向量,称为 a 的相反向量,记为- a . 的向量称为相等的向量. 的有向线段表示 或 .

7.类似于平面向量,定义空间向量的加减运 算如下

OB =
AB =

= =

, .

高二数学学案(选修 2-1) 推广: 8. 交换律: ;

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A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ?

.你能尝试利用图形来进行说明吗?

探究案
探究一 空间向量及其有关概念 1、空间中的单位向量,向量的模,相等向量,相反向量等概念和平面向量中对应的概 念完全一样。也要注意有些结论与平面向量是有区别的。 2、对于有关向量基本概念的考察,可以从概念中的特征入手,也可以通过反例排除或 否定相关命题。 给出下列命题: ① ② ③ ④ ⑤ 将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆; 若空间向量 a,b 满足∣a∣=∣b∣,则 a=b; 在正方体

ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? AC 1 1;

若空间向量 m,n,p 满足 m= n,n=p,则 m=p; 空间中任意两个单位向量必相等。 其中假命题的个数是( ) D 4

A 1

B2

C 3

探究二 空间向量的加减运算 1、掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键,灵活运用相反向量及两向 量的和,差,可使这类问题迅速破解。 2、利用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算时,在几何中应尽量走边路,若有 多个向量运算时,应先观察“首尾相接”的向量使之结合,使用减法时,把握共起点,方向 指向被减向量。

高二数学学案(选修 2-1) 一 ⑴在正方体 A

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ABCD ? A1B1C1D1 中, DD1 ? AB ? BC 化简后的结果是(
B

BD1

D1 B

C

B1 D

D

DB1


⑵ 已知空间四边形 ABCD 中, AB =a, CB =b, AD =c,则 CD 等于( A B C D a+b-c -a-b+c -a+b+c -a+b-c

二 作出下列空间向量的和向量 (1) AB ? BC ? CC1 ?
D1 C1

(2) AC1 ? D1D ? CB ?
D1 C1

A1 D

B1 C

A1 D

B1 C

A'

B

A'

B

注:1、尽管两个向量求和,与结果在一平面上,但三个向 量求和, 结果不一定都在一个平面内。 例如 (1) , AB, BC, AB ? BC 在一个平面上,

BC, CC1, BC ? CC1 在一平面上,但是 AB, BC, AB ? BC ? CC1 不在一平面上
2 、空间向量加减运算依然满足平面向量运算的符号性质:如: OA ? AB ? OB ,

OC ? OA ? AC OC ? CD ? DA ? AO ? ________________
化简:

AB ? CD ? BC ? EF ? OF ? OE ?

. .

1.已知平行六面体 ABCD- A ?B?C ?D ? ,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量. ① AB ? BC ? AA? ; ② AB ? AD ? AA? ;

高二数学学案(选修 2-1)

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1、下列说法正确的是 A 零向量即是模为零的向量,所以它没有方向 B 在空间,向量不可以平行移动 C 如果两个向量不相同,那么他们的长度不相等 D 同向且等长的有向线段表示同一向量 2.平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? AA1 的运算结果是( A AC 1 C BD1 3、下列说法中,正确的个数为 ( ) B D ) ( )

AC1 B1D

①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同。 ②若向量 AB , CD 满足∣ AB ∣﹥∣ CD ∣,且∣ AB ∣与∣ CD ∣同向,则 AB ﹥ CD 。 ③若两个非零向量 AB 与 CD 满足 AB + CD =0,则 AB 与 CD 为相反向量。
A. 0 【教学设计】 B 1 C 2 D 3

【反思】


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